如果我們把一些數字排成一排，就構成了一個數列。比如最簡單的自然數列：1、2、3、4、5….偶數的數列2、4、6、8…等，後一項與前一項之差是不變的，這種數列稱為等差數列。在比如1、2、4、8、16…這樣的數列，後一項和前一項的比例是不變的，稱為等比數列。

在自然界中，有一個最為神奇、幾百年來一直被人們熱議的數列，那就是“兔子數列”。

斐波那契

在中世紀的歐洲，由於宗教原因，科學和數學的發展非常緩慢。歐洲人還習慣於使用羅馬數字計數。羅馬數字一共有7個數字，分別是：Ⅰ（1）、Ⅴ（5）、Ⅹ（10）、Ⅼ（50）、Ⅽ（100）、Ⅾ（500）和Ⅿ（1000）。它的計數規則也比較複雜，比如，把兩個數字並排，如果右邊的數字比左邊的數字小，則表示兩個數字相加；如果右邊的數字比左邊的數字大，表示兩個數字想減。此外還有許多複雜的規矩，使用起來非常不方便。

十二世紀時，歐洲數學才有了復甦的跡象。由於與阿拉伯國家的貿易和十字軍東征等原因，歐洲同阿拉伯世界發生了聯絡，發現此時的阿拉伯正在使用1234567890這樣的符號表示數字，十分方便。由於這種數字是從阿拉伯國家學習到的，所以稱為阿拉伯數字。但是實際上，在公元前三世紀，印度人就已經在使用類似的方法表示數字了，阿拉伯數字是印度人發明的。在公元7世紀時，這種數字傳入阿拉伯，後來又透過歐洲傳播到全世界。

斐波那契（也叫做比薩的列奧納多）是一個義大利數學家，年少時隨著父親在北非做生意，學習了阿拉伯數字。1200年他回到了義大利，在1202年寫成了著作《計算之術》，這本書對歐洲的數學界有很大的影響。

兔子數列

在這本書中，斐波那契提出了一個問題：

在第一個月有一對剛出生的小兔子，在第二個月小兔子變成大兔子並開始懷孕，第三個月大兔子會生下一對小兔子，並且以後每個月都會生下一對小兔子。 如果每對兔子都經歷這樣的出生、成熟、生育的過程，並且兔子永遠不死，那麼兔子的總數是如何變化的？

我們不妨先來看個圖：

第一個月只有一對兔寶寶，1對兔子。

第二個月兔寶寶變成大兔子，1對兔子。

第三個月大兔子生了一對兔寶寶，一大一小2對兔子。

第四個月大兔子繼續生一對兔寶寶，小兔子變成大兔子。兩大一小3對兔子。

….

我們把這個數列列表

我們發現會發現以下幾個規律：

前一個月的大兔子對數就是下一個月的小兔子對數。

前一個月的大兔子和小兔子對數的和就是下個月大兔子的對數。

按照這個表格，我們會發現無論是小兔子對數、大兔子對數還是總對數，除了最初幾個數字不一樣之外，後面都是按照1、1、2、3、5、8、13…變化的，這個數列就稱為兔子數列或者斐波那契數列。

兔子數列最大的特點就是前兩項之和等於後一項，比如1+1=2、1+2=3、2+3=5、3+5=8、5+8=13…

我們用an表示一個數列的第n項，那麼斐波那契數列的規律就是

這種式子稱為遞推式，也就是說可以從前面一項或幾項，計算出後面一項的式子。再結合前兩項a1=a2=1，就可以得到後面任意一項了。

神奇的數列

也許許多人覺得，斐波那契數列不過是浩如煙海的數學海洋中的一滴水。但是實際上，從這個數列被提出的那一天起，幾百年來人們在許多領域都發現了它的影子。

在數學上，許多求“方法數”的問題，答案都是斐波那契數列。例如：如果我們要上一個N級臺階的樓梯，每次只能走1格或者2格，那麼一共有多少種走法呢？

如果只有一級臺階，顯然只有1種走法。

如果有兩級臺階，顯然可以走一步，也可以走兩步，因此有2種走法。

如果有三級臺階，就有如圖所示的3種走法。

1、2、3這三個數字都是斐波那契數。那麼，如果有更多臺階怎麼辦呢？這就需要遞推式了。

由於一步最多走連兩個臺階，因此要到達第N級臺階，有兩種方案：

走到第N-1級臺階上，然後走1級臺階跨到最上方；

走到第N-2級臺階上，然後一步走兩級臺階跨到最上方。注意，從第N-2級臺階走1級到N-1級臺階這種情況已經計算在第一種情況中計算過了。

我們用a(N-1)和a(N-2)分別表示走到第N-1級和第N-2級臺階的方法數，那麼走到第N級臺階的方法數就是：

aN= a(N-1)+ a(N-2)

顯然，這就是斐波那契數列的遞推公式，因此走臺階問題的解剛好是斐波那契數列。

生活中最典型的斐波那契數列應用是在植物學中。

大樹在生長的過程中會長出分枝，如果我們從下到上數分枝個數，就會發現依次是1、1、2、3、5、8、13…等等，剛好是斐波那契數列。有科學家對這種現象的解釋是與兔子繁殖後代相同：每過一段時間老樹枝都會萌發新芽，而新芽成長為成熟的樹枝後也會每隔一段時間萌發一次新芽。

另一個神奇的例子就是向日葵等植物。

如果我們仔細觀察，就會發現向日葵盤內的種子形成兩組螺旋線，一組是順時針的，另一組是逆時針的。而這兩組螺旋線的條數剛好是兩個相鄰的斐波那契數，小向日葵是34和55，大向日葵是144和233。松果種子、菜花表面也有類似的規律。

有科學家認為：這種排列可以使得種子的堆積最密集，最有利於植物繁衍後代。

八百年來，人們在各個領域都發現了斐波那契數列。尤其是十九世紀開始，人們發現了斐波那契數列在計算機、物理、化學等領域的應用，這個古老的數列煥發了新的青春。1963年，斐波那契協會成立，並出版了《斐波那契季刊》用以刊登與斐波那契數列相關的研究成果。

斐波那契數列是指這樣一個數列，{1,1,2,3,5,8,13,21.....}，它的首項為1，第2項也為1，且從第3項起，每一項都等於它前兩項之和。用符號定義如下：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）;如：8=3+5（第6項=第4項+第5項）。

一 緣起

斐波那契數列緣起於著名的“兔子問題”：

設有一對新生的兔子，從第3個月開始他們每個月都生一對兔子，新生的兔子從第3個月開始又每個月生一對兔子。按此規律，並假定兔子沒有死亡，n個月後共有多少對兔子？

解析如下：

我們用f(n)表示第n月時的兔子的對數，則

f(1) = 1(第1個月有一對兔子）

f(2) = 1(第2個月還是一對兔子）

f(3) = 2(原來有一對兔子，第3個開始，每個月生一對兔子，故共有2對。）

f(4) = 3(原來有兩對兔子，有一對可以生育）

f(5) = 5(原來有3對兔子，第3個月出生的那對兔子也可以生育了，那麼現在有兩對兔子可以生育）。。。。

以此類推，我們可以得到第n月的兔子對數滿足斐波那契數列{1,1,2,3,5,13.....}。

二 斐波那契數列與黃金分割

斐波那契數（即1,2,3,5....）與黃金分割數≈0.618有著密切聯絡，下面從前往後對斐波那契數作除法。

1/2=0.5000

2/3≈0.6667

3/5=0.6000

5/8=0.6250

8/13≈0.6154

13/21≈0.6190

21/34≈0.6176

34/55≈0.6182

.....

我們發現，其比值越往後，越逼近黃金分割數0.618...。

三 黃金螺旋線 以斐波那契數1,1,2,3,5....等為邊長構造正方形，再按下圖拼成長方形，最後內部畫半圓，首位連線可得到黃金螺旋。黃金螺旋在生活中有很多運用。

斐波那契數列指的是這樣一個數列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597........這個數列從第3項開始，每一項都等於前兩項之和。