在解決與引數方程有關的問題應注意的幾個問題

潘繼軍 臨滄地區中學 雲南 677000

在解決與引數方程有關的問題時，應注意下述五個問題。

一、注意化引數方程為普通方程常用的基本方法：

\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}

(

1

)

代入消參法——先求出引數的表示式，然後代入另一個方程中去;

\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}

(

2

)

三角消參法——利用三角函式中的恆等式消引數。例1把引數方程

\left\{\begin{matrix}x=2t+1\\ y=2t^{2}−1\end{matrix}\right.\begin{pmatrix}t為引數\end{pmatrix}

{

x=2t+1

y=2t

2

−1

(

t為引數

)

，化為普通方程，並指出它的表示軌跡。

解：

\left\{\begin{matrix}x=2t+1 \begin{pmatrix}1\end{pmatrix}\\ y=2t^{2}-1 \begin{pmatrix}2\end{pmatrix}\end{matrix}\right.

{

x=2t+1(

1

)

y=2t

2

−1(

2

)

由

\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}

(

1

)

得

t=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}x−1\end{pmatrix}

t=

2

1

(

x−1

)

，代入

\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}

(

2

)

式，消去引數

t

t

，得

y=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}x−1\end{pmatrix}^{2}−1

y=

2

1

(

x−1

)

2

−1

，即

y=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}x−1\end{pmatrix}^{2}−1

y=

2

1

(

x−1

)

2

−1

為所求普通方程，它的軌跡是拋物線。

評述：引數方程中若沒有夢想的三角函式的特徵，在化為普通方程時常用代入消參法。這正與解方程組中代入消元法相類似。

例

2

2

將引數方程

\left\{\begin{matrix}x=3+3\cos θ\\ y=−1+5\sin θ\end{matrix}\right.\begin{pmatrix}θ為引數\end{pmatrix}

{

x=3+3cosθ

y=−1+5sinθ

(

θ為引數

)

，化為普通方程，並指出它表示的軌跡

解：所表示的軌跡。

解：

x=\begin{vmatrix}\cos ^{2}\frac{θ}{2}+\sin \frac{θ}{2}\end{vmatrix}=\sqrt{2}\begin{vmatrix}\sin \begin{pmatrix}\frac{θ}{2}+\frac{θ}{4}\end{pmatrix}\end{vmatrix}

x=

∣

∣

∣

cos

2

2

θ

+sin

2

θ

∣

∣

∣

=

2

∣

∣

∣

sin(

2

θ

+

4

θ

)

∣

∣

∣

，將該是平方得，

x^{2}=\cos ^{2}\frac{θ}{2}+\sin ^{2}\frac{θ}{2}+2\sin \frac{θ}{2}\cos \frac{θ}{2}=1+\sin θ

x

2

=cos

2

2

θ

+sin

2

2

θ

+2sin

2

θ

cos

2

θ

=1+sinθ

故

y=\frac{1}{2}x^{2}

y=

2

1

x

2

，注意到引數

0≺θ≺2π

0≺θ≺2π

，知

0≤x≤\sqrt{2}

0≤x≤

2

，因此，引數方程表示拋物線

y=\frac{1}{2}x^{2}\begin{pmatrix}0≤x≤\sqrt{2}\end{pmatrix}

y=

2

1

x

2

(

0≤x≤

2

)

的一部分。

例4指出引數方程

\left\{\begin{matrix}x=\frac{2−3t}{1+t}\\ y=\frac{1+4t}{1+t}\end{matrix}\right.\begin{pmatrix}t為引數\end{pmatrix}

{

x=

1+t

2−3t

y=

1+t

1+4t

(

t為引數

)

，所表示的軌跡。