正態分佈要從機率論說起，而最早的機率論問題就是賭徒梅類在1654年向帕斯卡提出的“如何分賭金”的問題。

甲乙兩個人賭博，他們兩人獲勝的機率相等，比賽規則是先勝三局者為贏家，贏家可以獲得100法郎的獎勵。

當比賽進行到第四局的時候，甲勝了兩局，乙勝了一局，這時由於某些原因中止了比賽，那麼如何分配這100法郎才算比較公平？

根據我們學過的機率論知識，易知，甲獲勝就有兩種情況：①甲贏了第四局，比賽結束；②甲輸掉了第四局而贏了第五局。於是有，機率P(甲)=1/2+(1/2)*(1/2)=3/4。

而乙獲勝的情況就只有一種，同時贏下第四局和第五局，那麼，機率P(乙)=(1/2)*(1/2)=1/4。

因此，這100法郎就應該分給甲100*3/4=75法郎，分給乙100*1/4=25法郎。

這就是數學期望的雛形。

荷蘭物理學家、天文學家、數學家惠更斯：

不好意思，來客串一下

1657年，惠更斯發表了《論賭博中的計算》，在當時還沒有完全明確的關於“機率”的概念的情況下，從一條“公平賭博值”的公理出發，首次推匯出3個關於“數學期望”的基本定理，具有劃時代的意義。

“公平賭博值”公理：

每個公平博弈的參與者願意拿出經過計算的公平賭注冒險而不願拿出更多的數量。即賭徒願意押的賭注不大於其獲得賭金的數學期望數。

“數學期望”基本定理：

①若某人在賭博中以等機率1/2獲得賭金a元、b元，則其數學期望值為：a*1/2+b*1/2，即( a + b)/2元；

②若某人在賭博中以等機率1/3獲得賭金a 、b 元和c元 ，則其數學期望值為( a + b + c)/3元；

瑞士數學家雅各布·伯努利：

沒錯，就是伯努利家族裡最紅的那個

直到1713年，雅各布·伯努利的代表作《猜度術》終於出版（此時，伯努利已經去世有8年了）。

在《猜度術》中，伯努利不僅對惠更斯的關於賭博中出現各種情況的機率進行了大量計算，還提出了著名的“大數定律”。

伯努利大數定律：機率論歷史上的第一個極限定理，指“當試驗次數足夠多時，事件發生的頻率無窮接近於該事件發生的機率”。

大數定律自誕生開始，便產生了極其深遠的影響，為後來的很多統計方法和理論的建立奠定了堅實的基礎。

超模君說了怎麼多，正態分佈的發現者終於表示受不了，要自己出場了。。。

他就是法國數學家棣莫弗。

棣莫弗：終於到我出場了

雖然伯努利得出了“無限地連續進行試驗，我們終能正確地計算任何事物的機率，並從偶然現象之中看到事物的秩序”這樣的結論，但並沒有表述出這種偶然現象中的秩序，而棣莫弗便是第一個將這種秩序表述出來的人。

其實，在伯努利《猜度術》出版之前，棣莫弗就對機率論進行了廣泛且深入的研究，已於1711年在英國皇家學會的《哲學學報》上發表了《抽籤的測量》，這就是早期機率論史上三大著作之一的《機遇論》的前身。

早期機率論歷史上的三部里程碑式的著作：伯努利的《猜度術》、棣莫弗的《機遇論》、拉普拉斯的《分析機率論》。

不過，比較搞笑的是，棣莫弗關於機率論的研究依然離不開賭博問題。。。

偶然的一天，一賭徒向棣莫弗提出了一個與賭博有關的問題。

甲乙二人在賭場裡賭博，他們獲勝的機率分別是p和q=1−p，賭n局，如果甲贏的局數X>np，則甲就得付給賭場X−np元，否則就是乙付給賭場np−X元。問：賭場掙錢的數學期望是多少？

這是一個二項分佈問題，可知答案是2npqb(n,p,np)，其中b(n,p,np)為二項機率。

不過，這只是理論結果，而對於具體的n值（尤其是n值較大時），計算實際的期望值並不是一件容易的事，於是，棣莫弗決定找出一個更方便計算的近似公式。

只見棣莫弗直接令p=½，嘗試攻破這一特定機率的近似公式，就這樣幾年過去了，在1733年，終於取得了重要進展。他結合斯特林公式，進行了一系列研究，然後出現了神奇的一幕：

正態分佈的機率密度函式就這樣出現了，由此可知，二項分佈的極限分佈就是正態分佈。

答：那是因為：這些事件，大致都可以看作很多獨立事件組合而成。

比如一個班級所有人的身高分佈，所有人的成績分佈；一個車間產品的精度分佈；森林中植物高度的分佈；全國車輛的事故率；賭徒輸贏的次數分佈……等等等。

符合高斯分佈的例子非常多，高斯分佈最先是由法國數學家棣莫弗得到，後來高斯再次發現了這個分佈，並進行了推廣，高斯分佈的圖形，看起來呈鐘形。

高斯分佈由數學期望μ和方差為σ^2來決定，並記為N(μ，σ^2)。當μ = 0，σ = 1時，叫做標準標準正態分佈，其中期望決定中心位置，方差決定幅度。

在以上事件中，整體符合高斯分佈，但是我們在研究單個個體時，會發現個體之間並沒有明顯的影響，而是相互獨立的隨機事件。

比如：一個班級所有人的身高，每個人的身高可以看作獨立隨機事件，然後整個班級的所有人的身高，就是這些獨立事件組合而成，那麼這個組合的分佈必然符合高斯分佈！！！

這是中心極限定理的內容！不服去抄寫中心極限定理一百遍！給你個模板！

中心極限定理：一個統計事件中，隨機變數X1，X2，......Xn相互獨立，並且具有有限的數學期望和方差；那麼這個統計事件的總體分佈，符合高斯分佈。

高斯分佈也不是萬能的，比如在統計力學中，微觀粒子無規則運動速度的分佈，就不合符高斯分佈。

因為溫度是微觀粒子的無規則運動，但是粒子間會發生相互碰撞，並影響彼此的速度，符合的是麥克斯韋-玻爾茲曼分佈。

首先糾正一點，在自然界中最常見的不是正態分佈（高斯分佈），而是長尾（冪律等）分佈。因為高斯分佈更常見於人造體，而非自然界。

正態分佈也稱“常態分佈”，又名高斯分佈。是一個在數學、物理及工程等領域都非常重要的機率分佈，在統計學的許多方面有著重大的影響力。

說起正態分佈大家可能不熟悉，但如果放出它的函式影象大家就會恍然大悟。其正態曲線呈鍾型，兩頭低，中間高，左右對稱因其曲線呈鐘形，因此人們又經常稱之為鐘形曲線。

那麼正態分佈是如何得到的呢？只要你觀察的系統裡，各種物件之間關聯很弱，那麼他們的總和平均表現，根據中心極限定律，就是高斯或者近高斯的。所以這就是我前面所說的人造物件大多符合正態分佈。

人類造東西，都是“搭”出來的，一個模組和另一個模組之間關聯很弱，壞了一個模組換掉就好。所以人造系統，其表現，包括效能啊，噪聲啊，穩定度啊，都基於高斯分佈。

那麼生活中有哪些讓我們顯而易見的正態分佈現象呢？1、一顆彈珠一路滾下來會多次選擇方向，最終的分佈會接近正態分佈。（高爾頓釘板）

2、女性的身高。

當然還有很多，例如學生的學習成績呀等等，因為如果一個指標受到若干獨立的因素的共同影響，且每個因素不能產生支配性的影響，那麼這個指標就服從中心極限定理（定理就不過多敘述了），收斂到正態分佈，這就是林德伯格-費勒中心極限定理的意思。

所以正態分佈確實是一個很神奇的現象，就好比曾經提到過自然界的最小作用量原理一樣！

至於為什麼正態分佈如此普遍，你可以認為是多數隨機事件的共同作用結果！