梳齒刀具R角為0，青色線為分度圓，綠色線為漸開線基圓（基圓以下無漸開線），紅色線為漸開線，黃色線為梳齒刀R角為0時的齒根過渡曲線
梳齒刀具R角為兩段圓弧半徑1.5mm，青色線為分度圓，綠色線為漸開線基圓（基圓以下無漸開線），紅色線為漸開線，黃色線為梳齒刀R角半徑1.5mm時的齒根過渡曲線（黃色齒根過渡曲線是刀具R角圓心展成的洋紅色延伸漸開線的等距曲線）
梳齒刀具R角為半徑2.35mm的全圓弧，青色線為分度圓，綠色線為漸開線基圓（基圓以下無漸開線），紅色線為漸開線，黃色線為梳齒刀R角半徑為2.35mm時的齒根過渡曲線
梳齒刀具R角為0時的切齒運動及齒根過渡曲線的形成（GIF），注意根切及齒根過渡曲線形成，過渡曲線在齒槽兩側分為兩段，過渡曲線直接由刀具尖角包絡而成
梳齒刀具R角為兩段圓弧半徑1.5mm時的切齒運動及齒根過渡曲線的形成（GIF），注意根切及齒根過渡曲線形成(注意觀察根切量相比梳齒刀R角為0時有少許減輕），過渡曲線在齒槽兩側也分為兩段，過渡曲線由刀具R角包絡而成，黃色過渡曲線為刀具R角中心延伸漸開線軌跡的等距曲線
梳齒刀具R角為2.35mm的全圓弧時的切齒運動及齒根過渡曲線的形成（GIF），注意根切及齒根過渡曲線形成(注意觀察根切量相比梳齒刀R角為0時有很大減輕），過渡曲線在齒槽內是連續的一整段
把上面三張不同R角的刀具所切制的齒輪放在一起看漸開線齒廓部分是一樣的，不一樣的是齒根過渡曲線，黃色、綠色、青色過渡曲線依次是由R角為0、雙圓弧R角、單圓弧R角刀具製得，由圖可以看出刀具頂端為單圓弧R角的刀具切制的齒根過渡曲線曲率半徑最大，齒根也較厚，所以單圓弧刀具切制的齒輪齒根抗彎能力是最佳的，這就涉及到齒輪刀具設計時的刀尖曲線優化了。另外三種不同R角刀具切制的齒輪漸開線與過渡曲線相交的位置也不一樣，黃色、綠色、青色過渡曲線與漸開線相交點半徑依次減小，差別不很大如下圖所示（這將影響齒輪重合度）
再來看看這樣根切了的齒輪對傳動有什麼影響，偷個懶就用兩個相同的齒輪做1：1傳動，繪製出兩齒輪基圓的內公切線，按照正常齒輪傳動兩齒輪齒頂圓直徑與基圓內公切線所割得那段長度為實際齧合線長度，但此例兩齒輪齒頂圓直徑與基圓內公切線並無交點，那我們就預設齒輪的齧合極限一直到內公切線的切點好了，這樣就把整個內公切線作為齒輪實際齧合線了（實際有問題的，後續說），按齒輪模數5壓力角20°計算齒輪基圓齒距為5*3.14*cos(20)=14.76，如圖量得內公切線長度為20.5.用此值/齒輪基圓齒距得重合度=1.38，按這算齒輪有38％的時間是兩個齒齧合，而實際狀況卻不是，這是因為齒輪已經發生根切，基圓以上有一部漸開線已經被過渡曲線切除了，所以齒輪實際齧合時齧合點並不能一直延伸到公法線與基圓的切點上（也就是漸開線起始點），所以實際齧合線長度並沒有20.5這麼長，實際齧合線的長度需要重新確認，以齒輪根切後的實際漸開線起始半徑分別繪製兩個齒輪的圓，交基圓內公切線於兩點，量得此兩點距離約為14，以此值作為兩齒輪的實際齧合線長度比上齒輪基圓齒距得實際重合度約0.95，從此值可見兩齒輪是不能連續傳動的，前一對齒脫離後一對齒還要等一點點時間才能齧合上，由此可見根切已經影響到了齒輪的連續傳動了，此狀態與實際齧合狀態吻合
題主要畫的圖用以說明為什麼12個齒的齒輪切齒時為什麼會發生根切如上，當齒輪與梳齒刀具的齧合線與齒輪基圓的切點N在刀具刀頂線（上圖上面第二條水平紅線（書本講解），第一條紅線（實際工業應用））以下時就會發生根切，教科書上大多以17齒為分界線，小於17齒根切大於17齒則不根切，這個結論是有條件的，教科書上是以刀具頂端無圓角和忽略齒輪加工時的頂隙（也就是教科書使用的“刀具”實際是標準齒條，並沒有因為要加工出頂隙而使得齒條的齒頂高延長頂隙係數*模數這個值）為前提的，而書上基本沒有說明這點，這種推論條件與實際工業應用是嚴重不符的。具體為什麼極限齧合點N在梳齒刀具齒頂線以下就會根切，再扯。。。。。。
書本上用來說明極限齧合點N在刀具齒頂線以下齒輪必發生根切模型中忽略了刀具加工頂隙的部分，為了直觀地看見根切效果，我們以齒數為6模數為10來說明，如上圖書本上以標準齒條作為刀具，此時的刀具齒頂高等於齒面模數為10，而實際應用中刀具齒頂高為10+頂隙係數*10，一般頂隙係數0.25，所以實際刀具的齒頂高12.5，如下圖所示，齒頂高度大小會影響到齒根過渡曲線形狀的，也就是影響根切量的大小。如下圖，我們以實際工業中應用的梳齒刀來說明
齒輪刀具初始位置，極限齧合點N在刀具齒頂線以下（N點位置始終不變，位置由齒數決定的，齒數越多則基圓半徑越大，N點位置會向右上方跑）
齒輪逆時針轉過角度A，梳齒刀往右走過A*分度圓半徑距離，假設此時刀具的右切削刃剛好過N點，則此時刀具右切削刃切於漸開線於漸開線起始點（由於刀具切削刃與漸開線齒廓的接觸點都落在齧合線上，而N點在齧合線上且為切削刃與漸開線接觸的極限位置，且刀具右刃始終垂直於圖中斜率為正的齧合的，所以當刀具的右切削刃剛好過N點是漸開線起始點也必過此點），此時刀具對整個漸開線沒有切割，漸開線從基圓開始是完整的。
當齒輪由上述位置繼續逆時針轉動角度b時（20°），刀具向右繼續移動b*分度圓半徑距離，如圖中紅色位置為移動後的刀具位置，加粗的綠色齒廓線和綠色刀具為上一步的位置，此時將I處放大下圖
由漸開線性質可知在齒輪轉動和刀具移動的過程中漸開線基圓在齧合線上（即漸開線發生線）轉過的弧長=在齧合線上走過的直線距離（如上圖標註尺寸），而這裡基圓在齧合線上走過的距離即為圖中綠色刀具和紅色刀具兩平行右刃之間的垂直距離（最短距離），而基圓弧長對應的弦長是要＜基圓在齧合線上轉過的弧長=綠色刀具和紅色刀具兩平行右刃之間的垂直距離（最短距離）的，一個淺顯的道理是：在兩平行線之間以其中一條平行線上的一點作位於兩平行線之間的線段，如果這條線段的長度小於兩平行線之間的垂直距離（最短距離），則可斷定此線段的另外一點必落在兩平行線內。而基圓弧長所對應的弦長一端點和N點重合另一端點和漸開線起始點重合，所以漸開線起始點必落在紅色刀具切削刃的左側，也就是落在綠色和紅色兩平行切削刃內，這就證明了基圓附近的一段漸開線是要被刀具削切刃切掉的，同時刀具刀尖切入齒根把齒根狠狠挖掉一塊，如下GIF圖所示
整體（gif）
基圓附近漸開線被切除（漸開線落於刀具內側）（gif）
另外一般書上不考慮頂隙加工的齒輪安裝後效果如下（實際不能用），其中一齒輪的齒頂圓與另外一齒輪的齒根圓之間的間隙為0
實際要求兩齒輪的齒頂圓和齒根圓之間是要有間隙的
考慮頂隙和不考慮頂隙兩種齒形對比
由上可知齒輪齒根根切量的大小與刀具圓角大小、頂隙大小、齒數多少有關，其中齒對達到一定數目就會使得根切量為0，由於根切與諸多因素有關所以書本統一以不考慮圓角不考慮頂隙而只考慮齒數來得出這種條件下的唯一解最小不根切齒17齒（其實按此條件17齒任然是根切的，只是根切很少，要完全不根切齒數要到18），而如果同時考慮頂隙（頂隙係數取0.25時）和齒數要不根切的最小齒數是22，再考慮刀具圓角則根據圓角大小就有很多解了。
至於12齒要不根切那就選擇正變位好了，正變位的本質是擷取遠離基圓的那段漸開線作為齒廓，相當於增加了基圓和刀具之間的距離，從而使得極限齧合點N的位置往刀具齒頂線上方移動，當所選變位係數導致N點移動到刀具齒頂線上的時根切即可消除。
哎，好多人知道17齒為根切分界點(計算方法書上有就不說了)，可是這個來歷書本上講解的並不透徹，扯了這麼多也是醉了,估計沒什麼人對這個奇葩問題感興趣.....
先這樣
梳齒刀具R角為0，青色線為分度圓，綠色線為漸開線基圓（基圓以下無漸開線），紅色線為漸開線，黃色線為梳齒刀R角為0時的齒根過渡曲線
梳齒刀具R角為兩段圓弧半徑1.5mm，青色線為分度圓，綠色線為漸開線基圓（基圓以下無漸開線），紅色線為漸開線，黃色線為梳齒刀R角半徑1.5mm時的齒根過渡曲線（黃色齒根過渡曲線是刀具R角圓心展成的洋紅色延伸漸開線的等距曲線）
梳齒刀具R角為半徑2.35mm的全圓弧，青色線為分度圓，綠色線為漸開線基圓（基圓以下無漸開線），紅色線為漸開線，黃色線為梳齒刀R角半徑為2.35mm時的齒根過渡曲線
梳齒刀具R角為0時的切齒運動及齒根過渡曲線的形成（GIF），注意根切及齒根過渡曲線形成，過渡曲線在齒槽兩側分為兩段，過渡曲線直接由刀具尖角包絡而成
梳齒刀具R角為兩段圓弧半徑1.5mm時的切齒運動及齒根過渡曲線的形成（GIF），注意根切及齒根過渡曲線形成(注意觀察根切量相比梳齒刀R角為0時有少許減輕），過渡曲線在齒槽兩側也分為兩段，過渡曲線由刀具R角包絡而成，黃色過渡曲線為刀具R角中心延伸漸開線軌跡的等距曲線
梳齒刀具R角為2.35mm的全圓弧時的切齒運動及齒根過渡曲線的形成（GIF），注意根切及齒根過渡曲線形成(注意觀察根切量相比梳齒刀R角為0時有很大減輕），過渡曲線在齒槽內是連續的一整段
把上面三張不同R角的刀具所切制的齒輪放在一起看漸開線齒廓部分是一樣的，不一樣的是齒根過渡曲線，黃色、綠色、青色過渡曲線依次是由R角為0、雙圓弧R角、單圓弧R角刀具製得，由圖可以看出刀具頂端為單圓弧R角的刀具切制的齒根過渡曲線曲率半徑最大，齒根也較厚，所以單圓弧刀具切制的齒輪齒根抗彎能力是最佳的，這就涉及到齒輪刀具設計時的刀尖曲線優化了。另外三種不同R角刀具切制的齒輪漸開線與過渡曲線相交的位置也不一樣，黃色、綠色、青色過渡曲線與漸開線相交點半徑依次減小，差別不很大如下圖所示（這將影響齒輪重合度）
再來看看這樣根切了的齒輪對傳動有什麼影響，偷個懶就用兩個相同的齒輪做1：1傳動，繪製出兩齒輪基圓的內公切線，按照正常齒輪傳動兩齒輪齒頂圓直徑與基圓內公切線所割得那段長度為實際齧合線長度，但此例兩齒輪齒頂圓直徑與基圓內公切線並無交點，那我們就預設齒輪的齧合極限一直到內公切線的切點好了，這樣就把整個內公切線作為齒輪實際齧合線了（實際有問題的，後續說），按齒輪模數5壓力角20°計算齒輪基圓齒距為5*3.14*cos(20)=14.76，如圖量得內公切線長度為20.5.用此值/齒輪基圓齒距得重合度=1.38，按這算齒輪有38％的時間是兩個齒齧合，而實際狀況卻不是，這是因為齒輪已經發生根切，基圓以上有一部漸開線已經被過渡曲線切除了，所以齒輪實際齧合時齧合點並不能一直延伸到公法線與基圓的切點上（也就是漸開線起始點），所以實際齧合線長度並沒有20.5這麼長，實際齧合線的長度需要重新確認，以齒輪根切後的實際漸開線起始半徑分別繪製兩個齒輪的圓，交基圓內公切線於兩點，量得此兩點距離約為14，以此值作為兩齒輪的實際齧合線長度比上齒輪基圓齒距得實際重合度約0.95，從此值可見兩齒輪是不能連續傳動的，前一對齒脫離後一對齒還要等一點點時間才能齧合上，由此可見根切已經影響到了齒輪的連續傳動了，此狀態與實際齧合狀態吻合
題主要畫的圖用以說明為什麼12個齒的齒輪切齒時為什麼會發生根切如上，當齒輪與梳齒刀具的齧合線與齒輪基圓的切點N在刀具刀頂線（上圖上面第二條水平紅線（書本講解），第一條紅線（實際工業應用））以下時就會發生根切，教科書上大多以17齒為分界線，小於17齒根切大於17齒則不根切，這個結論是有條件的，教科書上是以刀具頂端無圓角和忽略齒輪加工時的頂隙（也就是教科書使用的“刀具”實際是標準齒條，並沒有因為要加工出頂隙而使得齒條的齒頂高延長頂隙係數*模數這個值）為前提的，而書上基本沒有說明這點，這種推論條件與實際工業應用是嚴重不符的。具體為什麼極限齧合點N在梳齒刀具齒頂線以下就會根切，再扯。。。。。。
書本上用來說明極限齧合點N在刀具齒頂線以下齒輪必發生根切模型中忽略了刀具加工頂隙的部分，為了直觀地看見根切效果，我們以齒數為6模數為10來說明，如上圖書本上以標準齒條作為刀具，此時的刀具齒頂高等於齒面模數為10，而實際應用中刀具齒頂高為10+頂隙係數*10，一般頂隙係數0.25，所以實際刀具的齒頂高12.5，如下圖所示，齒頂高度大小會影響到齒根過渡曲線形狀的，也就是影響根切量的大小。如下圖，我們以實際工業中應用的梳齒刀來說明
齒輪刀具初始位置，極限齧合點N在刀具齒頂線以下（N點位置始終不變，位置由齒數決定的，齒數越多則基圓半徑越大，N點位置會向右上方跑）
齒輪逆時針轉過角度A，梳齒刀往右走過A*分度圓半徑距離，假設此時刀具的右切削刃剛好過N點，則此時刀具右切削刃切於漸開線於漸開線起始點（由於刀具切削刃與漸開線齒廓的接觸點都落在齧合線上，而N點在齧合線上且為切削刃與漸開線接觸的極限位置，且刀具右刃始終垂直於圖中斜率為正的齧合的，所以當刀具的右切削刃剛好過N點是漸開線起始點也必過此點），此時刀具對整個漸開線沒有切割，漸開線從基圓開始是完整的。
當齒輪由上述位置繼續逆時針轉動角度b時（20°），刀具向右繼續移動b*分度圓半徑距離，如圖中紅色位置為移動後的刀具位置，加粗的綠色齒廓線和綠色刀具為上一步的位置，此時將I處放大下圖
由漸開線性質可知在齒輪轉動和刀具移動的過程中漸開線基圓在齧合線上（即漸開線發生線）轉過的弧長=在齧合線上走過的直線距離（如上圖標註尺寸），而這裡基圓在齧合線上走過的距離即為圖中綠色刀具和紅色刀具兩平行右刃之間的垂直距離（最短距離），而基圓弧長對應的弦長是要＜基圓在齧合線上轉過的弧長=綠色刀具和紅色刀具兩平行右刃之間的垂直距離（最短距離）的，一個淺顯的道理是：在兩平行線之間以其中一條平行線上的一點作位於兩平行線之間的線段，如果這條線段的長度小於兩平行線之間的垂直距離（最短距離），則可斷定此線段的另外一點必落在兩平行線內。而基圓弧長所對應的弦長一端點和N點重合另一端點和漸開線起始點重合，所以漸開線起始點必落在紅色刀具切削刃的左側，也就是落在綠色和紅色兩平行切削刃內，這就證明了基圓附近的一段漸開線是要被刀具削切刃切掉的，同時刀具刀尖切入齒根把齒根狠狠挖掉一塊，如下GIF圖所示
整體（gif）
基圓附近漸開線被切除（漸開線落於刀具內側）（gif）
另外一般書上不考慮頂隙加工的齒輪安裝後效果如下（實際不能用），其中一齒輪的齒頂圓與另外一齒輪的齒根圓之間的間隙為0
實際要求兩齒輪的齒頂圓和齒根圓之間是要有間隙的
考慮頂隙和不考慮頂隙兩種齒形對比
由上可知齒輪齒根根切量的大小與刀具圓角大小、頂隙大小、齒數多少有關，其中齒對達到一定數目就會使得根切量為0，由於根切與諸多因素有關所以書本統一以不考慮圓角不考慮頂隙而只考慮齒數來得出這種條件下的唯一解最小不根切齒17齒（其實按此條件17齒任然是根切的，只是根切很少，要完全不根切齒數要到18），而如果同時考慮頂隙（頂隙係數取0.25時）和齒數要不根切的最小齒數是22，再考慮刀具圓角則根據圓角大小就有很多解了。
至於12齒要不根切那就選擇正變位好了，正變位的本質是擷取遠離基圓的那段漸開線作為齒廓，相當於增加了基圓和刀具之間的距離，從而使得極限齧合點N的位置往刀具齒頂線上方移動，當所選變位係數導致N點移動到刀具齒頂線上的時根切即可消除。
哎，好多人知道17齒為根切分界點(計算方法書上有就不說了)，可是這個來歷書本上講解的並不透徹，扯了這麼多也是醉了,估計沒什麼人對這個奇葩問題感興趣.....
先這樣