在數學教學中我們都知道有這麼個規定：0不能做除數。可是0為什麼不能做除數呢？查閱了很多專家的講解再加上自己的一點體會，下面我們就從數學理論上來說明一下：

在小學數學中定義除法是乘法的逆運算，就是已知積與一個因數求另一個因數的運算。從整數除法定義中可以知道：

如果bq=a,那麼a÷b=q

當a=0,b≠0時，∵ b×0=0，∴ 0÷b=0（這是除法的補充定義）

但除數b不能是零，這是因為如果b=0，那麼

1、當a≠0時，由於任何數乘0都不可能等於整數a，所以a÷0的商就是不存在的。

2、當a=0時，因為任何數和0相乘都得0，所以a÷0的商是不確定的。

我們知道，在加法、減法與乘法中，和、差（如果存在）與積都是唯一的，在除法中也要排除商（如果存在）不是唯一的情況，因此規定在除法中，除數不能是0。

理論上也許比較費解。我們知道除法有兩種含義，一個是“平均分”一個是“每幾個一份”。例如有6個蘋果，平均分給三個小朋友，每個小朋友分得幾個？就是把6平均分成三份求每份是幾，所以6÷3=2（個）。同樣有6個蘋果，要想每個小朋友分2個，可以分給幾個小朋友？就是求6裡面有幾個2？算式6÷2=3（個）。上述情況要是除數為0的話就出現了下面的情況：1、把6個蘋果平均分成0份，每份是幾個？這是沒有答案的，6個蘋果不能分成0份這是不可能的。2、有6個蘋果，每個小朋友分0個，能分給幾個小朋友？這也很可笑了，每個小朋友分0個，那個不管有多少個小朋友都可以了，反正小朋友手裡沒蘋果。這裡的答案是不確定的。所以0不能做除數了。

這樣我們就明確了0為什麼不能作為除數了。但是這裡值得一提的是我們在學習分數的時候會有一節課專門研究分數和除法的關係，從而想到分數的分母也不能是0，那是不是因為除數不能為0，所以分母也不能是0嗎？

答案是否定的。分母不能是0，不是由除數不能是0所決定的，而是由分數的定義決定的。小學數學中提到把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份或者幾份的數叫做分數。在理論上分數的定義是：“形如m/n(m和n都是正整數，且n＞1，m＞0）的叫做分數。”同時，從分數m/n也應該包括整數來考慮，m也可以是0，n也可以是1。因此有了下面的補充定義：當n=1時，m/n=m/1=m;當m=0時,m/n=0/n=0。而根據上述的定義和補充定義，分數的分母n不可能是0，一旦是0就不符合分數的定義了。

另外，在分數的產生過程中，從度量方面看當用一個長度B作為標準（度量單位）去度量另一個長度A時，如果不能恰好量盡，為了仍用B來表示度量結果，就需要把B分成n等份後再去度量A。如果恰有m次量盡，就可以用把B分成n等份後的m等份來度量A的結果，即m/n.由此可以看出n不能是0且是一個大於1的正整數。

因此，由分數的定義和分數產生的過程可知，分數的分母是不能為0的。

正像上面所描述的，在數學中，規定0不能作除數是為了保證除法結果的唯一性；規定1不是質數，是為了保證整數分解質因數的形式是唯一的；規定數軸的正方向為向右，規定直角座標系的x軸的正方向向右，y軸的正方向向上也是為了統一，保持數學的結果是唯一而做的要求。

因此可以看出，數學中很多規定是人為的，是人們對這門學科有了一定的認識後為了達到統一要求而做的規定。

除的本意是做等分的，0等分如何定義？

在《乘除法的認識》的教學中，對於“0不能做除數”的規定，常說“零做除數沒有意義”或“規定零不能做除數”,許多教師往往只是把它當作一個結論來處理，強調“0做除數，沒有意義”。其實這正是“乘除法關係”的一個極好的例子。究竟“零為什麼不能做除數”呢?這可從兩個方面談起：一、當被除數是零，除數也是零時，我們可寫成0÷0=X的形式，看商X是什麼？根據乘法與除法互為逆運算的關係有：被除數=除數×商，這裡除數已為零，商X無論是什麼數（是正數、負數、零）、與零相乘都等於零。即0=0×X，這樣商X是不固定的。X是任何數與零相乘都等於零。我們知道四則運算的結果是唯一的，這就破壞了四則運算結果的唯一性。在這種情況下，我們簡單地說：“被除數和除數都為零時，不能得到固定的商。”二、當被除數不為零時，而除數為零時的結果看，我們可寫成5÷0=X，商X無論是什麼數，與除數“0”相乘都得零，而不會得5，即0×X≠5或其他不是零的數。我們簡單地說：“當被除數為零，而除數是零時，用乘除法的關係來檢驗，是‘還不回原的’”。所以，“0”在4種運算中，就是不可以以除數的身份出現。鑑於以上兩種情況：一是零做除數不能得到固定的商；二是零做除數還不回原。因此說：“零做除數沒有意義”或“規定零不能做除數”。

0不能作為除數，這一點是大家眾多周知的一件事，那麼我們如何來說明0不可以作為除數呢？

接下來我們看一下我們的證明過程，就明白為何不能作為除數了。2×0=0，3×0=0，4×0=0，5×0=0等等，我們根據除法與乘法之間的關係，它們是互逆運算，兩個數乘的結果叫積，求其中的一個乘數=積÷另一個乘數，那麼上面的算是我們就可以寫成以下形式，0÷0=2,0÷0=3，0÷0=4，0÷0=5等，同樣的被除數和除數算出來的結果卻迥然不同，這在我們的現實生活中是毫無意義的。

就像我們在初中學習分式化簡的時候，也要考慮到分母不為0的情況，也就是除數不為0。只有我們學習時，根據實際的情況來判斷什麼時候用0不能作為分母或者不為0，這才是我們學習知識是的目的，知識是為生活服務的，我們要做知識的主人，而不是承擔知識的工具，也不要枷鎖住，只有靈活運用，我們等我生活才會變得更加美好

上小學老師說過"除數為O，除法沒意義"，到上初中後，老師又說"分母為0，分數無意義"，還說"0沒有倒數，這是規定"。零為啥這麼特殊，它們為啥都怕零呢？

事實上，零作為特殊數，從小考丶中考到高考的數學考試命題中，"除數不能為零"(或"分母不能為零")，我們知道，這都是熱點問題。

零為什麼不能做除數呢？

這由除法的意義來決定。我們知道，除法是乘法的逆運算。比如在乘法算式 2X3=6 中，可寫得除法算式 6÷3=2 或6÷2=3 。但是若問你

6÷0= ？ 你知道嗎？

進而，5÷0=？ ，4÷0=？ ，3÷0=？，2÷0=?，1÷0=?，0÷0=？ 你思考過嗎？

我們繼續來看一組乘法算式，我背過一條乘法法則:零乘任何數都得零。即ax0=0 。

我們有:

1x0=0， 2x0=0， 3x0=0， 4x0=0，

5x0=0， 6x0=0， ……

轉化為除法算式，有:

0÷1=0或0÷0=1，

0÷2=0或0÷0=2，

0÷3=0或0÷0=3，

0÷4=0或0÷0=4，

0÷5=0或0÷0=5，

0÷6=0或0÷0=6，

……

看看吧，"或"後面的，能看出了吧？

0÷0 =？

0÷0=任意數，這個數是1，也是2，還是3，或許是4丶是5，也有可能是零。這也太隨意啦，太不確定，也太沒意思了。

也就是說0÷0這樣的除法沒意義，這才規定零不能做除數。

這就是"零不能做除數"的原因吧！

首先你要了解什麼除數，簡單地講，一個除數本身代表的值此時就意為將被除數平均分成幾份，而“商”則意為平均每份的值。想一下，0如果作為除數，被分成幾份，還是0，而除數是0，則運算無法進行，也就無意義了。所以，0不能做除數（分母、後項）的原因：

1、如果除數（分母、後項）是0，被除數是非零正數時，商不存在。這是由於任何數乘0都不會得出非零正數。但一些領域定義為無窮大（∞），因為∞×0被認為能得到非零正數。

2、如果除數（分母、後項）是0，被除數也等於0，也不行，因為任何數乘0都得0，答案有無窮多個，無法定義。（不定值，NaN）

0的數學性質

1、0是最小的自然數。

2、0能被任何非零整數整除。

3、0不是奇數，而是偶數

在數學教學中我們都知道有這麼個規定：0不能做除數。可是0為什麼不能做除數呢？查閱了很多專家的講解再加上自己的一點體會，下面我們就從數學理論上來說明一下：

在小學數學中定義除法是乘法的逆運算，就是已知積與一個因數求另一個因數的運算。從整數除法定義中可以知道：

如果bq=a,那麼a÷b=q

當a=0,b≠0時，∵ b×0=0，∴ 0÷b=0（這是除法的補充定義）

但除數b不能是零，這是因為如果b=0，那麼

1、當a≠0時，由於任何數乘0都不可能等於整數a，所以a÷0的商就是不存在的。

2、當a=0時，因為任何數和0相乘都得0，所以a÷0的商是不確定的。

我們知道，在加法、減法與乘法中，和、差（如果存在）與積都是唯一的，在除法中也要排除商（如果存在）不是唯一的情況，因此規定在除法中，除數不能是0。

理論上也許比較費解。我們知道除法有兩種含義，一個是“平均分”一個是“每幾個一份”。例如有6個蘋果，平均分給三個小朋友，每個小朋友分得幾個？就是把6平均分成三份求每份是幾，所以6÷3=2（個）。同樣有6個蘋果，要想每個小朋友分2個，可以分給幾個小朋友？就是求6裡面有幾個2？算式6÷2=3（個）。上述情況要是除數為0的話就出現了下面的情況：1、把6個蘋果平均分成0份，每份是幾個？這是沒有答案的，6個蘋果不能分成0份這是不可能的。2、有6個蘋果，每個小朋友分0個，能分給幾個小朋友？這也很可笑了，每個小朋友分0個，那個不管有多少個小朋友都可以了，反正小朋友手裡沒蘋果。這裡的答案是不確定的。所以0不能做除數了。

這樣我們就明確了0為什麼不能作為除數了。但是這裡值得一提的是我們在學習分數的時候會有一節課專門研究分數和除法的關係，從而想到分數的分母也不能是0，那是不是因為除數不能為0，所以分母也不能是0嗎？

答案是否定的。分母不能是0，不是由除數不能是0所決定的，而是由分數的定義決定的。小學數學中提到把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份或者幾份的數叫做分數。在理論上分數的定義是：“形如m/n(m和n都是正整數，且n＞1，m＞0）的叫做分數。”同時，從分數m/n也應該包括整數來考慮，m也可以是0，n也可以是1。因此有了下面的補充定義：當n=1時，m/n=m/1=m;當m=0時,m/n=0/n=0。而根據上述的定義和補充定義，分數的分母n不可能是0，一旦是0就不符合分數的定義了。

另外，在分數的產生過程中，從度量方面看當用一個長度B作為標準（度量單位）去度量另一個長度A時，如果不能恰好量盡，為了仍用B來表示度量結果，就需要把B分成n等份後再去度量A。如果恰有m次量盡，就可以用把B分成n等份後的m等份來度量A的結果，即m/n.由此可以看出n不能是0且是一個大於1的正整數。

因此，由分數的定義和分數產生的過程可知，分數的分母是不能為0的。

正像上面所描述的，在數學中，規定0不能作除數是為了保證除法結果的唯一性；規定1不是質數，是為了保證整數分解質因數的形式是唯一的；規定數軸的正方向為向右，規定直角座標系的x軸的正方向向右，y軸的正方向向上也是為了統一，保持數學的結果是唯一而做的要求。

因此可以看出，數學中很多規定是人為的，是人們對這門學科有了一定的認識後為了達到統一要求而做的規定。

除的本意是做等分的，0等分如何定義？

在《乘除法的認識》的教學中，對於“0不能做除數”的規定，常說“零做除數沒有意義”或“規定零不能做除數”,許多教師往往只是把它當作一個結論來處理，強調“0做除數，沒有意義”。其實這正是“乘除法關係”的一個極好的例子。究竟“零為什麼不能做除數”呢?這可從兩個方面談起：一、當被除數是零，除數也是零時，我們可寫成0÷0=X的形式，看商X是什麼？根據乘法與除法互為逆運算的關係有：被除數=除數×商，這裡除數已為零，商X無論是什麼數（是正數、負數、零）、與零相乘都等於零。即0=0×X，這樣商X是不固定的。X是任何數與零相乘都等於零。我們知道四則運算的結果是唯一的，這就破壞了四則運算結果的唯一性。在這種情況下，我們簡單地說：“被除數和除數都為零時，不能得到固定的商。”二、當被除數不為零時，而除數為零時的結果看，我們可寫成5÷0=X，商X無論是什麼數，與除數“0”相乘都得零，而不會得5，即0×X≠5或其他不是零的數。我們簡單地說：“當被除數為零，而除數是零時，用乘除法的關係來檢驗，是‘還不回原的’”。所以，“0”在4種運算中，就是不可以以除數的身份出現。鑑於以上兩種情況：一是零做除數不能得到固定的商；二是零做除數還不回原。因此說：“零做除數沒有意義”或“規定零不能做除數”。

0不能作為除數，這一點是大家眾多周知的一件事，那麼我們如何來說明0不可以作為除數呢？

接下來我們看一下我們的證明過程，就明白為何不能作為除數了。2×0=0，3×0=0，4×0=0，5×0=0等等，我們根據除法與乘法之間的關係，它們是互逆運算，兩個數乘的結果叫積，求其中的一個乘數=積÷另一個乘數，那麼上面的算是我們就可以寫成以下形式，0÷0=2,0÷0=3，0÷0=4，0÷0=5等，同樣的被除數和除數算出來的結果卻迥然不同，這在我們的現實生活中是毫無意義的。

就像我們在初中學習分式化簡的時候，也要考慮到分母不為0的情況，也就是除數不為0。只有我們學習時，根據實際的情況來判斷什麼時候用0不能作為分母或者不為0，這才是我們學習知識是的目的，知識是為生活服務的，我們要做知識的主人，而不是承擔知識的工具，也不要枷鎖住，只有靈活運用，我們等我生活才會變得更加美好

上小學老師說過"除數為O，除法沒意義"，到上初中後，老師又說"分母為0，分數無意義"，還說"0沒有倒數，這是規定"。零為啥這麼特殊，它們為啥都怕零呢？

事實上，零作為特殊數，從小考丶中考到高考的數學考試命題中，"除數不能為零"(或"分母不能為零")，我們知道，這都是熱點問題。

零為什麼不能做除數呢？

這由除法的意義來決定。我們知道，除法是乘法的逆運算。比如在乘法算式 2X3=6 中，可寫得除法算式 6÷3=2 或6÷2=3 。但是若問你

6÷0= ？ 你知道嗎？

進而，5÷0=？ ，4÷0=？ ，3÷0=？，2÷0=?，1÷0=?，0÷0=？ 你思考過嗎？

我們繼續來看一組乘法算式，我背過一條乘法法則:零乘任何數都得零。即ax0=0 。

我們有:

1x0=0， 2x0=0， 3x0=0， 4x0=0，

5x0=0， 6x0=0， ……

轉化為除法算式，有:

0÷1=0或0÷0=1，

0÷2=0或0÷0=2，

0÷3=0或0÷0=3，

0÷4=0或0÷0=4，

0÷5=0或0÷0=5，

0÷6=0或0÷0=6，

……

看看吧，"或"後面的，能看出了吧？

0÷0 =？

0÷0=任意數，這個數是1，也是2，還是3，或許是4丶是5，也有可能是零。這也太隨意啦，太不確定，也太沒意思了。

也就是說0÷0這樣的除法沒意義，這才規定零不能做除數。

這就是"零不能做除數"的原因吧！

首先你要了解什麼除數，簡單地講，一個除數本身代表的值此時就意為將被除數平均分成幾份，而“商”則意為平均每份的值。想一下，0如果作為除數，被分成幾份，還是0，而除數是0，則運算無法進行，也就無意義了。所以，0不能做除數（分母、後項）的原因：

1、如果除數（分母、後項）是0，被除數是非零正數時，商不存在。這是由於任何數乘0都不會得出非零正數。但一些領域定義為無窮大（∞），因為∞×0被認為能得到非零正數。

2、如果除數（分母、後項）是0，被除數也等於0，也不行，因為任何數乘0都得0，答案有無窮多個，無法定義。（不定值，NaN）

0的數學性質

1、0是最小的自然數。

2、0能被任何非零整數整除。

3、0不是奇數，而是偶數