三角形的三條高交於一點.該點叫做三角形的垂心. 其性質包括： 1.三角形三個頂點,三個垂足,垂心這7個點可以得到6個四點圓. 2.垂心外心內心三心共線. 3.垂心到三角形一頂點距離為此三角形外心到此頂點對邊距離的2倍. 已知：ΔABC中,AD、BE是兩條高,AD、BE交於點連線CO並延長交AB於點F 求證：CF⊥AB 證明： 連線DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四點共圓 ∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB 因此,垂心定理成立!這裡不方便畫圖,我就用文字來表達了
畫任意一個三角形ABC,垂心為D,外心為E,設B垂AC於F,
C垂AB於H,做△ABC的外接圓,ABC為三頂點abc為三內角
S為△ABC的面積
由正弦定理AB/sinc=BC/sina=AC/sinb=2R
由影象得∠c=∠BEH
∴EH=Rcosc=AB/(2tanc)
CD=CF/cos∠ACH=BCcosc/(CH/AC)=AC*BC*cosc/CH
AC*BCsinc/2=S=AB*CH/2
代入上式得CD=AB/tanc=2D
三角形的三條高交於一點.該點叫做三角形的垂心. 其性質包括： 1.三角形三個頂點,三個垂足,垂心這7個點可以得到6個四點圓. 2.垂心外心內心三心共線. 3.垂心到三角形一頂點距離為此三角形外心到此頂點對邊距離的2倍. 已知：ΔABC中,AD、BE是兩條高,AD、BE交於點連線CO並延長交AB於點F 求證：CF⊥AB 證明： 連線DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四點共圓 ∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB 因此,垂心定理成立!這裡不方便畫圖,我就用文字來表達了
畫任意一個三角形ABC,垂心為D,外心為E,設B垂AC於F,
C垂AB於H,做△ABC的外接圓,ABC為三頂點abc為三內角
S為△ABC的面積
由正弦定理AB/sinc=BC/sina=AC/sinb=2R
由影象得∠c=∠BEH
∴EH=Rcosc=AB/(2tanc)
CD=CF/cos∠ACH=BCcosc/(CH/AC)=AC*BC*cosc/CH
AC*BCsinc/2=S=AB*CH/2
代入上式得CD=AB/tanc=2D