上世紀後半頁，理論數學家們陷入了十分尷尬的境地，一方面他們已經很久沒做出突破性工作，一方面藉助計算機的機器證明開始興起，著名的四色猜想就是機器證明的。數學家們不喜歡使用蠻力的窮舉法機器證明，也詬病機器證明的程式沒法完全保證沒有bug，以及沒法驗證，但心裡也是頗為酸楚的。這個時候救星出現了，他叫安德魯懷爾斯，是普林斯頓大學的教授，美籍英裔，劍橋大學出身，橢圓曲線頂級專家。他躲在閣樓成一統，7年孤獨磨一劍，又經過一年的審稿煉獄，最終證明了費馬大定理！那麼何為費馬大定理呢？ 總所周知，x+y=z有無窮多組整數解，稱為一個三元組；x^2+y^2=z^2也有無窮多組整數解，這個結論在畢達哥拉斯時代就被他的學生證明，稱為畢達哥拉斯三元組，我們華人稱他們為勾股數。但x^3+y^3=z^3卻始終沒找到整數解，最接近的是：6^3+8^3=9^-1，還是差了1。於是迄今為止最偉大的業餘數學家費馬提出了猜想：總的來說，不可能將一個高於2次的冪寫成兩個同樣次冪的和。也就是： x^n+y^n=z^n，當n大於2時沒有整數解。 這是一個描述起來非常簡單的猜想，但358年來困擾了包括尤拉和柯西在內的一代代大數學家，他們得到了一些進展，比如當n等於3和4時猜想成立，但x、y、z和n的取值範圍是無限的，要證明整個猜想談何容易！更氣人的是費馬在一本書的頁邊處寫下這個猜想後還加了一個評註：我有一個對這個命題的十分美妙的證明，這裡空白太小，寫不下。這不是一種赤裸裸的挑戰嘛。 1984年事情有了轉機，一個叫弗萊的德國數學家提出，如果費馬猜想不成立，那個就可以找到三個整數使方程成立，表示為： A^N+B^N=C^N，接著他透過複雜的變換，這個等式轉換成了一個橢圓方程： y^2=x^3+(A^N-B^N)*x^2-A^N*B^N 而這個橢圓曲線太過古怪，他斷定由於這個由假設費馬猜想不成立引出的橢圓方程是如此古怪，所以它不可能模形式化。後來一個叫裡貝特的數學家嚴格證明了這個橢圓方程確實不能模形式化。 現在必須要說明啥叫橢圓方程的模形式化了，而說明這個問題以前還得介紹啥叫橢圓方程和模形式。 橢圓方程是形如y^2=x^3+a*x^2+b*x+c方程（a，b，c是任何整數），對這種方程的一個重要研究領域就是研究每一類橢圓方程的整數解個數，但當x和y的取值是無限時研究起來就很困難。於是科學家就發明了在時鐘算術中研究每類橢圓方程的整數解。何為時鐘算術呢，就是把正常數軸延伸到正負無窮的兩端接起來，這個圈有幾格就算幾格時鐘算術，比如我們的手錶就是在實踐12格時鐘算術。它有如下性質： 3＋11＝2 3＊4＝0 5＋6＝11 等等。這樣求橢圓方程的整數解就方便了。如果一個橢圓方程在1格時鐘算術中有1個解，2格時鐘算術中有4個解，3格時鐘算術中有4個解，4格時鐘算術中有8個解，5格時鐘算術中有4個解，6格時鐘算術中有16個解等等，我們就可以記錄為： E1＝1 E2＝4 E3＝4 E4＝8 E5＝4 E6＝16 . . . 這成為這個橢圓方程的 E－序列。每個橢圓方程的E－序列就像它的DNA一樣濃縮這它的特徵資訊。 模形式是在由兩根實軸和兩根虛周組成的四維復空間裡的超對稱結構，而每一個模形式都可以拆成各種基本要素的組合組成的，比如一個模形式是由1個1號要素，3個2號要素，2個3號要素組成，那麼這個模形式的M－序列就可以寫成： M－序列： M1＝1 M2＝3 M3＝2 . . . 正如E－序列包含了橢圓方程的特徵資訊一樣，模形式的M－序列也包含了各個模形式的特徵資訊，是模形式的DNA。 1955年在東京舉行的一個學術會議上日本青年數學家谷山豐和志村五郎提出了一個猜想：一個橢圓方程的E－序列一定和一個模形式的M－序列完全對應。這就叫橢圓方程的模形式化。這是一個驚天的猜想，在它被證明以前就得到了廣泛應用，幾百篇論文是這樣開頭的：如果谷山－志村猜想成立。 現在的問題清楚了，如果谷山－志村猜想成立，那個每一個橢圓方程都可以模形式化，而由假設費馬猜想不成立引出的橢圓方程卻被證明不可以模形式化，這樣就引出了矛盾。於是谷山－志村猜想成立和費馬猜想不成立這兩個假設不可能同時成立。所以只要證明了谷山－志村猜想，那費馬猜想不成立的假設就被推翻，於是費馬猜想也被證明了。 於是真正的英雄出場了。安德魯懷爾斯在知道假設費馬猜想不成立引出的橢圓方程被證明不能模形式化後受到震撼，也備受鼓舞，於是重拾童年時的夢想於1986年開始了7年的秘密研究，目標就是證明谷山－志村猜想，也即等價證明費馬猜想。他先用一年時間思考用什麼方法來證明，最後選定數學歸納法。他用群論的方法順利證明每個橢圓方程的E－序列第一項都和某個模形式M－序列的第一項相等，第二步是個假設每個橢圓方程的E－序列第n項都和某個模形式M－序列的第n項相等，第三步是艱辛的，要證明如果第二步假設成立就每個橢圓方程的E－序列第n＋1項都和某個模形式M－序列的第n＋1項相等。開始他採用了經過自己加強的伊娃沙娃理論來證明第三步，但到了第5年他感到伊娃沙娃理論沒法得到他想要的結論。懷爾斯暫時結束半隱居狀態，回到學術圈，想看看別的數學家有沒有新的可利用的理論，他確實在老師的無意談論中找到了科利瓦金－弗萊切方法，這個方法正對懷爾斯的需要，他在強化這個方法後取得了突破進展，到1993年1月他第一次向一個他認為可靠的同事透露他的研究，並請他審閱自己的手稿。他們採用了一種狡黠的方式開展這項工作，由懷爾斯開了一門研究生課程“橢圓曲線的計算”，專門講他的手稿。這個叫凱茲的同事也坐在研究生們中間，很快枯燥艱深的演算把不明就裡的研究生們都嚇跑了，凱茲成了唯一的聽眾，正好開展審閱手稿工作。1993年5月末，懷爾斯藉助一個19世紀的數學構造完成了最後一簇橢圓方程的證明。93年6月23日懷爾斯在劍橋舉行的學術會議上公佈了證明。會後200多頁的證明手稿被分成6部分由6名審稿人審稿。審稿採用審稿人在世界各地審稿，針對存在的問題用電子郵件向懷爾斯提問，開始進展順利，審稿人的問題被懷爾斯半天到3天就給以解答。但9月份還是那個凱茲同事提的一個問題徹底難住了懷爾斯，這個問題是“在半穩定情況下，塞爾默群的精確上界的計算還不完全”。在將近一年的彌補這個漏洞的掙扎中，數學界很焦急，也很騷動，大家要求懷爾斯公開手稿，大家來幫他，可懷爾斯拒絕了，最後有些數學家開始惡搞懷爾斯了，編他的愚人節笑話。第二年9月19日的清晨，懷爾斯又坐在書桌前檢查科利瓦金－弗萊切方法，這次他不是相信這個方法還能完成證明，而只是想看看它為啥行不通。突然靈光閃現，他突然發現科利瓦金－弗萊切方法本身行不通但卻可以使他拋棄的伊娃沙娃方法生效！有些事情就是這樣的，長期的努力本來就接近突破，但過份的執著和焦慮阻礙你的心智，所以沒法實現飛躍，但當你認為沒辦法了準備放棄，放鬆心態冷靜下來時反而靈感突發取得突破。當年阿難尊者被邀請在第一次佛經結集時口頌佛經，可他當時還沒有證阿羅漢果，沒有資格參加結集，所以他抓緊時間努力修行，爭取馬上證果，可越是緊急越沒法達成心願。到了結集這一天，尊者一看天都亮了，自己還沒證阿羅漢果，就想沒指望了，於是連日修行的疲憊身心放鬆下來，準備睡一下覺，當他往下躺，頭還沒碰到枕頭的空中夙世的因緣成熟，尊者一下子證得阿羅漢果！他得以參加結集，說了他的萬古名言“如是我聞”。 接下來事情就順利了，200頁的手稿被雙劍合璧地縮減成了130頁，最後發表在《數學年刊》1995年5月刊上。因為這個成果懷爾斯獲得了沃爾夫獎和菲爾茲特別獎。
上世紀後半頁，理論數學家們陷入了十分尷尬的境地，一方面他們已經很久沒做出突破性工作，一方面藉助計算機的機器證明開始興起，著名的四色猜想就是機器證明的。數學家們不喜歡使用蠻力的窮舉法機器證明，也詬病機器證明的程式沒法完全保證沒有bug，以及沒法驗證，但心裡也是頗為酸楚的。這個時候救星出現了，他叫安德魯懷爾斯，是普林斯頓大學的教授，美籍英裔，劍橋大學出身，橢圓曲線頂級專家。他躲在閣樓成一統，7年孤獨磨一劍，又經過一年的審稿煉獄，最終證明了費馬大定理！那麼何為費馬大定理呢？ 總所周知，x+y=z有無窮多組整數解，稱為一個三元組；x^2+y^2=z^2也有無窮多組整數解，這個結論在畢達哥拉斯時代就被他的學生證明，稱為畢達哥拉斯三元組，我們華人稱他們為勾股數。但x^3+y^3=z^3卻始終沒找到整數解，最接近的是：6^3+8^3=9^-1，還是差了1。於是迄今為止最偉大的業餘數學家費馬提出了猜想：總的來說，不可能將一個高於2次的冪寫成兩個同樣次冪的和。也就是： x^n+y^n=z^n，當n大於2時沒有整數解。 這是一個描述起來非常簡單的猜想，但358年來困擾了包括尤拉和柯西在內的一代代大數學家，他們得到了一些進展，比如當n等於3和4時猜想成立，但x、y、z和n的取值範圍是無限的，要證明整個猜想談何容易！更氣人的是費馬在一本書的頁邊處寫下這個猜想後還加了一個評註：我有一個對這個命題的十分美妙的證明，這裡空白太小，寫不下。這不是一種赤裸裸的挑戰嘛。 1984年事情有了轉機，一個叫弗萊的德國數學家提出，如果費馬猜想不成立，那個就可以找到三個整數使方程成立，表示為： A^N+B^N=C^N，接著他透過複雜的變換，這個等式轉換成了一個橢圓方程： y^2=x^3+(A^N-B^N)*x^2-A^N*B^N 而這個橢圓曲線太過古怪，他斷定由於這個由假設費馬猜想不成立引出的橢圓方程是如此古怪，所以它不可能模形式化。後來一個叫裡貝特的數學家嚴格證明了這個橢圓方程確實不能模形式化。 現在必須要說明啥叫橢圓方程的模形式化了，而說明這個問題以前還得介紹啥叫橢圓方程和模形式。 橢圓方程是形如y^2=x^3+a*x^2+b*x+c方程（a，b，c是任何整數），對這種方程的一個重要研究領域就是研究每一類橢圓方程的整數解個數，但當x和y的取值是無限時研究起來就很困難。於是科學家就發明了在時鐘算術中研究每類橢圓方程的整數解。何為時鐘算術呢，就是把正常數軸延伸到正負無窮的兩端接起來，這個圈有幾格就算幾格時鐘算術，比如我們的手錶就是在實踐12格時鐘算術。它有如下性質： 3＋11＝2 3＊4＝0 5＋6＝11 等等。這樣求橢圓方程的整數解就方便了。如果一個橢圓方程在1格時鐘算術中有1個解，2格時鐘算術中有4個解，3格時鐘算術中有4個解，4格時鐘算術中有8個解，5格時鐘算術中有4個解，6格時鐘算術中有16個解等等，我們就可以記錄為： E1＝1 E2＝4 E3＝4 E4＝8 E5＝4 E6＝16 . . . 這成為這個橢圓方程的 E－序列。每個橢圓方程的E－序列就像它的DNA一樣濃縮這它的特徵資訊。 模形式是在由兩根實軸和兩根虛周組成的四維復空間裡的超對稱結構，而每一個模形式都可以拆成各種基本要素的組合組成的，比如一個模形式是由1個1號要素，3個2號要素，2個3號要素組成，那麼這個模形式的M－序列就可以寫成： M－序列： M1＝1 M2＝3 M3＝2 . . . 正如E－序列包含了橢圓方程的特徵資訊一樣，模形式的M－序列也包含了各個模形式的特徵資訊，是模形式的DNA。 1955年在東京舉行的一個學術會議上日本青年數學家谷山豐和志村五郎提出了一個猜想：一個橢圓方程的E－序列一定和一個模形式的M－序列完全對應。這就叫橢圓方程的模形式化。這是一個驚天的猜想，在它被證明以前就得到了廣泛應用，幾百篇論文是這樣開頭的：如果谷山－志村猜想成立。 現在的問題清楚了，如果谷山－志村猜想成立，那個每一個橢圓方程都可以模形式化，而由假設費馬猜想不成立引出的橢圓方程卻被證明不可以模形式化，這樣就引出了矛盾。於是谷山－志村猜想成立和費馬猜想不成立這兩個假設不可能同時成立。所以只要證明了谷山－志村猜想，那費馬猜想不成立的假設就被推翻，於是費馬猜想也被證明了。 於是真正的英雄出場了。安德魯懷爾斯在知道假設費馬猜想不成立引出的橢圓方程被證明不能模形式化後受到震撼，也備受鼓舞，於是重拾童年時的夢想於1986年開始了7年的秘密研究，目標就是證明谷山－志村猜想，也即等價證明費馬猜想。他先用一年時間思考用什麼方法來證明，最後選定數學歸納法。他用群論的方法順利證明每個橢圓方程的E－序列第一項都和某個模形式M－序列的第一項相等，第二步是個假設每個橢圓方程的E－序列第n項都和某個模形式M－序列的第n項相等，第三步是艱辛的，要證明如果第二步假設成立就每個橢圓方程的E－序列第n＋1項都和某個模形式M－序列的第n＋1項相等。開始他採用了經過自己加強的伊娃沙娃理論來證明第三步，但到了第5年他感到伊娃沙娃理論沒法得到他想要的結論。懷爾斯暫時結束半隱居狀態，回到學術圈，想看看別的數學家有沒有新的可利用的理論，他確實在老師的無意談論中找到了科利瓦金－弗萊切方法，這個方法正對懷爾斯的需要，他在強化這個方法後取得了突破進展，到1993年1月他第一次向一個他認為可靠的同事透露他的研究，並請他審閱自己的手稿。他們採用了一種狡黠的方式開展這項工作，由懷爾斯開了一門研究生課程“橢圓曲線的計算”，專門講他的手稿。這個叫凱茲的同事也坐在研究生們中間，很快枯燥艱深的演算把不明就裡的研究生們都嚇跑了，凱茲成了唯一的聽眾，正好開展審閱手稿工作。1993年5月末，懷爾斯藉助一個19世紀的數學構造完成了最後一簇橢圓方程的證明。93年6月23日懷爾斯在劍橋舉行的學術會議上公佈了證明。會後200多頁的證明手稿被分成6部分由6名審稿人審稿。審稿採用審稿人在世界各地審稿，針對存在的問題用電子郵件向懷爾斯提問，開始進展順利，審稿人的問題被懷爾斯半天到3天就給以解答。但9月份還是那個凱茲同事提的一個問題徹底難住了懷爾斯，這個問題是“在半穩定情況下，塞爾默群的精確上界的計算還不完全”。在將近一年的彌補這個漏洞的掙扎中，數學界很焦急，也很騷動，大家要求懷爾斯公開手稿，大家來幫他，可懷爾斯拒絕了，最後有些數學家開始惡搞懷爾斯了，編他的愚人節笑話。第二年9月19日的清晨，懷爾斯又坐在書桌前檢查科利瓦金－弗萊切方法，這次他不是相信這個方法還能完成證明，而只是想看看它為啥行不通。突然靈光閃現，他突然發現科利瓦金－弗萊切方法本身行不通但卻可以使他拋棄的伊娃沙娃方法生效！有些事情就是這樣的，長期的努力本來就接近突破，但過份的執著和焦慮阻礙你的心智，所以沒法實現飛躍，但當你認為沒辦法了準備放棄，放鬆心態冷靜下來時反而靈感突發取得突破。當年阿難尊者被邀請在第一次佛經結集時口頌佛經，可他當時還沒有證阿羅漢果，沒有資格參加結集，所以他抓緊時間努力修行，爭取馬上證果，可越是緊急越沒法達成心願。到了結集這一天，尊者一看天都亮了，自己還沒證阿羅漢果，就想沒指望了，於是連日修行的疲憊身心放鬆下來，準備睡一下覺，當他往下躺，頭還沒碰到枕頭的空中夙世的因緣成熟，尊者一下子證得阿羅漢果！他得以參加結集，說了他的萬古名言“如是我聞”。 接下來事情就順利了，200頁的手稿被雙劍合璧地縮減成了130頁，最後發表在《數學年刊》1995年5月刊上。因為這個成果懷爾斯獲得了沃爾夫獎和菲爾茲特別獎。