歐幾里得平面幾何是我中學時代相當拿手的課，在我漫長的奧數生涯裡一直是穩穩的分倉。

剛上初一時父親給了我一本嚴濟慈老先生的“幾何證題法”，是我學習幾何的開始。實際上也是我父親早年學習幾何的參考書。出於懷舊的原因，在此安利一下。

平面幾何的證明題裡，輔助線是比較難的，因為沒有必然性，初學者很難把握，即使老手也時常感到難以下手。

但基本的思路還是有的，抽象的來說，幾何證明的一個關鍵在於找到“等價量”的轉換，另一個關鍵是為武器找到用武之地（有錘子找釘子）。所以常規的思路通常有：

- 複製等角/等邊。

- 構造直角三角形，共圓，相似性。

- 更高階一點的是構造反演和射影（這個除了競賽一般用不到）。

所以輔助線的套路一般是：

- 平行線。

- 垂線。

- 切線。

- 切圓。

- 對稱。

- 旋轉60⁰。

- …

不過正如前述，輔助線並無必然性，所以沒有老師可以給出一套包治百病的“修行手冊”。

我的建議是不要緣木求魚，鑽輔助線的牛角尖，相反，擴充武器庫更重要，手槍比“辟邪劍法”更有效。

中學幾何的高階武器就是幾何的代數化。有兩個入門級武器：

1. 三角函式/複數，實際上我會強烈推薦複數，因為複數包含了三角函式的一切，而且更簡潔，幾乎沒有公式要背（三角公式在複數運算裡都是顯而易見的），而且複數可以非常非常簡明的描述幾何中跟旋轉相關的性質。

2. 笛卡爾座標系下的解析幾何，把幾何問題轉換為函式和方程問題，後者的武器庫很龐大，“可擴充套件性”比單純的幾何方法大很多。

當然等你上到大學，就會看到更多的高階武器，特別是矩陣，幾乎秒殺一切“線性幾何”，當然還有抽象代數和微積分。

舉個例子，很多人聽說過高斯的故事，關於他解決尺規17等分圓的。現在網上有時也能看到其步驟的動圖。

但我要指出，這對於學生來說，這種動圖是“非常壞”的，它完全把人帶入邪路。

沒有人能想出那些步驟（輔助線），高斯也不能，實際上他壓根就沒畫一張圖，沒做一條輔助線。

尺規17等分圓，高斯是用一個歐幾里得所不知曉的高階武器去殺死的。

首先，不難證明，已知量（線段）的+-*/四則運算和√，都是容易用尺規完成的。

其次，高斯注意到17等分圓等價於求解複數方程：

z¹⁶=z⁻¹，或寫成：

（cosθ+i*sinθ）¹⁶=cosθ-i*sinθ。

進一步，高斯解出這個複數方程，並發現其解確實由+-*/√五個運算複合構成。因此，尺規可做。

所以，我們看到的動圖不過是把高斯找到的複數解的每步運算不厭其煩的羅列出來而已。糾結於這些步驟完全無助於提高數學水平。本末倒置。

針對題主的提問，先釐清一個認識上的誤區，再結合具體例子談如何思考和分析。

一。一個誤區

類似問題，在實際工作中，經常有學生和家長問：老師，我（家小孩）不怕幾何證明，就怕作輔助線，是怎麼回事？

就像一個學美術的人說，我不怕畫人體，就是怕畫眼睛。

如果把輔助線孤立於具體問題之外，就會以為輔助線是活生生硬作出來的，這是初學者容易產生的認識誤區。

在實際教學中，沒有哪個老師會孤立地教學生作輔助線。因為輔助線就是“一條線”，畫一條線，沒有什麼難的。況且從本質上說，輔助線本身是客觀存在的，畫不畫它都在，一直在那。只不過在畫出來之前，它是隱性的，不可見而已。由隱性變顯性，是要有數學思維參與的，是一系列的心理活動。

可見輔助線的問題，重點不在如何畫？而在於為什麼要這麼畫？因而，學會具體問題具體分析，理解產生問題的原因，找到解決問題的辦法，才是學習的正道。從這個角度來說，輔助線不是作出來的，而是分析出來的！

二。一個例子

舉一個大家熟悉的例子吧！

勾股定理的證明。歷史上關於勾股定理的證明方法有近五百種之多，這些方法都堪稱經典。我們以歐式幾何的鼻祖，歐幾里得的證明方法為例，來分析其策略和思路，學習他解決問題的機智！

---圖1---

如上圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，求證：AC^2+BC^2=AB^2.

歐幾里得證明的主要思路分三步：

第一步，從勾股定理結論的結構分析，邊的平方，邊的平方和。

邊的平方，讓人很容易聯想到正方形的面積；邊的平方和，自然就是兩個正方形的面積之和。因而，把勾股定理進一步具象化（如圖）：兩個正方形的面積之和，等於另一個正方形的面積。

看下圖2用顏色表示，即：黃+紅=綠。

---圖2---

在這一過程中，把邊的平方具象為正方形，由數（邊的平方）到形（正方形），好像只是一小步轉換，其實是認識上的一大步（數形結合）！當然，對於本問題來說，這還只是萬里長征的第一步。如果僅從新增輔助線的角度來看，這一步要新增三三得九，九條輔助線，才能把“三邊”擴充為“三個正方形”。

勾股定理的近500種證法，大多數都是沿用這條思路：先將勾股定理的結論轉化為三個正方形的面積之間的關係，再對其中的兩個較小的正方形進行分割，使之“填滿”較大的正方形，反之亦然。只不過這些方法採用的“分割”和“填充”的方式、方法不同。表面看起來是一種巧合，其實是一種必然。

第二步，落實“分割“的具體想法。

---圖3---

如上圖3，將大正方形沿直角三角形斜邊上的高CD所在直線，分割成兩個矩形（黃，紅）；用顏色相對應，只要說明顏色相同的正方形和矩形面積相等，就說明大正方形（圖2的綠色）剛好被兩個較小的正方形（黃，紅）“填滿”；

第三步，落實“填充“的具體想法。

---圖4---

以說明黃色正方形與黃色矩形面積相等為例。

如圖4，進一步將黃色正方形與黃色矩形分割成二等分（連對角線A1C,AD1）,只需說明它們的一半（藍色三角形,△A1AC與△AA2D1）面積相等即可；

如圖5，進而只需證明兩個黑色的三角形（△A1AB與△CAA2）全等（SAS可判）即可；

---圖5---

因為圖5中的兩個黑色三角形與圖4中兩個藍色三角形分別為夾在兩組平行線（BC1//AA1,CD1//AA2）之間，且同底等高，其面積分別相等。

至此，思路打通！

其主要邏輯鏈條：黑色三角形全等=》黑色三角形等面積

=》藍色三角形等面積=》黃色正方形與矩形等面積。

採取同樣的策略，可以證明紅色正方形與紅色矩形面積相等。

三。一點反思

從以上的舉例可以看出：

1.僅僅從新增輔助線的角度來說，由最開始的一個直角三角形（圖1）演變成圖6所示的超級複雜的圖形，不知添加了多少條線！如果不經過分析明細思路，這些“線”是不可能現出原形的。歐幾里得的這種證明方法，迄今已經2000多年，即便在今天，在此時，我們如果不能明白其證明思路，這些輔助線看起來也只能是一團亂麻。

---圖6---

2.在幾何證明過程中，新增輔助線本身就是證明過程的一部分。是作平行線還是垂線，是平移還是旋轉，新增什麼樣的“線”，何時新增，這取決於分析問題的能力。所以，與其糾結輔助線的作法，不如回過頭來，夯實基本功，多做題，善分析，勤總結。這才是學習幾何證明的正道。

歐幾里得平面幾何是我中學時代相當拿手的課，在我漫長的奧數生涯裡一直是穩穩的分倉。

剛上初一時父親給了我一本嚴濟慈老先生的“幾何證題法”，是我學習幾何的開始。實際上也是我父親早年學習幾何的參考書。出於懷舊的原因，在此安利一下。

平面幾何的證明題裡，輔助線是比較難的，因為沒有必然性，初學者很難把握，即使老手也時常感到難以下手。

但基本的思路還是有的，抽象的來說，幾何證明的一個關鍵在於找到“等價量”的轉換，另一個關鍵是為武器找到用武之地（有錘子找釘子）。所以常規的思路通常有：

- 複製等角/等邊。

- 構造直角三角形，共圓，相似性。

- 更高階一點的是構造反演和射影（這個除了競賽一般用不到）。

所以輔助線的套路一般是：

- 平行線。

- 垂線。

- 切線。

- 切圓。

- 對稱。

- 旋轉60⁰。

- …

不過正如前述，輔助線並無必然性，所以沒有老師可以給出一套包治百病的“修行手冊”。

我的建議是不要緣木求魚，鑽輔助線的牛角尖，相反，擴充武器庫更重要，手槍比“辟邪劍法”更有效。

中學幾何的高階武器就是幾何的代數化。有兩個入門級武器：

1. 三角函式/複數，實際上我會強烈推薦複數，因為複數包含了三角函式的一切，而且更簡潔，幾乎沒有公式要背（三角公式在複數運算裡都是顯而易見的），而且複數可以非常非常簡明的描述幾何中跟旋轉相關的性質。

2. 笛卡爾座標系下的解析幾何，把幾何問題轉換為函式和方程問題，後者的武器庫很龐大，“可擴充套件性”比單純的幾何方法大很多。

當然等你上到大學，就會看到更多的高階武器，特別是矩陣，幾乎秒殺一切“線性幾何”，當然還有抽象代數和微積分。

舉個例子，很多人聽說過高斯的故事，關於他解決尺規17等分圓的。現在網上有時也能看到其步驟的動圖。

但我要指出，這對於學生來說，這種動圖是“非常壞”的，它完全把人帶入邪路。

沒有人能想出那些步驟（輔助線），高斯也不能，實際上他壓根就沒畫一張圖，沒做一條輔助線。

尺規17等分圓，高斯是用一個歐幾里得所不知曉的高階武器去殺死的。

首先，不難證明，已知量（線段）的+-*/四則運算和√，都是容易用尺規完成的。

其次，高斯注意到17等分圓等價於求解複數方程：

z¹⁶=z⁻¹，或寫成：

（cosθ+i*sinθ）¹⁶=cosθ-i*sinθ。

進一步，高斯解出這個複數方程，並發現其解確實由+-*/√五個運算複合構成。因此，尺規可做。

所以，我們看到的動圖不過是把高斯找到的複數解的每步運算不厭其煩的羅列出來而已。糾結於這些步驟完全無助於提高數學水平。本末倒置。

針對題主的提問，先釐清一個認識上的誤區，再結合具體例子談如何思考和分析。

一。一個誤區

類似問題，在實際工作中，經常有學生和家長問：老師，我（家小孩）不怕幾何證明，就怕作輔助線，是怎麼回事？

就像一個學美術的人說，我不怕畫人體，就是怕畫眼睛。

如果把輔助線孤立於具體問題之外，就會以為輔助線是活生生硬作出來的，這是初學者容易產生的認識誤區。

在實際教學中，沒有哪個老師會孤立地教學生作輔助線。因為輔助線就是“一條線”，畫一條線，沒有什麼難的。況且從本質上說，輔助線本身是客觀存在的，畫不畫它都在，一直在那。只不過在畫出來之前，它是隱性的，不可見而已。由隱性變顯性，是要有數學思維參與的，是一系列的心理活動。

可見輔助線的問題，重點不在如何畫？而在於為什麼要這麼畫？因而，學會具體問題具體分析，理解產生問題的原因，找到解決問題的辦法，才是學習的正道。從這個角度來說，輔助線不是作出來的，而是分析出來的！

二。一個例子

舉一個大家熟悉的例子吧！

勾股定理的證明。歷史上關於勾股定理的證明方法有近五百種之多，這些方法都堪稱經典。我們以歐式幾何的鼻祖，歐幾里得的證明方法為例，來分析其策略和思路，學習他解決問題的機智！

---圖1---

如上圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，求證：AC^2+BC^2=AB^2.

歐幾里得證明的主要思路分三步：

第一步，從勾股定理結論的結構分析，邊的平方，邊的平方和。

邊的平方，讓人很容易聯想到正方形的面積；邊的平方和，自然就是兩個正方形的面積之和。因而，把勾股定理進一步具象化（如圖）：兩個正方形的面積之和，等於另一個正方形的面積。

看下圖2用顏色表示，即：黃+紅=綠。

---圖2---

在這一過程中，把邊的平方具象為正方形，由數（邊的平方）到形（正方形），好像只是一小步轉換，其實是認識上的一大步（數形結合）！當然，對於本問題來說，這還只是萬里長征的第一步。如果僅從新增輔助線的角度來看，這一步要新增三三得九，九條輔助線，才能把“三邊”擴充為“三個正方形”。

勾股定理的近500種證法，大多數都是沿用這條思路：先將勾股定理的結論轉化為三個正方形的面積之間的關係，再對其中的兩個較小的正方形進行分割，使之“填滿”較大的正方形，反之亦然。只不過這些方法採用的“分割”和“填充”的方式、方法不同。表面看起來是一種巧合，其實是一種必然。

第二步，落實“分割“的具體想法。

---圖3---

如上圖3，將大正方形沿直角三角形斜邊上的高CD所在直線，分割成兩個矩形（黃，紅）；用顏色相對應，只要說明顏色相同的正方形和矩形面積相等，就說明大正方形（圖2的綠色）剛好被兩個較小的正方形（黃，紅）“填滿”；

第三步，落實“填充“的具體想法。

---圖4---

以說明黃色正方形與黃色矩形面積相等為例。

如圖4，進一步將黃色正方形與黃色矩形分割成二等分（連對角線A1C,AD1）,只需說明它們的一半（藍色三角形,△A1AC與△AA2D1）面積相等即可；

如圖5，進而只需證明兩個黑色的三角形（△A1AB與△CAA2）全等（SAS可判）即可；

---圖5---

因為圖5中的兩個黑色三角形與圖4中兩個藍色三角形分別為夾在兩組平行線（BC1//AA1,CD1//AA2）之間，且同底等高，其面積分別相等。

至此，思路打通！

其主要邏輯鏈條：黑色三角形全等=》黑色三角形等面積

=》藍色三角形等面積=》黃色正方形與矩形等面積。

採取同樣的策略，可以證明紅色正方形與紅色矩形面積相等。

三。一點反思

從以上的舉例可以看出：

1.僅僅從新增輔助線的角度來說，由最開始的一個直角三角形（圖1）演變成圖6所示的超級複雜的圖形，不知添加了多少條線！如果不經過分析明細思路，這些“線”是不可能現出原形的。歐幾里得的這種證明方法，迄今已經2000多年，即便在今天，在此時，我們如果不能明白其證明思路，這些輔助線看起來也只能是一團亂麻。

---圖6---

2.在幾何證明過程中，新增輔助線本身就是證明過程的一部分。是作平行線還是垂線，是平移還是旋轉，新增什麼樣的“線”，何時新增，這取決於分析問題的能力。所以，與其糾結輔助線的作法，不如回過頭來，夯實基本功，多做題，善分析，勤總結。這才是學習幾何證明的正道。