討論自然數與偶數一樣多 “如果兩個集合之間建立一個一一對應，就叫做它們的個數相等”1。“不管是有窮集還是無窮集，如果能夠在A與B兩個集合的元素之間建立起一種一一對應的關係，就應當承認A與B的元素一樣多”2。“我們可以把每個自然數同一個偶數配對，也可以把每個偶數同一個自然數配對。例如，下面就是一種配對的方法： 標準集 偶數集 1←→2 2←→4 3←→6 4←→8 ……… 用這種方法可以把兩個集合的元素都配成對，因此它們有相同的基數”3。“兩個集合稱為等勢的，如果它們之間能夠建立一一對應”4。 1 分析一個現象，有一個由連續自然陣列成的集合，元素個數不祥（起點終點不祥），另有一個由連續偶陣列成的集合，元素個數也不祥的（起點終點不祥），用一一對應方法比較它們是否等勢，如果兩個集合的元素數都是有限數，結果是兩個集合不一定等勢，如果兩個集合的元素都是無限數，結果是兩個集合一定等勢。同樣用“一一對應”方法比較兩個集合的大小，兩集合的元素數是有限或者無限結果會不同。有限數與無限數都符合皮亞諾公理，有限數與無限數是性質一樣自然數，不應該結果不同。出現結果不同的原因是，集合論中比較集合大小的一一對應方法在實際使用時存在兩個標準。第一個標準是，兩個集合間用一個元素對一個元素配對的方法比較兩集合的元素數，在兩集合中的最後一個元素都確定配對後才能認定兩個集合的元素一樣多。第二個標準是，只要兩個集合可以按順序用一個元素對一個元素的方法開始配對，不用等到確認最後一個元素已配對就認定兩個集合的元素一樣多，就認為兩集合元素配對沒有多餘元素。第一個標準是傳統公認的有窮集比較大小方法中的一種方法，這個標準不能用在無窮集之間比較大小，因為當集合元素個數趨近無窮時，哪兩個元素在對應無法認定。第二個標準來源於第一個標準中的一部分，在集合論中第二個標準只被用來確定無窮集合間等勢，如果用第二個標準比較有窮集的大小，在集合間作元素一一配對結束前；在沒有確定元素是否全部配對的情況下，就認為兩集合元素一樣多，應該不正確，所以第二個標準不能用在有窮集間比較大小。前面一一舉例說明每一個自然數都存在一個偶數與之對應時，被驗證到的數都是有限數，無限數的情況沒有被驗證。可以認為與自然數的無窮大之間不能再插入自然數的自然數是趨近無窮大自然數，記為→∞，那麼當自然數集元素是→∞時是哪個偶數集元素與之對應？如果認為→∞是一個過程不是一個自然數，那麼→∞這個過程也在自然數集之中，這個過程也是由一個一個自然數元素組成，這個過程中的自然數也符合皮亞諾公理，若比較自然數集與偶數集是否等勢，在自然數集的無限數階段也必須與偶數集中的元素作對應，當自然數與偶數一一對應到自然數進入到→∞這個過程時，偶數是以怎樣一個過程與之對應呢？偶數是進入到“→2∞”過程嗎？“→2∞”存在嗎？如果“→2∞”不存在，那麼自然數集與偶數集不等勢。比較無窮集大小的第二個“一一對應”標準在集合論中沒有被論證過，其正確性沒有依據。 2有窮集間作比較時還有一些方法與一一對應方法同樣經典有效、同樣有資格在無限集比較大小時使用，就是一個元素與兩個元素對應的數數方法。集合A有10個元素，集合B有20個元素，集合A的一個元素可以與集合B中的兩個元素一一對應（即一二對應）、完全相配、沒有多餘的元素，對應完成後的結論是集合B與集合A的基數不等；集合B的元素是集合A元素的兩倍。因為奇偶相互對立而存在，自然數集中有一個偶數必定有一個按順序在此偶數之前的奇數，偶數集中有一個偶數就必定在自然數集存在一個相同的偶數和按順序排在此偶數之前的一個奇數，偶數集中的一個元素可以與自然數集中兩個元素一二對應，兩集合中的每個元素都可確定被對應到，偶數與自然數一二對應沒有多餘元素。這樣作一二對應後的結論是，偶數集與自然數集不等勢。如果無窮集比較大小隻承認一一對應方法，不承認、不允許一二對應方法，應該說明理由。 3 有限集作一一對應比較時，如果在A、B兩集合中A集合的元素與B集合作一一對應後，B集合還有剩餘元素，那麼比較的結果是B集合的基數大。偶數集中的元素可以與自然數集中的偶數元素完全一一對應、完全配對、沒有多餘元素，自然數集中的奇數元素會餘出，那麼就應該是自然數集與偶數集的基數不同。如果不承認無窮集作一一對應完成後有元素餘出的集合基數大，應該說明理由。 4 函式定義：“A是給定的一個數集，f是一個確定的對應規律，如果對於A中每一個數x，透過f，都有一個唯一的數y與之對應，記為f（x）=y，這時我們稱f是A上的函式”5。y=2x中y集與x集是同時存在的還是先後存在的？如果y是被人為以自然數（x）為基數按規律確定後出現的集合，那麼被x一一確定出元素的集合y與x集等勢，但是y=2x不是偶數的定義，需證明在有限數和無限數範圍y都是偶數，才能證明偶數與自然數等勢。那麼當自然數x是→∞時是哪個偶數與之對應？如果y是與x同時存在的；y是從自然數集中選出元素組成的偶數集，那麼這個偶數集與自然數集的對應規律是y集中的一個元素與x集中的2個元素是一一對應的關係，1y=1（2x），表明y集與x集不等勢。 5偶數集是與奇數集相對應而存在的，沒有奇數集就沒有偶數集，偶數集不能離開奇數集而單獨存在，離開奇數集的偶數集，實質已經不是偶數集了，與自然數集做到了一一對應與自然數集等勢的“偶數集”，其中的元素符合自然數公理（皮亞諾公理），符合自然數公理的集合就是自然數集，這時的“偶數集”只是元素符號的寫法與自然數不同而已。在認為偶數集與自然數集可以建立一一對應的關係時，偶數集被替換了概念，這時的“偶數集”實質已轉換成了自然數集。 觀察下面陣列。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 1×2 2×2 3×2 4×2 5×2 6×2 7×2 8×2 9×2 … 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 … 1^2 2^2 3^2 4^2 5^2 6^2 7^2 8^2 9^2 … 1* 2* 3* 4* 5* 6* 7* 8* 9* … 可以看出以上被認為可以與自然數一一對應、基數相同的集合，只是變化了自然數元素的寫法而已。它們實質都是自然數集。 6 偶數定義：“能被2整除的自然數”6。就是自然數中的能被2整除的數是偶數，即偶數是自然數的一部分，如果又存在“偶數與自然數一樣多”，那麼就是偶數是自然數的一部分，偶數又不是自然數的一部分，這就違反了邏輯學基本規律中的同一律，不符合邏輯規律。如果認為集合論中有些結論就是與邏輯學基本規律不同，那麼應該明確說明。 從以上6個方面邏輯分析偶數與自然數的關係，結論都是偶數與自然數不等勢。所以自然數與偶數可能不等勢。 參考文獻 〔1〕《集合論與連續統假設淺說》 張錦文 上海教育出版社 1980 p19 〔2〕《數學與哲學》張景中 中國少年兒童出版社 P43 〔3〕《無限數》〔英〕C.D.H庫伯著 科學出版社 1982 p8 〔4〕《康託的無窮的數學和哲學》 〔美〕 周 道本 大連理工大學出版社 2008 p41 〔5〕《高等數學》人民教育出版社 1978 p21 〔6〕《數學詞典》〔法〕L.Chambadal 高等教育出版社 1989 p292
討論自然數與偶數一樣多 “如果兩個集合之間建立一個一一對應，就叫做它們的個數相等”1。“不管是有窮集還是無窮集，如果能夠在A與B兩個集合的元素之間建立起一種一一對應的關係，就應當承認A與B的元素一樣多”2。“我們可以把每個自然數同一個偶數配對，也可以把每個偶數同一個自然數配對。例如，下面就是一種配對的方法： 標準集 偶數集 1←→2 2←→4 3←→6 4←→8 ……… 用這種方法可以把兩個集合的元素都配成對，因此它們有相同的基數”3。“兩個集合稱為等勢的，如果它們之間能夠建立一一對應”4。 1 分析一個現象，有一個由連續自然陣列成的集合，元素個數不祥（起點終點不祥），另有一個由連續偶陣列成的集合，元素個數也不祥的（起點終點不祥），用一一對應方法比較它們是否等勢，如果兩個集合的元素數都是有限數，結果是兩個集合不一定等勢，如果兩個集合的元素都是無限數，結果是兩個集合一定等勢。同樣用“一一對應”方法比較兩個集合的大小，兩集合的元素數是有限或者無限結果會不同。有限數與無限數都符合皮亞諾公理，有限數與無限數是性質一樣自然數，不應該結果不同。出現結果不同的原因是，集合論中比較集合大小的一一對應方法在實際使用時存在兩個標準。第一個標準是，兩個集合間用一個元素對一個元素配對的方法比較兩集合的元素數，在兩集合中的最後一個元素都確定配對後才能認定兩個集合的元素一樣多。第二個標準是，只要兩個集合可以按順序用一個元素對一個元素的方法開始配對，不用等到確認最後一個元素已配對就認定兩個集合的元素一樣多，就認為兩集合元素配對沒有多餘元素。第一個標準是傳統公認的有窮集比較大小方法中的一種方法，這個標準不能用在無窮集之間比較大小，因為當集合元素個數趨近無窮時，哪兩個元素在對應無法認定。第二個標準來源於第一個標準中的一部分，在集合論中第二個標準只被用來確定無窮集合間等勢，如果用第二個標準比較有窮集的大小，在集合間作元素一一配對結束前；在沒有確定元素是否全部配對的情況下，就認為兩集合元素一樣多，應該不正確，所以第二個標準不能用在有窮集間比較大小。前面一一舉例說明每一個自然數都存在一個偶數與之對應時，被驗證到的數都是有限數，無限數的情況沒有被驗證。可以認為與自然數的無窮大之間不能再插入自然數的自然數是趨近無窮大自然數，記為→∞，那麼當自然數集元素是→∞時是哪個偶數集元素與之對應？如果認為→∞是一個過程不是一個自然數，那麼→∞這個過程也在自然數集之中，這個過程也是由一個一個自然數元素組成，這個過程中的自然數也符合皮亞諾公理，若比較自然數集與偶數集是否等勢，在自然數集的無限數階段也必須與偶數集中的元素作對應，當自然數與偶數一一對應到自然數進入到→∞這個過程時，偶數是以怎樣一個過程與之對應呢？偶數是進入到“→2∞”過程嗎？“→2∞”存在嗎？如果“→2∞”不存在，那麼自然數集與偶數集不等勢。比較無窮集大小的第二個“一一對應”標準在集合論中沒有被論證過，其正確性沒有依據。 2有窮集間作比較時還有一些方法與一一對應方法同樣經典有效、同樣有資格在無限集比較大小時使用，就是一個元素與兩個元素對應的數數方法。集合A有10個元素，集合B有20個元素，集合A的一個元素可以與集合B中的兩個元素一一對應（即一二對應）、完全相配、沒有多餘的元素，對應完成後的結論是集合B與集合A的基數不等；集合B的元素是集合A元素的兩倍。因為奇偶相互對立而存在，自然數集中有一個偶數必定有一個按順序在此偶數之前的奇數，偶數集中有一個偶數就必定在自然數集存在一個相同的偶數和按順序排在此偶數之前的一個奇數，偶數集中的一個元素可以與自然數集中兩個元素一二對應，兩集合中的每個元素都可確定被對應到，偶數與自然數一二對應沒有多餘元素。這樣作一二對應後的結論是，偶數集與自然數集不等勢。如果無窮集比較大小隻承認一一對應方法，不承認、不允許一二對應方法，應該說明理由。 3 有限集作一一對應比較時，如果在A、B兩集合中A集合的元素與B集合作一一對應後，B集合還有剩餘元素，那麼比較的結果是B集合的基數大。偶數集中的元素可以與自然數集中的偶數元素完全一一對應、完全配對、沒有多餘元素，自然數集中的奇數元素會餘出，那麼就應該是自然數集與偶數集的基數不同。如果不承認無窮集作一一對應完成後有元素餘出的集合基數大，應該說明理由。 4 函式定義：“A是給定的一個數集，f是一個確定的對應規律，如果對於A中每一個數x，透過f，都有一個唯一的數y與之對應，記為f（x）=y，這時我們稱f是A上的函式”5。y=2x中y集與x集是同時存在的還是先後存在的？如果y是被人為以自然數（x）為基數按規律確定後出現的集合，那麼被x一一確定出元素的集合y與x集等勢，但是y=2x不是偶數的定義，需證明在有限數和無限數範圍y都是偶數，才能證明偶數與自然數等勢。那麼當自然數x是→∞時是哪個偶數與之對應？如果y是與x同時存在的；y是從自然數集中選出元素組成的偶數集，那麼這個偶數集與自然數集的對應規律是y集中的一個元素與x集中的2個元素是一一對應的關係，1y=1（2x），表明y集與x集不等勢。 5偶數集是與奇數集相對應而存在的，沒有奇數集就沒有偶數集，偶數集不能離開奇數集而單獨存在，離開奇數集的偶數集，實質已經不是偶數集了，與自然數集做到了一一對應與自然數集等勢的“偶數集”，其中的元素符合自然數公理（皮亞諾公理），符合自然數公理的集合就是自然數集，這時的“偶數集”只是元素符號的寫法與自然數不同而已。在認為偶數集與自然數集可以建立一一對應的關係時，偶數集被替換了概念，這時的“偶數集”實質已轉換成了自然數集。 觀察下面陣列。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 1×2 2×2 3×2 4×2 5×2 6×2 7×2 8×2 9×2 … 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 … 1^2 2^2 3^2 4^2 5^2 6^2 7^2 8^2 9^2 … 1* 2* 3* 4* 5* 6* 7* 8* 9* … 可以看出以上被認為可以與自然數一一對應、基數相同的集合，只是變化了自然數元素的寫法而已。它們實質都是自然數集。 6 偶數定義：“能被2整除的自然數”6。就是自然數中的能被2整除的數是偶數，即偶數是自然數的一部分，如果又存在“偶數與自然數一樣多”，那麼就是偶數是自然數的一部分，偶數又不是自然數的一部分，這就違反了邏輯學基本規律中的同一律，不符合邏輯規律。如果認為集合論中有些結論就是與邏輯學基本規律不同，那麼應該明確說明。 從以上6個方面邏輯分析偶數與自然數的關係，結論都是偶數與自然數不等勢。所以自然數與偶數可能不等勢。 參考文獻 〔1〕《集合論與連續統假設淺說》 張錦文 上海教育出版社 1980 p19 〔2〕《數學與哲學》張景中 中國少年兒童出版社 P43 〔3〕《無限數》〔英〕C.D.H庫伯著 科學出版社 1982 p8 〔4〕《康託的無窮的數學和哲學》 〔美〕 周 道本 大連理工大學出版社 2008 p41 〔5〕《高等數學》人民教育出版社 1978 p21 〔6〕《數學詞典》〔法〕L.Chambadal 高等教育出版社 1989 p292