解一些複雜的因式分解問題，常用到換元法，即對結構比較複雜的多項式，若把其中某些部分看成一個整體，用新字母代替(即換元)，則能使複雜的問題簡單化，明朗化，在減少多項式項數,降低多項式結構複雜程度等方面有獨到作用[1]。

換元法又稱變數替換法 , 是我們解題常用的方法之一 。利用換元法 , 可以化繁為簡 , 化難為易 , 從而找到解題的捷徑 。

中文名

換元法

外文名

method of substitution

別名

變數代換法

性質

科學

類別

數學

快速

導航

分類

應用技巧

分解因式

相關例題

概述

亦稱輔助未知數法，又稱變元代換法.解方程組的一種重要方法。它是普遍應用的一種方法，其一般意義是將由一個或幾個變元構成的數學表示式中的一部分用新的變元表示，以利於問題的解決.這裡僅給出在解方程(組)和解不等式(組)中的應用[2] 。

它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數式，在研究方程、不等式、函式、數列、三角等問題中有廣泛的應用。

分類

換元法是指引入一個或幾個新的變數代替原來的某些變數的變數求出結果之後，返回去求原變數的結果.換元法透過引入新的元素將分散的條件聯絡起來，或者把隱含的條件顯示出來，或者把條件與結論聯絡起來，或者變為熟悉的問題.其理論根據是等量代換.

高中數學中換元法主要有以下兩類：

(1)整體換元：以“元”換“式”。

(2)三角換元 ，以“式”換“元”。

(3)此外，還有對稱換元、均值換元、萬能換元等.換元法應用比較廣泛。如解方程，解不等式，證明不等式，求函式的值域，求數列的通項與和等，另外在解析幾何中也有廣泛的應用。

應用技巧

我們使用換元法時，要遵循有利於運算、有利於標準化的原則，換元后要注重新變數範圍的選取，一定要使新變數取值範圍對應於原變數的取值範圍，不能縮小也不能擴大。如上幾例中的t>0和sinα∈[-1,1 ]。

可以先觀察算式，可發現這種需換元法之算式中總含有相同的式子，然後把它們用一個字母替換，推演出答案，然後若在答案中有此字母，即將該式帶入其中，遂可算出[3] 。

分解因式

有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數，然後進行因式分解，最後再轉換回來，這種方法叫做換元法。

相關例題

例題 1

注意:換元后勿忘還元。

【例】在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12時，可以令y=x2+x,則　原式=(y+1)(y+2)-12　=y2+3y+2-12=y2+3y-10　=(y+5)(y-2)　=(x2+x+5)(x2+x-2)　=(x2+x+5)(x+2)(x-1)．

例2，(x+5)+(y-4)=8

(x+5)-(y-4)=4

令x+5=m,y-4=n

原方程可寫為

解得m=6,n=2

所以x+5=6,y-4=2

所以

特點：兩方程中都含有相同的代數式，如題中的x+5,y-4之類，換元后可簡化方程。

解高次方程

有時在解方程時，可以選擇方程中的相同的部分換成另一個未知數，達到降次的目的，然後進行新方程求新未知數，最後再轉換回來求原未知數，這種方法叫做換元法。

例題2

注意:換元后勿忘還元。

【例】解方程（x2-2x）2-3（x2-2x）-4=0

解：設x2-2x=y，則原方程變為y2-3y-4=0

(y-4)(y+1)=0

y-4=0或y+1=0

y1=4 y2=-1

當y=4時，x2-2x=4 解得x1=1+√5 x2=1-√5

當y=-1時，x2-2x=-1解得x1=x2=1

所以，原方程的根為x1=1+√5 x2=1-√5 x3=1