畢達哥拉斯 （Pythagqras,約公元前885年至公元前400年間），從小就很聰明，一次他揹著柴禾從街上走過，一位長者見他捆柴的方法與別人不同，便說：“這孩子有數學才能，將來會成為一個大學者。”他聞聽此言，便摔掉柴禾南渡地中海到泰勒斯門下去求學。畢達哥拉斯本來就極聰明，經泰勒一指點，許多數學難題在他的手下便迎刃而解。其中，他證明了三角形的內角和等於180度；能算出你若要用瓷磚鋪地，則只有用正三角、正四角、正六角三種正多角磚才能剛好將地鋪滿，還證明了世界上只有五種正多面體，即：正4、6、8、12、20面體。他還發現了奇數、偶數、三角數、四角數、完全數、友數，直到畢達哥拉斯數。然而他最偉大的成就是發現了後來以他的名字命名的畢達哥拉斯定理（勾股弦定理），即：直角三角形兩直角邊為邊長的正方形的面積之和等於以斜邊為邊長的正方形的面積。據說，這是當時畢達哥拉斯在寺廟裡見工匠們用方磚鋪地，經常要計算面積，於是便發明了此法。

畢達哥拉斯將數學知識運用得純熟之後，覺得不能只滿足於用來算題解題，於是他試著從數學領域擴大到哲學，用數的觀點去解釋一下世界。經過一番刻苦實踐，他提出“凡物皆數”的觀點，數的元素就是萬物的元素，世界是由陣列成的，世界上的一切沒有不可以用數來表示的，數本身就是世界的秩序。畢達哥拉斯還在自己的周圍建立了一個青年兄弟會。在他死後大約200年，他的門徒們把這種理論加以研究發展，形成了一個強大的畢達哥拉斯學派。

一天，學派的成員們剛開完一個學術討論會，正坐著遊船出來領略山水風光，以驅散一天的疲勞。這天，風和日麗，海風輕輕的吹，蕩起層層波浪，大家心裡很高興。一個滿臉鬍子的學者看著遼闊的海面興奮地說：“畢達哥拉斯先生的理論一點都不錯。你們看這海浪一層一層，波峰浪谷，就好像奇數、偶數相間一樣。世界就是數字的秩序。”“是的，是的。”這時一個正在搖槳的大個子插進來說：“就說這小船和大海吧。用小船去量海水，肯定能得出一個精確的數字。一切事物之間都是可以用數字互相表示的。”

“我看不一定。”這時船尾的一個學者突然提問了，他沉靜地說：“要是量到最後，不是整數呢？”

“那就是小數。”“要是小數既除不盡，又不能迴圈呢？”

“不可能，世界上的一切東西，都可以相互用數字直接準確地表達出來。”

這時，那個學者以一種不想再爭辯的口氣冷靜地說：“並不是世界上一切事物都可以用我們現在知道的數來互相表示，就以畢達哥拉斯先生研究最多的直角三角形來說吧，假如是等腰直角三角形，你就無法用一個直角邊準確地量出斜邊來。”

這個提問的學者叫希帕索斯（Hippasus)，他在畢達哥拉斯學派中是一個聰明、好學、有獨立思考能力的青年數學家。今天要不是因為爭論，還不想發表自己這個新見解呢。那個搖槳的大個子一聽這話就停下手來大叫著：“不可能，先生的理論置之四海皆准。”希帕索斯眨了眨聰明的大眼，伸出兩手，用兩個虎口比成一個等腰直角三角形說：

“如果直邊是3，斜邊是幾？”

“4。”

“再準確些？”

“4.2。”

“再準確些？”

“4.24。”

“再準確些呢？”

大個子的臉漲得緋紅，一時答不上來。希帕索斯說：“你就再往後數上10位、20位也不能算是最精確的。我演算了很多次，任何等腰直角三角形的一邊與餘邊，都不能用一個精確的數字表示出來。”這話像一聲晴天霹靂，全船立即響起一陣怒吼：“你敢違背畢達哥拉斯先生的理論，敢破壞我們學派的信條！敢不相信數字就是世界！”希帕索斯這時十分冷靜，他說：“我這是個新的發現，就是畢達哥拉斯先生在世也會獎賞我的。你們可以隨時去驗證。”可是人們不聽他的解釋，憤怒地喊著：“叛逆！先生的不肖門徒。”“打死他！批死他！”大鬍子衝上來，當胸給了他一拳。希帕索斯抗議著：“你們無視科學，你們竟這樣無理！”“捍衛學派的信條永遠有理。”這時大個子也衝了過來，猛地將他抱起：“我們給你一個最高的獎賞吧！”說著就把希帕索斯扔進了海里。藍色的海水很快淹沒了他的軀體，再也沒有出來。這時，天空飄過幾朵白雲，海面掠過幾只水鳥，一場風波過後，這地中海海濱又顯得那樣寧靜了。

一位很有才華的數學家就這樣被奴隸專制制度的學閥們毀滅了。但是這倒真使人們看清了希帕索斯的思想價值。這次事件後，畢達哥拉斯學派的成員們確實發現不但等腰直角三角形的直角邊無法去量準斜邊，而且圓的直徑也無法去量盡圓周，那個數字是3.1415926535897932384626……更是永遠也無法精確。慢慢地，他們感覺後悔了，後悔殺死希帕索斯的無理行動。他們漸漸明白了，明白了直覺並不是絕對可靠的，有的東西必須靠科學的證明；他們明白了，過去他們所認識的數字“0”，自然數等有理數之外，還有一些無限的不能迴圈的小數，這確實是一種新發現的數——應該叫它“無理數”。這個名字反映了數學的本來面貌，但也真實的記錄了畢達哥拉斯學派中學閥的蠻橫無理。

由無理數引發的數學危機一直延續到19世紀。1872年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數，並把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，從而結束了無理數被認為“無理”的時代，也結束了持續2000多年的數學史上的第一次大危機。

有理數在英語中是rational number，rational通常的意義是“理性的”。近代翻譯西方科學著作，依據日語中的翻譯方法，把它譯成了“有理數”。其實這個詞來源於古希臘，詞根ratio是比例的意思。所以說更讓我們理解的翻譯方法叫做比例數（有理數），非比例數（無理數）。

自然數

人類最早認識的數是0、1、2、3、4、5……這就是我們所熟悉的自然數。

整數

自然數對於加法和乘法是封閉的，減法就不一定了，比如說，1-2等於多少。 透過減法將數擴充套件到整數。在整數範圍內，對於加法、減法、乘法是封閉的。

比例數（有理數）

透過對整數進行除法，數擴充套件到了比例數（有理數，將整數及0可以視為一種特殊的分數）

非比例數（無理數）

有理數具有稠密性，但有理數卻不是完備的，也就是說有理數有空隙，無理數則填補了這個空隙。

實數

所謂的實數就是有理數及無理數，之前講過戴德金分割。如果對實數進行分割的話，只會出現前兩種情形，意思就是實數具有完備性。實數的連續性與完備性是等價的，學過數學分析的人都知道：實數的連續性定理（確界存在定理），推出單調有界數列收斂定理，再推出閉區間套定理，再推出Bolzano-Weierstrass定理，再推出Cauchy收斂原理。 Cauchy收斂原理表明，由實數構成的基本數列必存在實數極限，這一性質被稱為實數的完備性。 還可以證明實數系的完備性，也包含了實數系的連續性。也就是說，實數的完備性與連續性是等價的。

畢達哥拉斯的個重大發現就是畢達哥拉斯定理，根號2引發了第一次數學危機。這次數學危機持續了很長時間，直到柯西、微爾斯特拉斯、戴德金等人的傑出工作才算是徹底解決。可以這麼說吧，畢達哥拉斯定理只是無理數產生的一個契機，其根源在於人類的理性思考。

人類數學還在發展中，對無理數的存在與意義還未完全解開，估計要解開的話，需要開劈新的途徑。也許，在別的星球上，科學比我們發達得多，對無理數的認同與我們不一樣！

大約上世紀80年代，曾經在《數學物理學》(英文)刊物上讀到一篇關於芝諾悖論的論文，不過它講的是量子連續測量

確定是問“無理數”？而不是“複數”？這兩個的含義不同。

無理數是客觀存在的，不是人類的“生安硬造”。畢達哥拉斯學派的一個人證明，邊長為一的正方形，其對角線（就是根號二）是不能用兩個整數的比值準確表達出來的，這就是無理數。這不是“客觀事實”嗎？

數字“0”，自然數等有理數之外，還有一些無限的不能迴圈的小數，這確實是一種新發現的數——應該叫它“無理數”。這個名字反映了數學的本來面貌，但也真實的記錄了畢達哥拉斯學派中學閥的蠻橫無理。

大家知道，無理數主要來自直角三角形(簡寫成Rt△)的斜邊c，根據畢達哥拉斯定理或勾股定理，有：c=√(a²+b²)...(1)。

分析公式(1)，只有“勾3股4模式”的極少數整數可對應有理數斜邊。例如：6²+8²=10²。

其餘的絕大多數有理數的直角邊，都對應無理數的斜邊。反過來：

若c是有理數常數，則對應的所有Rt△的直角邊a,b都是有理數麼？先暫不作答。

其實，Rt△的斜邊與圓的直徑，皆可作為無理數，是一種等效表述。因為，

直徑所對的圓周角是直角，直徑c總是Rt△的斜邊，有：c²=a²+b²...(3)，a,b是兩圓弧弦。

已知圓弧對應的弦長公式：a²=(△x)²+(△y)²...(4)，b²=(△x")²+(△y")²...(5)，x,y是座標值。

根據(1)，對於(4)與(5)的a,b取值，絕大多數都是無理數。

假定Rt△的斜邊c為單位1，有：c²=a²+b²= 1=cos²(π/n)+sin²(π/n)，n為正整數...(6)

由於cos(π/n)或sin(π/n)，除了極少的幾個特殊角函式值是有理數，其餘都是無理數。

可見，有理數的斜邊，對應的直角邊幾乎都是無理數。只要與斜邊有關，就幾乎是無理數。

方根、圓周率、自然常數等無理數，都是來自旋轉。旋轉總是至少表現為在二維運動。

看來，有理數來自對直線(運動)的測量與計算，無理數來自對曲線(運動)的測量與計算。

好了，本答stop here。請關注物理新視野，共同切磋物理邏輯與中英雙語的疑難問題。

有理數的本質是可以表示為q/p(p，q互質且為整數)，整數的單位元為1，我們可以構造一個新的數域，單位元為1/p，則在新的數域上，這個有理數表示為q，即為單位元的q倍。所以所有的有理數都可以轉化為某一個單位元的整數倍。但無論單位元取多小，單位元整數倍與單位元整數倍之間最少相差一個單位元，相差單位元之間的數字無法用單位元的整數倍表示，這無法用單位元整數倍表示的數就是無理數。如果相差單位元之間不存在數，那就不存在無理數。但是我們的時間和空間是連續的，即存在兩個數之間的間距可以任意小，所以相差單位元之間的數的內部肯定存在數，而這些數就是無理數。

所以由無理數存在的根本原因是由連續性導致的。

雖然現實世界存在最小長度，普朗克長度，但在思想實驗裡，即抽象裡，可以有比這小的長度。即抽象裡空間可以無限細分，所以才有無理數