圓周率π是無理數。證明如下：假設π是有理數，則π=a/b，（a,b為自然數）令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)若0<x<a/b,則0<f(x)<(π^n)(a^n)/(n!)0<sinx<1以上兩式相乘得：0<f(x)sinx<(π^n)(a^n)/(n!)當n充分大時，,在[0，π]區間上的積分有0<∫f(x)sinxdx <[π^(n+1)](a^n)/(n!)<1 …………（1）又令：F(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶數階導數)由於n!f(x)是x的整係數多項式，且各項的次數都不小於n，故f(x)及其各階導數在x=0點處的值也都是整數，因此，F(x)和F(π)也都是整數。又因為d[F"(x)sinx-F(x)conx]/dx=F"(x)sinx+F"(x)cosx-F"(x)cosx+F(x)sinx=F"(x)sinx+F(x)sinx=f(x)sinx所以有：∫f(x)sinxdx=[F"(x)sinx-F(x)cosx]，（此處上限為π，下限為0）=F(π)+F(0) 上式表示∫f(x)sinxdx在[0，π]區間上的積分為整數，這與（1）式矛盾。所以π不是有理數，又它是實數，故π是無理數。
圓周率π是無理數。證明如下：假設π是有理數，則π=a/b，（a,b為自然數）令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)若0<x<a/b,則0<f(x)<(π^n)(a^n)/(n!)0<sinx<1以上兩式相乘得：0<f(x)sinx<(π^n)(a^n)/(n!)當n充分大時，,在[0，π]區間上的積分有0<∫f(x)sinxdx <[π^(n+1)](a^n)/(n!)<1 …………（1）又令：F(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶數階導數)由於n!f(x)是x的整係數多項式，且各項的次數都不小於n，故f(x)及其各階導數在x=0點處的值也都是整數，因此，F(x)和F(π)也都是整數。又因為d[F"(x)sinx-F(x)conx]/dx=F"(x)sinx+F"(x)cosx-F"(x)cosx+F(x)sinx=F"(x)sinx+F(x)sinx=f(x)sinx所以有：∫f(x)sinxdx=[F"(x)sinx-F(x)cosx]，（此處上限為π，下限為0）=F(π)+F(0) 上式表示∫f(x)sinxdx在[0，π]區間上的積分為整數，這與（1）式矛盾。所以π不是有理數，又它是實數，故π是無理數。