線性函式是指在數學中那些線性的函式，但也常用作一次函式的別稱，儘管一次函式不一定是線性的（那些不經過原點的）。

非線性函式是指在數學中函式影象不是一條直線的函式。非線性函式包括指數函式、冪函式、對數函式、多項式函式等等基本初等函式以及他們組成的複合函式。

在初級代數與解析幾何，線性函式是隻擁有一個變數的一階多項式函式，又或者是常數函式。因為，採用直角座標系，這些函式的圖象是直線，所以，這些函式是線性的。要注意的是，與x軸垂直的直線不是線性函式。

設 V，W 是同一數域 K 上 的線性空間，若 從 V 到 W 的 對映 f: V → W， 可以 保持 線性運算，即，對於 任何 x, y∈V，λ∈K 有：

f(x+y)＝f(x)＋f(y)

f(λx)＝λf(x)

則稱 f 為 線性對映。

當 W = V 時， 線性對映 f: V → V 被稱為 線性變換。

我們知道，數域 K 是自己之上的 線性空間，於是 當 W = K 時，線性對映 f: V → K 被稱為 線性函式。

當給定 V 一組基 {ε₁, ε₂, ..., ε_n} 後，對於 V 中的任意向量 x 有：

x = x₁ε₁ + x₂ε₂ + ... + x_nε_n = (ε₁, ε₂, ..., ε_n)X, (x₁, x₂, ..., x_n ∈ K)

其中 X = (x₁, x₂, ..., x_n)ᐪ 稱為 x 的座標向量。

根據 上面 線性對映的 保線性運算性，有：

f(x) = f(x₁ε₁ + x₂ε₂ + ... + x_nε_n) = x₁f(ε₁) + x₂f(ε₂) + ... + x_nf(ε_n) = (f(ε₁), f(ε₂), ..., f(ε_n))X ①

其中 每個 f(ε_i) (i = 1, 2, ..., n) 都是 W 中的向量，若 給定 W 中一組基 {η₁, η₂, ..., η_m}，則每個 f(ε_i) 可表示為：

f(ε_i) = a_{1i}η₁ + a_{2i}η₂ + ... + a_{mi}η_m

進而有：

(f(ε₁), f(ε₂), ..., f(ε_n)) = (η₁, η₂, ..., η_n)A

其中 A = (a_{ij}) 是一個 m × n 矩陣。結合 ① 有：

f(x) = (η₁, η₂, ..., η_n)AX ②

又因為 f(x) 也是 W 中的向量，於是有：

f(x) = y₁η₁ + y₂η₂ + ... + y_mη_m = (η₁, η₂, ..., η_n)Y, (y₁, y₂, ..., y_n ∈ K)

其中 Y = (y₁, y₂, ..., y_m)ᐪ 是 f(x) 的座標向量。結合 ② 得到：

(η₁, η₂, ..., η_n)Y = (η₁, η₂, ..., η_n)AX

即，

這說明，在 V，W 的基確定的情況下 線性對映 某個 矩陣 A 一一對應。

y = ax

這就是我們常說的線性函式。

考慮 Y = AX + B，其中 B=(b₁, b₂, ..., b_m) ∈ W，由於：

f(X₁ + X₂) = A(X₁ + X₂) + B = AX₁ + B + AX₂ + B - B = f(X₁) + f(X₂) - B

f(λX) = A(λX) + B = λ(AX + B) + B - λB = λf(X) + B - λB

接不滿足 保線性運算性，於是 Y = AX + B 不是 線性對映，我們稱為 仿射。

當 K = W = V = R 時，仿射就是：

y = ax + b

也就是我們中學時最早接觸的 一次函式。

從幾何上來說，只有經過原點的“直線”才是 線性函式，其他的函式都是 非線性函式，不過有時候 非線性函式 特指 非仿射函式（一次函式），一般有：二次以上的冪函式，圓錐曲線，指數函式、對數函式 等。

線性對映還可以擴充套件到 多元情況：設 V₁, V₂, ..., V_k，W 是同一數域 K 上的 線性空間，若 多元函式 f: V₁ × V₂ × ... × V_k → W，對於 任意 1 i k 均 保線性運算，即，對於 任何 x_i, y_i ∈V_i，α，β ∈ K 有：

f(x₁, x₂, ..., αx_i + βy_i, ..., x_n) = αf(x₁, x₂, ..., x_i, ..., x_n) + βf(x₁, x₂, ..., y_i, ..., x_n)

則稱 f 為 多線性對映，當 W = K 時，稱 f 為 多線性函式。

特別地，當 k = 2, V₁ = V₂ = V，W = K 時 稱 f: V × V → K 為 V 上的 雙線性函式。

給定 V 中的一組基 {ε₁, ε₂, ..., ε_n} ，令 V 中的 任意向量 x，y 為：

x = x₁ε₁ + x₂ε₂ + ... + x_nε_n = (ε₁, ε₂, ..., ε_n)X, (x₁, x₂, ..., x_n ∈ K)

y = y₁ε₁ + y₂ε₂ + ... + y_nε_n = (ε₁, ε₂, ..., ε_n)Y, (y₁, y₂, ..., y_n ∈ K)

則 根據 保線性運算性 有：

f(x, y)

= f(x₁ε₁ + x₂ε₂ + ... + x_nε_n, y₁ε₁ + y₂ε₂ + ... + y_nε_n)

= x₁f(ε₁, y₁ε₁ + y₂ε₂ + ... + y_nε_n) + x₂f(ε₂, y₁ε₁ + y₂ε₂ + ... + y_nε_n) + ... + x_nf(ε_n, y₁ε₁ + y₂ε₂ + ... + y_nε_n)

= x₁y₁f(ε₁, ε₁) + x₁y₂f(ε₁, ε₂) + ... + x₁y_nf(ε₁, ε_n)

+ x₂y₁f(ε₂, ε₁) + x₂y₂f(ε₂, ε₂) + ... + x₂y_nf(ε₂, ε_n)

+ ...

+ x_ny₁f(ε_n, ε₁) + x_ny₂f(ε_n, ε₂) + ... + x_ny_nf(ε_n, ε_n)

即，

可見 雙線性函式，依然和 一個 方陣 A 一一對應。

再特殊一些，稱

f(x, x) = XᐪAX = a₁₁x₁² + a₁₂x₁x₂ + ... + a_{nn}(x_n)²

為 二次型。

由此可見，齊次 n元n次冪函式 雖然不是 線性函式，但可以是 多線性函式。

最後，線性空間 V 上的全體 線性函式，組成另外一個 線性空間，稱為 V 的對偶空間，記為 V* ，而 V* 上的 全體線性函式 組成的空間 V** 和 V 線性同構，於是認為 V** = V，即 V 也是 V* 的對偶空間。

線性函式以為其特殊性，被在《線性代數》中廣泛而深入的研究和使用，而 《圓錐曲線》則是研究時間最長（從古希臘開始）的 非線性函式。