簡單說一下啊，完整的可不敢說，那個看懂的都得是博士水平，我也寫不出來。

首先，F=ma不是牛頓說的，是馬赫說的，馬赫是誰，懟天懟地懟空氣，一輩子誰也不服，實證主義大師，懟翻牛頓，直接啟發愛因斯坦，愛因斯坦稱其為老師，他的教子就是驚才絕豔的泡利，號稱愛因斯坦繼承人，一輩子也是懟天懟地懟空氣，除了愛因斯坦誰也不服，為什麼馬赫要提出F=ma呢，因為要照顧我們這些普通人啊，因為牛頓的提法太複雜了。

其次，現在說牛頓的原始形式，先說動量定理啊，這是物理學的基本原理，不但在經典力學就是牛頓力學的環境下成立，在量子力學中照樣成立

動量定理怎麼說的？衝量的變化量等於動量的變化量，用公式表示就是F（t1－t2）=m1v1－m2v2，但是這個要求時間還是速度的變化量可以計量啊，爵爺不是有微積分啊，要求是趨近於無限小的變化量，所以爵爺把動量定理改了一下，就成了Fdt=dmv，d是微分符號，那兩邊都除以一下dt，就變成了F=dmv/dt。

看仔細了啊，m還在微分裡面呢，但是一般認為質量是不變的，記住這句話，等會兒有用啊。

那麼公式就變成了這樣，F=mdv/dt，m作為常數提了出來，速度相對於時間的變化量是什麼呢？當然就是加速度了，所以就變成了大家容易理解的F=ma。

第三：剛才說過了，爵爺認為質量m是固定的，是不變的，然而是真的嗎？愛因斯坦說不是，質量是隨著速度的增加而增大的，這就是洛倫茲變換，所以說啊，在爵爺的公式中是包含相對論思想的，只是在低速宏觀狀態下，質量的變化極小，可以忽略。

這就是爵爺推導第二定律的思路，僅僅是思路，過程要複雜到不可想象，我也不會，大家將就著瞭解一下爵爺的偉大思想就可以了。

牛頓第二運動定律的微積分公式原來在學校學過，因涉及面較廣難以說清，故在網上下載了一段，具體可見下部分內容:

牛頓第二運動定律　　 Newton"s second law of motion 　　1．定律內容：物體的加速度跟物體所受的合外力F成正比，跟物體的質量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。而以物理學的觀點來看，牛頓運動第二定律亦可以表述為“物體隨時間變化之動量變化率和所受外力之和成正比”。即動量對時間的一階導數等於外力之和。 　　2．公式：F合=ma 　　牛頓原始公式：F=Δ(mv)/Δt（見牛頓《自然哲學之數學原理》）。即，作用力正比於物體動量的變化率，這也叫動量定理。在相對論中F=ma是不成立的，因為質量隨速度改變，而F=Δ(mv)/Δt依然使用。 　　3．幾點說明： 　　（1）牛頓第二定律是力的瞬時作用規律。力和加速度同時產生、同時變化、同時消失。 　　（2）F=ma是一個向量方程，應用時應規定正方向，凡與正方向相同的力或加速度均取正值，反之取負值，一般常取加速度的方向為正方向。 　　（3）根據力的獨立作用原理，用牛頓第二定律處理物體在一個平面內運動的問題時，可將物本所受各力正交分解[1]，在兩個互相垂直的方向上分別應用牛頓第二定律的分量形式：Fx=max，Fy=may列方程。 　　4.牛頓第二定律的六個性質： 　　（1）因果性：力是產生加速度的原因。 　　（2）向量性：力和加速度都是向量，物體加速度方向由物體所受核外力的方向決定。牛頓第二定律數學表示式∑F = ma中，等號不僅表示左右兩邊數值相等，也表示方向一致，即物體加速度方向與所受合外力方向相同。 　　（3）瞬時性：當物體（質量一定）所受外力發生突然變化時，作為由力決定的加速度的大小和方向也要同時發生突變；當合外力為零時，加速度同時為零，加速度與合外力保持一一對應關係。牛頓第二定律是一個瞬時對應的規律，表明了力的瞬間效應。 　　（4）相對性：自然界中存在著一種座標系，在這種座標系中，當物體不受力時將保持勻速直線運動或靜止狀態，這樣的座標系叫慣性參照系。地面和相對於地面靜止或作勻速直線運動的物體可以看作是慣性參照系，牛頓定律只在慣性參照系中才成立。 　　（5）獨立性：作用在物體上的各個力，都能各自獨立產生一個加速度，各個力產生的加速度的向量和等於合外力產生的加速度。 　　（6）同一性：a與F與同一物體某一狀態相對應。 [編輯本段]牛頓第二定律的適用範圍　　1.當考察物體的運動線度可以和該物體的德布羅意波長相比擬時，由於測不準原理，物體的動量和位置已經是不能同時準確獲知的量了，因而牛頓動力學方程缺少準確的初始條件無法求解。也就是說經典的描述方法由於測不準原理已經失效或者需要修改。量子力學用希爾伯特空間中的態矢概念代替位置和動量（或速度）的概念來描述物體的狀態，用薛定諤方程代替牛頓動力學方程（即含有力場具體形式的牛頓第二定律）。 　　用態矢代替位置和動量的原因是由於測不準原理我們無法同時知道位置和動量的準確資訊，但是我們可以知道位置和動量的機率分佈，測不準原理對測量精度的限制就在於兩者的機率分佈上有一個確定的關係。 　　2.由於牛頓動力學方程不是洛倫茲協變的，因而不能和狹義相對論相容，因而當物體做高速移動時需要修改力，速度，等力學變數的定義，使動力學方程能夠滿足洛倫茲協變的要求，在物理預言上也會隨速度接近光速而與經典力學有不同。 　　但我們仍可以引入“慣性”使牛頓第二定律的表示形式在非慣性系中使用。 　　例如：如果有一相對地面以加速度為a做直線運動的車廂,車廂地板上放有質量為m的小球,設小球所受的合外力為F,相對車廂的加速度為a",以車廂為參考系,顯然牛頓運動定律不成立.即 　　F=ma"不成立 　　若以地面為參考系,可得 　　F=ma對地 　　式中,a對地是小球相對地面的加速度.由運動的相對性可知 　　a對地=a+a" 　　將此式帶入上式,有 　　F=m(a+a")=ma+ma" 　　則有 F+(-ma)=ma" 　　故此時,引入Fo=-ma,稱為慣性力,則F+Fo=ma" 　　此即為在非慣性系中使用的牛頓第二定律的表達形式. 　　由此,在非慣性系中應用牛頓第二定律時,除了真正的和外力外,還必須引入慣性力Fo=-ma,它的方向與非慣性系相對慣性系(地面)的加速度a的方向相反,大小等於被研究物體的質量乘以a。 　　 　　注意： 　　當物體的質量m一定時，物體所受合外力F與物體的加速度a是成正比的是錯誤的，因為是合力決定加速度。但當說是物體的質量m一定時，物體的加速度a與物體所受合外力F成正比時則是正確的。 　　解題技巧： 　　應用牛頓第二定律解題時，首先分析受力情況，運動圖景，列出各個方向（一般為正交分解）的受力的方程與運動方程。 　　同時，尋找題目中的幾何約束條件（如沿繩速度相等等）列出約束方程。聯立各方程得到物體的運動學方程，然後依據題目要求積分求出位移、速度等。

牛頓第二定律：在加速度和質量一定的情況下，物體加速度的大小跟作用力成正比，跟物體的質量成反比，且與物體質量的倒數成正比。加速度的方向跟作用力的方向相同。牛頓第二運動定律可以用比例式來表示，即也可以用等式來表示，即F=kma，其中k是比例係數；只有當F以牛頓、m以千克、a以m/s²為單位時，F=ma成立。

至於推導，首先：衝量的變化量 = 動量的變化量； 假設力為F， 時間為dt，速度變化為dv。

那麼可以寫為： Fdt = mdv

那麼F=mdv/dt

dv/dt: 這在微積分中速度的瞬時變化率為加速度a

所以，F=ma

這個是在有衝量，動量定義的情況下證明的。真正的驗證是需要做實驗的。

希望是你希望的答案

其實吧，我們常見的牛頓第二定律公式F=ma ，在牛頓的鉅著《自然哲學的數學原理》一書中並未出現。他是先定義動量，再由動量定理推出的。這個推導就是力對時間的定積分等於動量的變化量。具體可去參看大學的物理課本，比如《普通物理學》等。

牛頓一開始可能認為物體運動速度的變化量（Δv = v➖v的初始值）是與物體受到的作用力（F）、作用力的作用時間長短（Δt= t➖t的初始值）成正比，而與物體的質量（m）成反比。對等式兩邊進行微分運算（對時間t求導數），就得到物體運動的加速度（a）與作用力（F）成正比，與物體的質量（m）成反比，寫成等式就是牛頓第二定律的常用表示式 F = am .

是在說F=ma的微積分形式嗎？這個定律是個狀態關係描述，對時間的積分即為動量守恆定律，對空間積分則產生能力守恆定律。從一個運動系統的動量和動能守恆定律分別對時間和空間微分便都能推匯出牛頓第二運動定律的。

牛頓運動三定律和引力定律都是公理。根據公理的性質，公理在理論上既不能證明也不能證偽，只能從實踐中檢驗正誤。因此相對論從理論上證明牛頓力學不成立或近似成立是荒謬的。

牛頓第二定律其實就說明一件事，所謂力其實就是動量對時間的導數，它只是一種錯覺。或者世界上根本沒有力這個東西，只要動量隨著時間有變化，導數不為0，就會有力的錯覺。