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  • 1 # 使用者1271004172106

    形式運算的定義順序:

    後繼運算加法減法乘法(由加法即可定義,不需要減法)除法(依賴於乘法)n 次方(依賴於乘法,n 為正整數,下同)開 n 次方(依賴於 n 次方的定義)m/n 次方(依賴於開整數次方和乘方的定義)極限(依賴於有理數和無窮序列,無窮數列是自然數到有理數的一個對映,屬於)三角函式(依賴於級數)在離散結構中,後繼運算的性質有很大的決定作用。後繼運算,形式表述就是或者,但是,這樣的表述是有問題的,說到底,+ 和 1 意義不明。基礎符號往往是很難顯定義出來的,於是 Peano 給出了這樣的隱定義:0 是自然數。(因此自然數集合非空)對於任意的自然數 x,x=x。對於任意的自然數 x, y,如果 x=y,那麼 y=x。對於任意的自然數 x, y, z,如果 x=y 並且 y=z,那麼 x=z。(以上三條定義了「=」)對於任意的物件 x,如果 y 是一個自然數並且 x=y,那麼 x 是自然數。(自然數在 = 下封閉)對於任意的自然數 x,S(x) 是自然數。對於任意的自然數 x,都沒有 S(x)=0。(自然數的結構中沒有環,也不會終結)對於任意的自然數 x, y,如果 S(x)=S(y),那麼 x=y。(S 是單射,但是根據前一點 S 不是滿射)對於任意的一元性質 P,如果 P(0),並且,P(x) 能推出 P(S(x)),那麼對於任意自然數 n,P(n) 都成立。(規定了自然數的無窮結構)自然數是一個由後繼運算建立的基本結構,但是難道真的只有自然數這樣一個結構嗎? 是的,如果我們滿足前面 5 條自然數公理(既 1, 6 ~ 9,4 條等詞公理一般是預設的)。7 決定了自然數不會構成一個環,也不會含有環(這裡的環是字面意義上的,而不是代數中的環)。S 本身的對映性質決定了自然數不會向後分叉,也即一個數不會有兩個後繼,而 8 決定了自然數不會向前分叉,也即,一個數不會有兩個前繼。9 決定了自然數不是這樣的無窮結構:0, 1, 2, 3, …, … -3", -2", -1", 0", 1", 2", 3", …(記作 N+Z,事實上我們還可以有 N+Z+Z……)因為自然歸納法只能歸納到 N+Z 前面的 N 部分,後面的 Z 部分不會涉及,但是 N+Z 滿足除了 9 之外的所有條目。如果我們將 7 改為 n 個 S 的迭代回到 0,如 SSSS(0)=0,那麼我們就有了有限群的結構。並且,如果我們將 7 改為 1=4(S(0)=SSSS(0)),那麼根據 8,0=SSS(0)。因此還是一個環狀結構,而不會是有一條尾巴的環。加法很顯然依賴於後繼運算元所匯出的結構。所幸自然數對於加法是封閉的,兩個自然數的和同樣是自然數(這一點由 6 和加法的定義保證)。於是可以這樣放心地定義加法:a+0=aa+S(b)=S(a+b)這種方法是遞迴式的,比如說對於一個具體的數字,a+SS(0)=SS(a+0),到了遞迴的初始步,於是得到 SS(a)。乘法同理:a*0=0a*S(b)=a*b+a並且由於乘法就是加法,因此乘法也是封閉的。有趣的是,在簡單的加法迴圈群上,比如說由 0、1、2 構成的迴圈群,乘法和加法的定義是一樣的:唯一有差別的是公理7,它變成了:SSS(0)=0。注意,公理 8 並沒有被違反:SSSS(0)=S(0) 恰好說明了這兩者是一個元素而不是兩個元素。至於這個有限環上的乘法,也完全是依照前面自然數的乘法遞迴定義得到的:SS(0)*SS(0)=SS(0)*S(0)+SS(0)=SS(0)*0+SS(0)+SS(0)=SSSS(0)=S(0)。下面是減法和除法的時間。事實上,迴圈群結構上的減法比自然數上的更輕鬆,要說為什麼,是因為迴圈群上的減法是封閉的:如果 a+x=b,那麼 x 就是 b 和 a 的差,記作 x=b-a。或者這樣定義減法:如果 a+x=0,那麼 x 就是 a 的相反數,記作 x=-a。b-a:=b+(-a)。幸好這裡 SS(0)+S(0)=0,-1=2,-2=1,於是減法就變成了加法。在這種定義下,我們有一個加法群。同理,除法有兩種定義方式:如果 a*x=b,那麼x 就是 b 和 a 的商,記作 x=b/a或者,如果 a*x=1 ,那麼 x 就是 a 的倒數,記作 x=1/a。b/a:=b*(1/a)。又所幸,SS(0)*SS(0) =1。因此,每個非零元素都有乘法逆元,我們得到一個域。注意:這裡其實是碰巧的,如果我們約定 4=0 或者 6=0,那麼就會有 2*2=0 或者 2*3=0,那麼 2 或者(2 和 3)就是沒有逆元的。只有當 p 是素數的時候,這樣一個東西才能自然地變成一個域。事實上,數之所以總是被嫌棄,正是因為對於各種運算不封閉。自然數對減法不封閉,為了對減法封閉,我們有了整數,而為了對除法封閉,有了有理數,對於開方運算不封閉(實際上代數數是一個更廣的概念),我們有了代數數,另一方面,對於極限運算不封閉,我們有了實數。最後複數作為包含實數的最小代數閉域呈現在我們眼前,總算消停了。以整數的引入為例,當我們發現自然數的差可能不是自然數的時候,我們需要選擇擴充這個運算,直接的方法就是考慮所有這樣的數的集合:{ b-a : a>b 且兩者均是自然數}。但是你會發現這個集合中很多元素我們會希望它是相同的,比如說 1-2 和 2-3。我們都會希望它是 -1。另一方面,假設我們依據類似 S 的運算元,先定好了 -1, -2, -3, … 那麼我們的問題就是,要如何定義每一個負數和其它正數相加的方式了。從這兩個角度出發都可以定義整數,第一種做法就是將整數看成自然數的有序對:{(x,y) : x, y 均是自然數}然後,新增一個整數的等詞規則:如果 a+d=b+c,那麼 (a,b) = (c,d)。至於加法運算:(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)。乘法運算則需要重新定義了,因為這裡第一次出現了負負得正的問題。由於分類討論太麻煩,故忽略。如果我們將 (0,0) 以及和它相等的元素(如 (2,2))看作 0,將 (1,0), (2,0), (3,0), … 以及和它們分別相當的元素看作是正數 1, 2, 3, …,那麼對應的 (0,1), (0,2)……以及 (1,2), (1,3) … 就是 -1, -2,…。根據加法的規則即可知。一個數 (a,b) 的相反數就是 (b,a)。除法和有理數同理,只需要將有理數看作是整數的有序對即可。等詞規則:ad=bc 則 (a,b)=(c,d) 注意非零乘法規則:(a,b)(c,d)=(ac,bd) 注意非零倒數計算規則:1/(a,b)=(b,a)當然像是加法規則這樣的東西就很複雜了,因為 (a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)平方是可以直接定義在自然數上的,因為自然數的平方也就是兩個自然數相乘。任意自然數次方都是如此。開方作為平方的逆運算,可以定義在自然數上,也可以定義在環上,但是從環上我們就能看出問題來了:0,1,2 構成的環中,2^2=1, 1^1=1,因此 1 的平方根有兩個,而 2 沒有平方根。類似的事情發生在整數上,4 有兩個平方根,而 2 一個都沒有。即便有了有理數也是如此。而代數數的引入則是一個非常坑爹以至於我不想講的東西,要說原因也很簡單:方程的根可能不只一個。準確來說是,最高次數為偶數的單變數多項式的根可能不存在,而奇數的情況則必定存在。至於極限什麼的,如果已經認為有理數的運算是堅實的,那麼只需要理解無窮數列是什麼就行了。和前面所有的例子都不同,一個實數被定義為一個有理數的數列,而等同性關係則由收斂性來保證:如果兩個數列的差收斂到0,那麼這兩個數列就可以看作是相等的。這裡沒有排除兩個數列各自不收斂的情況。我懷疑只能用基本列的方式定義收斂性。因為有極限 a 這一點在定義玩實數之前是不能說的。總而言之路就是這樣的,非常清晰明瞭。哎呀寫了這樣一堆廢話忽然心情好多了。又能去和論文奮戰了。

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