實數集 R 又被稱為 連續統 ——英語為 Continuum：連續的，不曾間斷的，而完備性則是實數這一特性的數學名稱。

不僅僅是實數集，完備性可擴充套件為所有 度量空間的性質，具有完備性的度量空間，其上的 極限運算 封閉。

非空集合 X 上定義 距離 函式 d: X × X → R，滿足（∀ x, y, z ∈ X）：

正定性：

- d(x, y) ≥ 0；

- d(x, y) = 0 當且僅當 x = y；

對稱性：d(x, y) = d(y, x)；

三角不等式：d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) ；

稱 (X, d) 為度量空間。

在度量空間中用距離來定義序列的極限：

對於度量空間 (X, d) 中 序列，

若，存在點 x ∈ X ，對於任意小的正實數 ε 都有 自然數 N ，當 n > N 時， 使得 d(x, x_n) ≤ ε，則稱 x 為 {x_n} 的 極限，記為：

在實數集 R 中

滿足距離函式的要求，於是 (R, |*|) 就是一個度量空間。用 |*| 代替上面極限的定義中的 d，就得到《高等數學》中我們熟悉的 那個 序列極限的 定義。

一個序列的極限存在，稱該序列收斂，否則稱為序列發散。在《高等數學》中有好多種種判斷極限存在的方法，柯西審斂法就是其中之一：

若 序列 {x_n} 對於給定的 任意小的正實數 ε ，都有 自然數 N，當 m, n > N 時，使得 d(x_n, x_m) < ε，則稱 {x_n} 為 基本列（也叫 柯西列）。

柯西準則：實數列收斂的充要條件是 它是基本列。

柯西準則依賴實數的完備性！有理數集 Q 因為不具有完備性，因此柯西準則不成立，考慮序列：

它的每一項都是有理數，因此它是一個有理數序列，並且可以驗證它是一個 基本列。而 我們知道：

它的極限 e 是一個無理數不在有理數理數範圍內，即，它在有理數集內沒有極限，故，柯西準則不成立。

我們將 滿足柯西準則的 度量空間 稱為 完備的。

實數的完備性不僅僅可以擴充套件到度量空間上，在全序集中依然可以有完備性的影子。若 偏序集 (X, ≤) 中任意 兩個元素 x, y ∈ X 都 以下三種關係之一：

則稱 (X, ≤) 為 全序集。顯然 (R, ≤) 是一個全序集。

我們在全序集中，利用上（下）確界，來定義序列的極限。

對於 E ⊂ X ，若存在 h ∈ X，對於 任意 x ∈ E 都有 x ≤ h ，則稱 h 是 E 的一個 上界；E 的上界 h，若任意 E 的上界 h" 都有 h ≤ h" 則稱 h 是 E 的 上確界，記為：sup E 或 sup_{x ∈ E} x；若存在 l ∈ X，對於 任意 x ∈ E 都有 l ≤ x ，則稱 l 是 E 的一個 下界；E 的上界 l，若任意 E 的下界 l" 都有 l" ≤ l 則稱 l 是 E 的 下確界，記為 inf E 或 inf_{x ∈ E} x。

對於 全序集 (X, ≤) 中的 元素序列 {x_n}，若，

則稱 {x_n} 為 不降列，定義其極限為：

若，

則稱 {x_n} 為 不升列，定義其極限為：

一般的 {x_n} 既不是升列也不是降列，但是可以分別透過 下確界 來構造一個不降列：

於是，定義 {x_n} 的 上極限 為：

類似的，也分別透過 上確界 來構造一個不升列：

於是，定義 {x_n} 的 下極限 為：

當 {x_n} 的上極限等於下極限時，則 {x_n} 的 極限 存在 ，記為：

顯然，以上所定義極限的存在 等價於 上（下）確界的存在，有：

威爾斯特拉定理：不降實數列（不升實數列）有上（下）確界（即，極限存在） 的充要條件 是 它 有 上（下）界。（收斂性 等價於 有界性）

威爾斯特拉定理 同樣依賴了 實數的完備性，不是所有的 全序集 威爾斯特拉定理 都成立：上面 e 序列 在 正序集 (Q, ≤) 中顯然不滿足 威爾斯特拉定理，於是 將 滿足 威爾斯特拉定理 的 全序集 稱為 完備的。

再進一步，完備性甚至可以存在於更一般的集合系中。我們僅僅基於元素 和 集合的 屬於（∈）關係，就可以 定義 集合序列（簡稱 集列）的極限。

集合 A 和 B，若 對於任意 x ∈ A 都有 x ∈ B，則稱 A 被 B 包含 ，記為 A ⊆ B；稱，

分別為 集合 A 和 B 的 交 和 並。

對於 X 的非空 子集構成的 集列，

若，

則稱 {A_n} 為 不降列，定義其極限為：

若，

則稱 {A_n} 為 不升列，定義其極限為：

一般情況下{A_n} 既不是 升列 也 不是 降列，不過可以從 {A_n} 構造出一個不降列：

定義 {A_n} 的上極限為：

也可以從 {A_n} 構造出一個不升列：

定義 {A_n} 的下極限為：

當 {A_n} 的上極限等於下極限時，稱 {A_n} 有極限，記為：

如果想讓非空集列的極限不為空集，則需要保證 不升列 {A_n} 的交集 不為空，即，存在 a ∈ X 使得 a ∈ A_n, n = 1, 2, ... 這對應 柯西-康托爾原理（閉區間套引理）：對於任何 R 上的閉區間套，

必然存在一點 c ∈ R 屬於這些閉區間套的每一個。

柯西-康托爾原理 是最原始的 實數完備性的體現。

從另一角度看，拓撲空間 是比 度量空間更 一般化的 空間，每個度量空間 都可以 利用 距離函式來構造一個 度量拓撲，從而 稱為 拓撲空。

在 拓撲空間 中，利用 鄰域的概念 來定義 序列的極限。

對於拓撲空間 (X, τ) 中 點列 {x_n} ，若 存在 點 x ∈ X 使得，對於 x 的任意 鄰域 U 都有 相應的 自然數 N ，當 n > N 時， 有 x_n ∈ U，則稱 x 為 {x_n} 的極限，記為：

博雷爾-勒貝格原理（有限覆蓋引理）：實數集 R 上，在覆蓋一個閉區間的任何開區間族中，必然存在著覆蓋這個區間的有限子族。

博雷爾-勒貝格原理也是實數完備性的體現，拓撲空間 這種體系，發展為 緊緻性：任何開覆蓋都有有限子覆蓋，成為重要的拓撲性質。

完備性的體現的另外一個體現，波爾察諾-威爾斯特拉斯定理：每個有界實數列必然含有收斂的子列，也在 拓撲空間中，發展為 列緊性 ：任意序列具有收斂子列。

此外，拓撲空間中(X, τ) 還有和極限相關的 概念：點集 A ∈ X ，若 x ∈ X ，對於任何 x 的鄰域 V 都有 A ∩ V \ {x} ≠ Ø 則稱 x 是 A 的一個 極限點（也稱 聚點）。

波爾察諾-威爾斯特拉斯引理（極限點引理）：實數集 R 上，每個 無窮有界集 至少有一個 極限點。波爾察諾-威爾斯特拉斯引理也是實數完備性的體現。

在滿足第一可數公理的拓撲空間 (X, τ) 中，x ∈ X 是 A ∈ X 極限點的 從要條件 是 A \ {x} 中存在 以 x 為極限的 點列 {x_n}。

在《高等數學》中還定義了函式的極限，和數列極限類似，實數完備性 保證了 各種 函式極限斂法 的有效性。

最後，極限不僅僅是我們熟悉的樣子，在範疇論中，可以用錐來定義極限。

至於，實數完備性在範疇中體現，我目前還不清楚，在這裡向各位數學大神求教。

總結，完備性對於極限存在的對映巨大，它保證了空間內極限運算時封閉的以及各種審收法的有效性。