英國科學期刊《物理世界》曾讓讀者投票評選了“最偉大的公式”，最終榜上有名的十個公式既有無人不知的1+1=2，又有著名的E=mc2；既有簡單的圓周公式，又有複雜的尤拉公式……尤拉公式你不知道嗎？

這可是被稱為世界上最完美的公式，那麼尤拉公式到底為什麼被稱為世界上最完美的公式了，下面就來跟隨筆者解開尤拉公式的神秘面紗吧。

尤拉公式將數學裡最重要的幾個常數聯絡到了一起：兩個超越數：自然對數的底e，圓周率π；兩個單位：虛數單位i和自然數的單位1，以及數學裡常見的0。

而且它對數學領域的締造也產生了廣泛影響，如三角函式、傅立葉級數、泰勒級數、機率論、群論等都有她的倩影。因此，數學家們評價它是“上帝創造的公式，我們只能看它卻不能完全理解它”。高斯曾經說：“一個人第一次看到這個公式而不感到它的魅力，他不可能成為數學家。”

還有人這樣玄幻地說，e=自然常數，表明宇宙的增長率,π=圓周率 表示宇宙的線性迴圈,i=黑洞中光二維塌陷引起的時間倒流1單位π是宇宙中實部智慧的迴圈率，只存在於實部智慧裡，π的存在表明自然中不存在連貫的圓，連貫的圓只存在於人類的幻覺中和技術的作弊，沒有絕對的圓。π乘以i,表明黑洞口萬事萬物是逆迴圈，逆生長，也就是熱力學和新陳代謝都顛倒了。宇宙實部，也就是大自然，按照e的πi乘方的作用，時間也開始倒流。

一．數學角度的震撼迷人的理由

法國數學家皮埃爾-西蒙•拉普拉斯(Pierre-Simon marquis de Laplace)曾這樣評價尤拉對於數學的貢獻：“讀尤拉的著作吧，在任何意義上，他都是我們的大師”。

1.自然界的 e 含於其中。

自然對數的底，大到飛船的速度，小至蝸牛的螺線，誰能夠離開它？

2.最重要的常數 π 含於其中。

世界上最完美的平面對稱圖形是圓。“最偉大的公式”能夠離開圓周率嗎？

(還有π 和e是兩個最重要的無理數！)

3.最重要的運算子號 + 含於其中。

之所以說加號是最重要的符號，是因為其餘符號都是由加號派生而來。減號是加法的逆逆運算，乘法是累計的加法……

4.最重要的關係符號 = 含於其中。

從你一開始學算術，最先遇見它，相信你也會同意這句話。

5.最重要的兩個元在裡面。

零元 0 ，單位 1 ，是構造群，環，域的基本元素。如果你看了有關《近世代數》的書，你就會體會到它的重要性。

6.最重要的虛單位 i 也在其中。

虛單位 i 使數軸上的問題擴充套件到了平面，而在哈密爾的 4 元數與 凱萊的 8 元數中也離開不了它。

之所以說她美，是因為這個公式的精簡。她沒有多餘的字元，卻聯絡著幾乎所有的數學知識。

有了加號，可以得到其餘運算子號；有了0，1，就可以得到其他的數字；有了 π 就有了圓函式，也就是三角函式；有了 i 就有了虛數，平面向量與其對應，也就有了哈密爾的 四元數，現實的空間與其對應；有了 e 就有了微積分，就有了和工業革命時期相適宜的數學。

（3）三角形中的尤拉公式：

設r為三角形外接圓半徑，r為內切圓半徑，d為外心到內心的距離，則： d＾2=r＾2-2rr

（4）拓撲學裡的尤拉公式：

v+f-e=x(p)，v是多面體p的頂點個數，f是多面體p的面數，e是多面體p的稜的條數,x(p)是多面體p的尤拉示性數。

如果p可以同胚於一個球面（可以通俗地理解為能吹脹而繃在一個球面上），那麼x(p)=2，如果p同胚於一個接有h個環柄的球面，那麼x(p)=2-2h。

x(p)叫做p的尤拉示性數，是拓撲不變數，就是無論再怎麼經過拓撲變形也不會改變的量，是拓撲學研究的範圍。

在多面體中的運用:簡單多面體的頂點數v、面數f及稜數e間有關係v+f-e=2

這個公式叫尤拉公式。公式描述了簡單多面體頂點數、面數、稜數特有的規律。

之所以說她美，是因為這個公式的精簡。她沒有多餘的字元，卻聯絡著幾乎所有的數學知識。

二．物理角度的震撼誘人的理由

物理學家理查德•費曼(Richard Phillips Feynman)將尤拉公式稱為：“我們的珍寶”和“數學中最非凡的公式”。

初等數論裡的尤拉公式：尤拉φ函式：φ(n)是所有小於n的正整數里，和n互素的整數的個數。n是一個正整數。

尤拉證明了下面這個式子：

如果n的標準素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中眾pj(j=1,2,……,m)都是素數，而且兩兩不等。則有φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)，利用容斥原理可以證明它。

這個公式對物理學影響也非常巨大，如機械波論、電磁學、波動光學、量子力學等匍匐在她的腳下；難怪物理學家查德•費曼驚呼：尤拉恆等式不但是“數學最奇妙的公式”，也是現代物理學的定量之跟，因為她把最基本的5個數學常數簡潔地連繫起來，而且也將物理學中的圓周運動、簡諧振動、機械波、電磁波、機率波等聯絡在了一起......

現代物理學告訴我們，宏觀宇宙的構成本質是旋轉的，帶有圓周運動和自旋性；微觀世界也是旋轉的，也帶有圓周運動和自旋性，而尤拉公式描述的核心正是旋轉與頻率，因此，在物理學定量意義上講，稱它是宇宙第一公式一點也不為過！

答：尤拉公式是數學中當之無愧的最美公式，公式中包含著深刻的數學思想，也隱含了宇宙的哲學原理，其形式相當優美和迷人。

e^iπ+1=0

這個恆等式叫做尤拉公式，最早是由瑞士數學家萊昂哈德·尤拉在1740年發現，高斯曾說：“如果一個人第一次看到這個公式而不感受到它的魅力，那麼他不可能成為數學家。”

這個尤拉公式的神奇之處在於，它把數學中最基本的五個常數，以非常優美的形式結合了起來：

e——自然對數，代表了大自然

π——圓周率，代表了無限

i——虛數單位，代表了想象

1——數字一，代表了起點

0——數字零，代表了終點

乘法代表結合，指數代表加成，加法代表累計，等號代表統一。

尤拉公式暗示著：大自然充滿無限想象，但是最終都會歸於終點。

我們宇宙誕生於138億年前的一次暴漲，那麼138億年前發生了什麼事?或許在我們宇宙誕生之前，宇宙就經歷了無數次的暴漲和收縮，宇宙未來也會坍縮為奇點，期間充滿著無數可能，但是最終都會歸於終點。

另外，虛數在物理學中還隱含了時間的屬性，比如廣義相對論的四維時空（閔可夫斯基時空）中時間就是虛數；而廣義的尤拉公式e^ix=cosx+isinx，隨著x的增長，該公式的數學圖形是繞著原點旋轉，定義域在[-1，1]中往復，或許暗示了宇宙的無限膨脹和收縮。

簡簡單單的一個數學公式，也只使用了最基本的運算子號，不僅把數學中最基本的五個常數聯絡了起來，還包含了如此深奧的宇宙哲學原理，被稱作“宇宙第一公式”一點不過分。

在數學中，你再也找不到能與之媲美的公式了，或許只有物理學中的質能方程還能一較高下；比如下圖這個數學公式，雖然也包含了數學的基本常數，但是與尤拉公式相差甚遠。

尤拉公式不僅僅是形式優美，而且還有著巨大的實用價值，比如在研究交流電時少不了它，訊號分析時的必備數學工具，量子力學的重要數學工具，極座標切換需要它，求反常積分需要它，研究任何圓周運動使用尤拉公式都能大大得到簡化。

我覺得尤拉等式反映了一種巧合。巧合在它把最特別的五個數聯絡在了一起，0,1,i,e,π。

尤拉等式是這樣而這個等式的推導，確實是和尤拉公式相關的。

尤拉公式的推導，要用到高等數學中的泰勒展開定理。泰勒展開定理的內容如下：

若函式f（x）在包含x0的某個閉區間[a,b]上具有n階導數，且在開區間（a,b）上具有（n+1）階導數，則對閉區間[a,b]上任意一點x，成立下式：

這樣，可以將cosx和sinx進行展開，分別是

而e的x次方展開是這

將ix帶入上式後，對比一下等式兩端，就得到將x=π帶入，就得到

什麼是尤拉公式？

尤拉公式又叫尤拉定理、尤拉公式。它被用於複雜的分析領域。尤拉公式將三角函式與復指數函式聯絡起來。它是由Leonhard Euler提出的，並以他的名字命名，所以它被稱為尤拉公式。

尤拉公式表明，對於任何實數x，有

其中e是自然對數的基數，I是虛單位，COS和sin對應的三角函式是e，引數x是弧度。這個復指數函式有時寫成{CIS}。Cos+isin。因為這個公式在x是複數時仍然成立，所以它被稱為尤拉公式的更一般版本。

萊昂哈德-尤拉生於1707年4月15日，卒於1783年9月18日。萊昂哈德-尤拉是瑞士著名的數學家和物理學家，也是現代著名的數學家之一。此外，萊昂哈德-尤拉還在力學、光學和天文學方面做出了巨大貢獻。

萊昂哈德-尤拉被認為是世界上最傑出的數學家，也是18世紀曆史上最偉大的數學家之一。此外，尤拉還寫了很多書，包括60-80卷的學術著作。

他對微分方程理論做出了重要貢獻。他也是計算力學中使用的尤拉近似的創始人。其中最著名的是尤拉法。

尤拉公式的妙處在於，它沒有多餘的內容。它把最基本的e、I、和，放在同一個公式中，然後加上0和1，這也是哲學中最重要的數學，然後用一個簡單的加號把它們連線起來。高斯曾經說過 "對於一個數學家來說，第一次看到這個公式，你就要感受到它的魅力。" 雖然她不能肯定自己是世界上 "最偉大的公式"，但她絕對是一個完美的數學公式。

原因如下：

1. 它包含了一個自然數的 "e"。在自然對數的底端，速度高如飛船，小如蝸牛的螺旋。誰能離開它？

2. 它包含了最重要的常數 "是"。3. 世界上最完美的平面對稱圖形是圓。4. "最偉大的公式 "能離開Pi嗎？E這兩個最重要的無理數。

3. 它含有最重要的運算子號 "+"。正號是最重要的符號，因為其餘符號都是由正號派生出來的。減號是加法的倒數，乘法是累計加法。

4. 包含最重要的關係符號=.從算術開始，相信你會同意。

5. 有兩個最重要的因素。元素0是單位1，它是構造群、環、場的基本元素。如果你讀過現代代數的那本書，你就會意識到它的重要性。

6. 最重要的虛擬單位I也在其中。虛擬單位I把數軸上的問題擴充套件到平面上。它離不開漢密爾頓的4ary數和凱利的8ary數。她之所以美麗，是因為公式簡化了。她沒有多餘的字元，但她幾乎擁有所有的數學知識。有了加號，可以得到其餘的運算子號；透過0、1，可以得到其他的數字；對於圓函式，是三角函式；對於I，對於虛數，平面向量與之對應，對於漢密爾頓四元數 ，實空間與之對應；有了微積分，就有了適用於工業革命的數學。

三角形的尤拉公式。假設R是圓的半徑，R是圓的內半徑，d是外圓中心到內圓中心的距離，那麼d=R -2存款準備金率。

拓撲學中的尤拉公式。V+鐵=x(P)，V為多面體的頂點數P，f為多面體的P，e為多面體的邊，x(P)為多面體的尤拉特徵數，PP可以在球面上同構(這個 可以很容易理解為延伸和擴充套件範圍)，則x(P)=2。如果P在球面上同形，有h柄，則x（P）=2-2h x（P）稱為P的尤拉特徵數，它是一種拓撲不變性，即無論怎樣變形，都不會改變。這就是拓撲學的範疇。

在多面體中的應用。對於一個簡單的多面體V+f-e=2，頂點數V、面數f和邊數e之間存在著一種關係，這就是尤拉公式。這個公式描述了簡單多面體的頂點數、面數和邊數的特殊規則。

尤拉公式也被譽為世界上最完美的公式。

基本數論中的尤拉公式。尤拉公式。尤拉K函式。K(n)是一個整數，其中n是所有小於n的正整數的質數，n是一個正整數。尤拉證明了以下公式。如果我們把標準質因數n分解成P1 ^ A1 * P2 ^ A2 * PM ^ am，許多PJ（J=1,2 m）都是質數，它們不相等。可以用不等式原理來證明。此外，許多著名的定理都是以尤拉命名的。