小更新：刪去“同時趨向於幾個值”裡的“同時”，因為數列趨向於幾個值正是因為不同情況的n對應不同的極限。

我們知道，數列要麼是收斂要麼是發散，收斂數列指的是當n趨向於正無窮，數列趨向於一個數，而發散數列有兩種可能，一是當n趨向於正無窮，數列趨向於正無窮或負無窮（因為我們不把趨向於無窮的數列當成收斂數列）；二是當n趨向於正無窮，數列會趨向於幾個值（或者無窮）。我們現在姑且把那些值（或者無窮）稱作極限狀態（好像有類似的概念，叫做聚點，但聚點沒包括無窮），那麼極限狀態唯一且有限的數列就是收斂數列，否則就是發散數列。下面我們來看幾個極限狀態不唯一的例子：

當n趨向於正無窮時， 會有 和 兩種極限狀態。

當n趨向於正無窮時， 會有 和 兩種極限狀態。這時候我們常說數列趨向於無窮（前面沒有正或負）。

當n趨向於正無窮， 會有 和 兩種極限狀態。

說了這麼多，還沒說到上極限和下極限上來……其實說白了，上（下）極限就是數列極限狀態的最大值（最小值）。而當上下極限重合，也就說明數列極限狀態唯一，那麼數列要麼收斂，要麼趨於正負無窮。

其實還可以從子列的角度理解，有人看再填坑……第一次碼這麼多的字，求贊求感謝啊。