有了實數集的基礎就可以進入正題——極限。
先說明幾個符號的意義
“∀”——代表“任何”、“任意”。
“∃”——代表“存在”。
為了“線性”書寫形式的方便，將採用中括號“[]”表示某些“非線性”書寫形式（即利用此將其改變成“線性形式”），如
lim[n→∞] X(n)
∑[i=1,n] X(i)
∫[a,b] f(x)dx
一）數列及其極限的定義
數列是函式的一種特殊形式，即其自變數只取自然數，一般表示為{X(n)}，其中n∈N。由於自然數n只可能取無窮大為其極限點，所以數列也只有n趨向於無窮時的極限。
設{X(n)}是一個數列，A是一個實常數。如果對於任意給定的ε>0，存在正整數N，對於任何n>N，成立|X(n) - A|<ε，則稱數列{X(n)}收斂於A（或稱A是數列{X(n)}的極限）。記為
lim[n→∞] X(n) = A
上面的文字描述可以採用下述符號表述法：
lim[n→∞] X(n) = A ↔ ∀ε>0,∃N,∀n>N(|X(n)-A|<ε)
數列的這個極限定義形式通常被稱為(ε-N)分析描述語言。此類分析描述語言是由柯西和魏爾斯特拉斯發明的。
二）魏爾斯特拉斯定理
單調有界數列必有極限。
證明：
不妨設數列{X(n)}單調增加且有上界。根據確界存在定理，由{X(n)}構成的數集必有上確界A。任意給定ε>0，A-ε必然不是數集{X(n)}的上界，即存在N使得A>X(N)>(A-ε)。由於數列{X(n)}是單調增加的，所以對於任何n>N，成立A>X(n)>(A-ε)，即|X(n)-A|<ε。同理可證數列{X(n)}單調減小且有下界的情況。證畢。
三）柯西-康托爾原理（閉區間套定理）
如果{[a(n),b(n)]}構成一個閉區間套，即[a(n),b(n)]⊇[a(n+1),b(n+1)]，且lim[n→∞] (b(n)-a(n)) = 0。則存在唯一實數c屬於所有的閉區間[a(n),b(n)]，且c是數列{a(n)}和{b(n)}的極限。
由題設，顯然數列{a(n)}和{b(n)}是單調有界數列，則其必有極限分別設為A和B。由於lim[n→∞] (b(n)-a(n)) = B - A = 0，即A = B（設其為c），則
lim[n→∞] a(n) = lim[n→∞] b(n) = c
由於a(n)≤c≤b(n)，可見c屬於所有閉區間[a(n),b(n)]。證畢。
四）波爾察諾-魏爾斯特拉斯定理
有界數列必有收斂子列。
設數列{X(n)}有界，於是存在a1和b1成立a1≤X(n)≤b1。等分閉區間[a1,b1]得兩個閉區間[a1,(a1+b1)/2]和[(a1+b1)/2,b1]，其中至少有一個含數列{X(n)}中無窮多項，記為[a2,b2]。按此過程繼續可得一個閉區間套{[an，bn]}，顯然(bn-an) = (b1-a1)/2^(n-1)，即lim[n→∞] (bn-an) = 0。由閉區間套定理可知存在實數c屬於所有閉區間[an,bn]，且lim[n→∞] an = lim[n→∞] bn = c。
現在構造數列{X(n)}的一個子列。任取數列{X(n)}中的一項X(n1)，顯然此項必在閉區間[a1,b1]內。由於閉區間[a2,b2]內含有無窮多個數列{X(n)}的項，在其內選一個X(n2)且n2>n1。按此過程繼續可得數列{X(n)}的一個子列{X(nk)}，其通項X(nk)必在閉區間[ak,bk]內，則有關係
ak≤X(nk)≤bk
由極限的夾逼性可得
lim[n→∞] = c
證畢。
五）柯西收斂原理
先定義基本數列：
如果數列{X(n)}具有如下特性
∀ε>0,∃N,∀n>N∧∀m>N(|X(n)-X(m)|<ε)
則稱此數列為基本數列。
數列{X(n)}收斂的充分必要條件是它是個基本數列。
先證必要性。如果數列{X(n)}收斂於A，按收斂定義有
∀ε>0,∃N,∀n>N∧∀m>N(|X(n)-A|<ε/2∧|X(m)-A|<ε/2)
則有
|X(n)-X(m)|≤|X(n)-A|+|X(m)-A|<ε
即數列{X(n)}是個基本數列。
再證充分性。如果數列{X(n)}是個基本數列，對於選定的固定值ε，存在N，當m和n都大於N時成立
|X(n)-X(m)|<ε
現再固定m，顯見X(n)有界，即數列{X(n)}是個有界數列。由波爾察諾-魏爾斯特拉斯定理可知有界數列{X(n)}必有收斂子列{X(nk)}，設其收斂於A，即lim[k→∞] X(nk) = A。
因為{X(n)}是基本數列，故∀ε>0,∃N1,∀n>N1∧∀nk>N1(|X(n) - X(nk)|<ε/2)。又由於lim[k→∞] X(nk) = A，則∃N2,∀nk>N2(|X(nk)-A|<ε/2)。取N=max(N1,N2)，當∀n>N∧∀nk>N時有
|X(n)-A|≤|X(n)-X(nk)|+|X(nk)-A|<ε
即數列{X(n)}收斂（lim[n→∞] X(n) = A）。證畢。
六）實數系基本定理的等價性
前面分別給出了五個實數系基本定理以及它們的證明。從其證明的過程可以發現有下列推導關係
實數連續公理→確界存在定理→魏爾斯特拉斯定理→柯西-康托爾原理（閉區間套定理）→波爾察諾-魏爾斯特拉斯定理→柯西收斂原理
此外，還存在如下的推導關係
柯西收斂原理→柯西-康托爾原理（閉區間套定理）→確界存在定理
由此可見，實數系的五個基本定理是完全等價的。
七）數列極限的性質和四則運算
下面簡單羅列一下數列極限的一些性質和運演算法則：
1）數列極限的唯一性
2）收斂數列的有界性
3）收斂數列的保序性
4）數列極限的夾逼性
5）數列極限的運演算法則
a）lim[n→∞] (a X(n) + b Y(n)) = a lim[n→∞] X(n) + b lim[n→∞] Y(n)
b）lim[n→∞] (X(n) Y(n)) = lim[n→∞] X(n) lim[n→∞] Y(n)
c) 如果lim[n→∞] Y(n) ≠ 0，則lim[n→∞] (X(n)/Y(n)) = lim[n→∞] X(n) / lim[n→∞] Y(n)
有了實數集的基礎就可以進入正題——極限。
先說明幾個符號的意義
“∀”——代表“任何”、“任意”。
“∃”——代表“存在”。
為了“線性”書寫形式的方便，將採用中括號“[]”表示某些“非線性”書寫形式（即利用此將其改變成“線性形式”），如
lim[n→∞] X(n)
∑[i=1,n] X(i)
∫[a,b] f(x)dx
一）數列及其極限的定義
數列是函式的一種特殊形式，即其自變數只取自然數，一般表示為{X(n)}，其中n∈N。由於自然數n只可能取無窮大為其極限點，所以數列也只有n趨向於無窮時的極限。
設{X(n)}是一個數列，A是一個實常數。如果對於任意給定的ε>0，存在正整數N，對於任何n>N，成立|X(n) - A|<ε，則稱數列{X(n)}收斂於A（或稱A是數列{X(n)}的極限）。記為
lim[n→∞] X(n) = A
上面的文字描述可以採用下述符號表述法：
lim[n→∞] X(n) = A ↔ ∀ε>0,∃N,∀n>N(|X(n)-A|<ε)
數列的這個極限定義形式通常被稱為(ε-N)分析描述語言。此類分析描述語言是由柯西和魏爾斯特拉斯發明的。
二）魏爾斯特拉斯定理
單調有界數列必有極限。
證明：
不妨設數列{X(n)}單調增加且有上界。根據確界存在定理，由{X(n)}構成的數集必有上確界A。任意給定ε>0，A-ε必然不是數集{X(n)}的上界，即存在N使得A>X(N)>(A-ε)。由於數列{X(n)}是單調增加的，所以對於任何n>N，成立A>X(n)>(A-ε)，即|X(n)-A|<ε。同理可證數列{X(n)}單調減小且有下界的情況。證畢。
三）柯西-康托爾原理（閉區間套定理）
如果{[a(n),b(n)]}構成一個閉區間套，即[a(n),b(n)]⊇[a(n+1),b(n+1)]，且lim[n→∞] (b(n)-a(n)) = 0。則存在唯一實數c屬於所有的閉區間[a(n),b(n)]，且c是數列{a(n)}和{b(n)}的極限。
證明：
由題設，顯然數列{a(n)}和{b(n)}是單調有界數列，則其必有極限分別設為A和B。由於lim[n→∞] (b(n)-a(n)) = B - A = 0，即A = B（設其為c），則
lim[n→∞] a(n) = lim[n→∞] b(n) = c
由於a(n)≤c≤b(n)，可見c屬於所有閉區間[a(n),b(n)]。證畢。
四）波爾察諾-魏爾斯特拉斯定理
有界數列必有收斂子列。
證明：
設數列{X(n)}有界，於是存在a1和b1成立a1≤X(n)≤b1。等分閉區間[a1,b1]得兩個閉區間[a1,(a1+b1)/2]和[(a1+b1)/2,b1]，其中至少有一個含數列{X(n)}中無窮多項，記為[a2,b2]。按此過程繼續可得一個閉區間套{[an，bn]}，顯然(bn-an) = (b1-a1)/2^(n-1)，即lim[n→∞] (bn-an) = 0。由閉區間套定理可知存在實數c屬於所有閉區間[an,bn]，且lim[n→∞] an = lim[n→∞] bn = c。
現在構造數列{X(n)}的一個子列。任取數列{X(n)}中的一項X(n1)，顯然此項必在閉區間[a1,b1]內。由於閉區間[a2,b2]內含有無窮多個數列{X(n)}的項，在其內選一個X(n2)且n2>n1。按此過程繼續可得數列{X(n)}的一個子列{X(nk)}，其通項X(nk)必在閉區間[ak,bk]內，則有關係
ak≤X(nk)≤bk
由極限的夾逼性可得
lim[n→∞] = c
證畢。
五）柯西收斂原理
先定義基本數列：
如果數列{X(n)}具有如下特性
∀ε>0,∃N,∀n>N∧∀m>N(|X(n)-X(m)|<ε)
則稱此數列為基本數列。
數列{X(n)}收斂的充分必要條件是它是個基本數列。
證明：
先證必要性。如果數列{X(n)}收斂於A，按收斂定義有
∀ε>0,∃N,∀n>N∧∀m>N(|X(n)-A|<ε/2∧|X(m)-A|<ε/2)
則有
|X(n)-X(m)|≤|X(n)-A|+|X(m)-A|<ε
即數列{X(n)}是個基本數列。
再證充分性。如果數列{X(n)}是個基本數列，對於選定的固定值ε，存在N，當m和n都大於N時成立
|X(n)-X(m)|<ε
現再固定m，顯見X(n)有界，即數列{X(n)}是個有界數列。由波爾察諾-魏爾斯特拉斯定理可知有界數列{X(n)}必有收斂子列{X(nk)}，設其收斂於A，即lim[k→∞] X(nk) = A。
因為{X(n)}是基本數列，故∀ε>0,∃N1,∀n>N1∧∀nk>N1(|X(n) - X(nk)|<ε/2)。又由於lim[k→∞] X(nk) = A，則∃N2,∀nk>N2(|X(nk)-A|<ε/2)。取N=max(N1,N2)，當∀n>N∧∀nk>N時有
|X(n)-A|≤|X(n)-X(nk)|+|X(nk)-A|<ε
即數列{X(n)}收斂（lim[n→∞] X(n) = A）。證畢。
六）實數系基本定理的等價性
前面分別給出了五個實數系基本定理以及它們的證明。從其證明的過程可以發現有下列推導關係
實數連續公理→確界存在定理→魏爾斯特拉斯定理→柯西-康托爾原理（閉區間套定理）→波爾察諾-魏爾斯特拉斯定理→柯西收斂原理
此外，還存在如下的推導關係
柯西收斂原理→柯西-康托爾原理（閉區間套定理）→確界存在定理
由此可見，實數系的五個基本定理是完全等價的。
七）數列極限的性質和四則運算
下面簡單羅列一下數列極限的一些性質和運演算法則：
1）數列極限的唯一性
2）收斂數列的有界性
3）收斂數列的保序性
4）數列極限的夾逼性
5）數列極限的運演算法則
a）lim[n→∞] (a X(n) + b Y(n)) = a lim[n→∞] X(n) + b lim[n→∞] Y(n)
b）lim[n→∞] (X(n) Y(n)) = lim[n→∞] X(n) lim[n→∞] Y(n)
c) 如果lim[n→∞] Y(n) ≠ 0，則lim[n→∞] (X(n)/Y(n)) = lim[n→∞] X(n) / lim[n→∞] Y(n)