由於X與e獨立，所以E(X|Y)=E(X|X+e)=E(X|X)=X，

Var(X|Y)=Var(X|X+e)=Var(X|X)=E(X^2|X)-(E(X|X))^2=(X^2)-X^2=0

如果只知道Z=X+Y的分佈,而沒有其他任何關於X和Y的先驗資訊,是無法確定X和Y的分佈的，例如：若Z~N(0,d^2)，X和Y都是有無窮多可能的。

設正態分佈機率密度函式是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]

∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t.（*）

求均值

對（*）式兩邊對u求導：

∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0

約去常數,再兩邊同乘以1/(√2π)t得：

∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0

把(u-x)拆開，再移項：

∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx

也就是

∫x*f(x)dx=u*1=u

這樣就正好湊出了均值的定義式,證明了均值就是u。

(2)方差

過程和求均值是差不多的,我就稍微略寫一點。

對(*)式兩邊對t求導：

∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π

移項：

∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2

也就是

∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2

正好湊出了方差的定義式，從而結論得證。