面對新的課程，新的知識，新的學習方法很多學生多會感到無所適從，尤其是在高中立體幾何方面頗感頭疼。中學階段我們接觸的是一些簡單的平面幾何內容，學生在這一階段並沒有建立起比較強的空間感，所以學起來比較吃力。然而立體幾何在歷年的高考中有兩到三道小題，必有一道大題。雖然分值比重不是特別大，但是起著舉足輕重的作用。下面就如何學好立體幾何談幾點建議。淺析高中學習方法—立體幾何步驟/方法 一、立足課本，夯實基礎 直線和平面這些內容，是立體幾何的基礎，學好這部分的一個捷徑就是認真學習定理的證明，尤其是一些很關鍵的定理的證明。例如：三垂線定理。（這個定理對今後學習線面垂直以及二面角的平面角的作法非常重要）定理的內容都很簡單，就是線與線，線與面，面與面之間的關係的闡述。但定理的證明在出學的時候一般都很複雜，甚至很抽象。掌握好定理有以下三點好處： （1）深刻掌握定理的內容，明確定理的作用是什麼，多用在那些地方，怎麼用。 （2）培養空間想象力。 （3）得出一些解題方面的啟示。 在學習這些內容的時候，可以用筆、直尺、書之類的東西搭出一個圖形的框架，（我要求學生用手裡的書本當平面，筆作直線）這樣親自實踐可以幫助提高空間想象力。對後面的學習也打下了很好的基礎。淺析高中學習方法—立體幾何 二、培養空間想象力 從認識平面圖形到認識立體圖形是一次飛躍，要有一個過程。有的同學自制一些空間幾何模型並反覆觀察，這有益於建立空間觀念，是個好辦法。有的同學有空就對一些立體圖形進行觀察、揣摩，並且判斷其中的線線、線面、面面位置關係，探索各種角、各種垂線作法，這對於建立空間觀念也是好方法。 建立空間觀念要做到：重視看圖能力的培養：對於一個幾何體，可從不同的角度去觀察，可以是俯視、仰視、側視、斜視，體會不同的感覺，以開拓空間視野，培養空間感。加強畫圖能力的培養：掌握基本圖形的畫法；如異面直線的幾種畫法、二面角的幾種畫法等等；對線面的位置關係，所成的角，所有的定理、公理都要畫出其圖形，而且要畫出具有較強的立體感，除此之外，還要體會到用語言敘述的圖形，畫哪一個面在水平面上，產生的視覺完全不同，往往從一個方向上看不清的圖形，從另方向上可能一目瞭然。加強認圖能力的培養：對立體幾何題，既要由複雜的幾何圖形體看出基本圖形，如點、線、面的位置關係；又要從點、線、面的位置關係想到複雜的幾何圖形，既要看到所畫出的圖形，又要想到未畫出的部分。能實現這一些，可使有些問題一眼看穿。 此外，多用圖表示概念和定理，多在頭腦中“證明”定理和構造定理的“圖”，對於建立空間觀念也是很有幫助的。淺析高中學習方法—立體幾何 三、建立數學模型 新課程標準中多次提到“數學模型”一詞，目的是進一步加強數學與現實世界的聯絡。數學模型是把實際問題用數學語言抽象概括，再從數學角度來反映或近似地反映實際問題時，所得出的關於實際問題的描述。數學模型的形式是多樣的，它們可以是幾何圖形，也可以是方程式，函式解析式等等。實際問題越複雜，相應的數學模型也越複雜。 從形狀的角度反映現實世界的物體時，經過抽象得到的空間幾何體就是現實世界物體的幾何模型。由於立體幾何學習的知識內容與學生的聯絡非常密切，空間幾何體是很多物體的幾何模型，這些模型可以描述現實世界中的許多物體。他們直觀、具體、對培養大家的幾何直觀能力有很大的幫助。空間幾何體，特別是長方體，其中的稜與稜、稜與面、面與面之間的位置關係，是研究直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關係的直觀載體。學習時，一方面要注意從實際出發，把學習的知識與周圍的實物聯絡起來，另一方面，也要注意經歷從現實的生活抽象空間圖形的過程，注重探索空間圖形的位置關係，歸納、概括它們的判定定理和性質定理。 四、逐漸提高邏輯論證能力 立體幾何的證明是數學學科中任一分之也替代不了的。因此，歷年高考中都有立體幾何論證的考察。論證時，首先要保持嚴密性，對任何一個定義、定理及推論的理解要做到準確無誤。符號表示與定理完全一致，定理的所有條件都具備了，才能推出相關結論。切忌條件不全就下結論。其次，在論證問題時，思考應多用分析法，即逐步地找到結論成立的充分條件，向已知靠攏，然後用綜合法（“推出法”）形式寫出。淺析高中學習方法—立體幾何 五、“轉化”思想的應用 解立體幾何的問題，主要是充分運用“轉化”這種數學思想，要明確在轉化過程中什麼變了，什麼沒變，有什麼聯絡，這是非常關鍵的。例如： 1.兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線的夾角即過空間任意一點引兩條異面直線的平行線。斜線與平面所成的角轉化為直線與直線所成的角即斜線與斜線在該平面內的射影所成的角。 2.異面直線的距離可以轉化為直線和與它平行的平面間的距離，也可以轉化為兩平行平面的距離，即異面直線的距離與線面距離、面面距離三者可以相互轉化。而面面距離可以轉化為線面距離，再轉化為點面距離，點面距離又可轉化為點線距離。 3.面和麵平行可以轉化為線面平行，線面平行又可轉化為線線平行。而線線平行又可以由線面平行或面面平行得到，它們之間可以相互轉化。同樣面面垂直可以轉化為線面垂直，進而轉化為線線垂直。 4.三垂線定理可以把平面內的兩條直線垂直轉化為空間的兩條直線垂直，而三垂線逆定理可以把空間的兩條直線垂直轉化為平面內的兩條直線垂直。 以上這些都是數學思想中轉化思想的應用，透過轉化可以使問題得以大大簡化。 六、總結規律，規範訓練 立體幾何解題過程中，常有明顯的規律性。例如：求角先定平面角、三角形去解決，正餘弦定理、三角定義常用，若是餘弦值為負值，異面、線面取銳角。對距離可歸納為：距離多是垂線段，放到三角形中去計算，經常用正餘弦定理、勾股定理，若是垂線難做出，用等積等高來轉換。不斷總結，才能不斷高。 還要注重規範訓練，高考中反映的這方面的問題十分嚴重，不少考生對作、證、求三個環節交待不清，表達不夠規範、嚴謹，因果關係不充分，圖形中各元素關係理解錯誤，符號語言不會運用等。這就要求我們在平時養成良好的答題習慣，具體來講就是按課本上例題的答題格式、步驟、推理過程等一步步把題目演算出來。答題的規範性在數學的每一部分考試中都很重要，在立體幾何中尤為重要，因為它更注重邏輯推理。對於即將參加高考的同學來說，考試的每一分都是重要的，在“按步給分”的原則下，從平時的每一道題開始培養這種規範性的好處是很明顯的，而且很多情況下，本來很難答出來的題，一步步寫下來，思維也逐漸打開了。淺析高中學習方法—立體幾何 七、藉助向量這個有用的工具 在學習過程中，用傳統的方法不太好做的題目，抓住好本質，建立空間直角座標系，藉助向量這個有用的工具，證明垂直，平行，解決夾角，線面角，二面角等問題就非常容易． 高考中還十分重視解題過程表述的正確與嚴謹。同學們對“作”、“證”、“算”三個環節往往頭輕腳重，對圖形構成交代不清楚，造成邏輯上錯誤，對需要嚴格論證的往往沒有表達出來，只算結果。這些在複習中都應該引起注意。在傳統的邏輯推理方法中的基本步驟是：“一作，二證明，三求”；在用向量代數法時，必須按照“一建系，二求點的座標，三求向量的座標，四運用向量公式求解”；如在證明線面垂直時，證明線線垂直時，容易只證明與平面內一條直線垂直就下結論，這裡應強調證明兩條相交直線，缺一不可；用空間向量解決問題時，需要建立座標系，一定要說清楚；用三垂線定理作二面角的平面角時，一定得點明斜線在平面上射影；書寫解題過程的最後都必須寫結題語。在解題中，要書寫規範，如用平行四邊形ABCD表示平面時，可以寫成平面AC，但不可以把平面兩字省略掉；要寫出解題根據，不論對於計算題還是證明題都應該如此，不能想當然或全憑直觀；對於文字證明題，要寫已知和求證，要畫圖；用定理時，必須把題目滿足定理的條件逐一交代清楚，自己心中有數而不把它寫出來是不行的。 八、培養兩種意識 特殊化意識。許多線面關係的問題要特別注意它們的特殊位置關係，在一些計算問題中，一般位置和特殊位置的答案是不變的，從特殊中尋找快捷的解題思路。要培養這種意識，以提高解題速度。有時，由特殊圖形的關係可引出一般在關係。 運動的觀點。平移不改變角的大小，在立體幾何中，所有角的求解都可做平行線來解決，這樣可將不相交的線的夾角轉化為相交線的夾角；直線不能移動，但其方向向量可以按需要任意平移。 在平時的學習過程中，對於證明過的一些典型命題，可以把其作為結論記下來。利用這些結論可以很快地求出一些運算起來很繁瑣的題目，尤其是在求解選擇或填空題時更為方便。對於一些解答題雖然不能直接應用這些結論，但其也會幫助我們開啟解題思路，進而求解出答案。 我相信，如果在學習過程中做到了以上八點，那麼任何題目也會迎刃而解。
面對新的課程，新的知識，新的學習方法很多學生多會感到無所適從，尤其是在高中立體幾何方面頗感頭疼。中學階段我們接觸的是一些簡單的平面幾何內容，學生在這一階段並沒有建立起比較強的空間感，所以學起來比較吃力。然而立體幾何在歷年的高考中有兩到三道小題，必有一道大題。雖然分值比重不是特別大，但是起著舉足輕重的作用。下面就如何學好立體幾何談幾點建議。淺析高中學習方法—立體幾何步驟/方法 一、立足課本，夯實基礎 直線和平面這些內容，是立體幾何的基礎，學好這部分的一個捷徑就是認真學習定理的證明，尤其是一些很關鍵的定理的證明。例如：三垂線定理。（這個定理對今後學習線面垂直以及二面角的平面角的作法非常重要）定理的內容都很簡單，就是線與線，線與面，面與面之間的關係的闡述。但定理的證明在出學的時候一般都很複雜，甚至很抽象。掌握好定理有以下三點好處： （1）深刻掌握定理的內容，明確定理的作用是什麼，多用在那些地方，怎麼用。 （2）培養空間想象力。 （3）得出一些解題方面的啟示。 在學習這些內容的時候，可以用筆、直尺、書之類的東西搭出一個圖形的框架，（我要求學生用手裡的書本當平面，筆作直線）這樣親自實踐可以幫助提高空間想象力。對後面的學習也打下了很好的基礎。淺析高中學習方法—立體幾何 二、培養空間想象力 從認識平面圖形到認識立體圖形是一次飛躍，要有一個過程。有的同學自制一些空間幾何模型並反覆觀察，這有益於建立空間觀念，是個好辦法。有的同學有空就對一些立體圖形進行觀察、揣摩，並且判斷其中的線線、線面、面面位置關係，探索各種角、各種垂線作法，這對於建立空間觀念也是好方法。 建立空間觀念要做到：重視看圖能力的培養：對於一個幾何體，可從不同的角度去觀察，可以是俯視、仰視、側視、斜視，體會不同的感覺，以開拓空間視野，培養空間感。加強畫圖能力的培養：掌握基本圖形的畫法；如異面直線的幾種畫法、二面角的幾種畫法等等；對線面的位置關係，所成的角，所有的定理、公理都要畫出其圖形，而且要畫出具有較強的立體感，除此之外，還要體會到用語言敘述的圖形，畫哪一個面在水平面上，產生的視覺完全不同，往往從一個方向上看不清的圖形，從另方向上可能一目瞭然。加強認圖能力的培養：對立體幾何題，既要由複雜的幾何圖形體看出基本圖形，如點、線、面的位置關係；又要從點、線、面的位置關係想到複雜的幾何圖形，既要看到所畫出的圖形，又要想到未畫出的部分。能實現這一些，可使有些問題一眼看穿。 此外，多用圖表示概念和定理，多在頭腦中“證明”定理和構造定理的“圖”，對於建立空間觀念也是很有幫助的。淺析高中學習方法—立體幾何 三、建立數學模型 新課程標準中多次提到“數學模型”一詞，目的是進一步加強數學與現實世界的聯絡。數學模型是把實際問題用數學語言抽象概括，再從數學角度來反映或近似地反映實際問題時，所得出的關於實際問題的描述。數學模型的形式是多樣的，它們可以是幾何圖形，也可以是方程式，函式解析式等等。實際問題越複雜，相應的數學模型也越複雜。 從形狀的角度反映現實世界的物體時，經過抽象得到的空間幾何體就是現實世界物體的幾何模型。由於立體幾何學習的知識內容與學生的聯絡非常密切，空間幾何體是很多物體的幾何模型，這些模型可以描述現實世界中的許多物體。他們直觀、具體、對培養大家的幾何直觀能力有很大的幫助。空間幾何體，特別是長方體，其中的稜與稜、稜與面、面與面之間的位置關係，是研究直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關係的直觀載體。學習時，一方面要注意從實際出發，把學習的知識與周圍的實物聯絡起來，另一方面，也要注意經歷從現實的生活抽象空間圖形的過程，注重探索空間圖形的位置關係，歸納、概括它們的判定定理和性質定理。 四、逐漸提高邏輯論證能力 立體幾何的證明是數學學科中任一分之也替代不了的。因此，歷年高考中都有立體幾何論證的考察。論證時，首先要保持嚴密性，對任何一個定義、定理及推論的理解要做到準確無誤。符號表示與定理完全一致，定理的所有條件都具備了，才能推出相關結論。切忌條件不全就下結論。其次，在論證問題時，思考應多用分析法，即逐步地找到結論成立的充分條件，向已知靠攏，然後用綜合法（“推出法”）形式寫出。淺析高中學習方法—立體幾何 五、“轉化”思想的應用 解立體幾何的問題，主要是充分運用“轉化”這種數學思想，要明確在轉化過程中什麼變了，什麼沒變，有什麼聯絡，這是非常關鍵的。例如： 1.兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線的夾角即過空間任意一點引兩條異面直線的平行線。斜線與平面所成的角轉化為直線與直線所成的角即斜線與斜線在該平面內的射影所成的角。 2.異面直線的距離可以轉化為直線和與它平行的平面間的距離，也可以轉化為兩平行平面的距離，即異面直線的距離與線面距離、面面距離三者可以相互轉化。而面面距離可以轉化為線面距離，再轉化為點面距離，點面距離又可轉化為點線距離。 3.面和麵平行可以轉化為線面平行，線面平行又可轉化為線線平行。而線線平行又可以由線面平行或面面平行得到，它們之間可以相互轉化。同樣面面垂直可以轉化為線面垂直，進而轉化為線線垂直。 4.三垂線定理可以把平面內的兩條直線垂直轉化為空間的兩條直線垂直，而三垂線逆定理可以把空間的兩條直線垂直轉化為平面內的兩條直線垂直。 以上這些都是數學思想中轉化思想的應用，透過轉化可以使問題得以大大簡化。 六、總結規律，規範訓練 立體幾何解題過程中，常有明顯的規律性。例如：求角先定平面角、三角形去解決，正餘弦定理、三角定義常用，若是餘弦值為負值，異面、線面取銳角。對距離可歸納為：距離多是垂線段，放到三角形中去計算，經常用正餘弦定理、勾股定理，若是垂線難做出，用等積等高來轉換。不斷總結，才能不斷高。 還要注重規範訓練，高考中反映的這方面的問題十分嚴重，不少考生對作、證、求三個環節交待不清，表達不夠規範、嚴謹，因果關係不充分，圖形中各元素關係理解錯誤，符號語言不會運用等。這就要求我們在平時養成良好的答題習慣，具體來講就是按課本上例題的答題格式、步驟、推理過程等一步步把題目演算出來。答題的規範性在數學的每一部分考試中都很重要，在立體幾何中尤為重要，因為它更注重邏輯推理。對於即將參加高考的同學來說，考試的每一分都是重要的，在“按步給分”的原則下，從平時的每一道題開始培養這種規範性的好處是很明顯的，而且很多情況下，本來很難答出來的題，一步步寫下來，思維也逐漸打開了。淺析高中學習方法—立體幾何 七、藉助向量這個有用的工具 在學習過程中，用傳統的方法不太好做的題目，抓住好本質，建立空間直角座標系，藉助向量這個有用的工具，證明垂直，平行，解決夾角，線面角，二面角等問題就非常容易． 高考中還十分重視解題過程表述的正確與嚴謹。同學們對“作”、“證”、“算”三個環節往往頭輕腳重，對圖形構成交代不清楚，造成邏輯上錯誤，對需要嚴格論證的往往沒有表達出來，只算結果。這些在複習中都應該引起注意。在傳統的邏輯推理方法中的基本步驟是：“一作，二證明，三求”；在用向量代數法時，必須按照“一建系，二求點的座標，三求向量的座標，四運用向量公式求解”；如在證明線面垂直時，證明線線垂直時，容易只證明與平面內一條直線垂直就下結論，這裡應強調證明兩條相交直線，缺一不可；用空間向量解決問題時，需要建立座標系，一定要說清楚；用三垂線定理作二面角的平面角時，一定得點明斜線在平面上射影；書寫解題過程的最後都必須寫結題語。在解題中，要書寫規範，如用平行四邊形ABCD表示平面時，可以寫成平面AC，但不可以把平面兩字省略掉；要寫出解題根據，不論對於計算題還是證明題都應該如此，不能想當然或全憑直觀；對於文字證明題，要寫已知和求證，要畫圖；用定理時，必須把題目滿足定理的條件逐一交代清楚，自己心中有數而不把它寫出來是不行的。 八、培養兩種意識 特殊化意識。許多線面關係的問題要特別注意它們的特殊位置關係，在一些計算問題中，一般位置和特殊位置的答案是不變的，從特殊中尋找快捷的解題思路。要培養這種意識，以提高解題速度。有時，由特殊圖形的關係可引出一般在關係。 運動的觀點。平移不改變角的大小，在立體幾何中，所有角的求解都可做平行線來解決，這樣可將不相交的線的夾角轉化為相交線的夾角；直線不能移動，但其方向向量可以按需要任意平移。 在平時的學習過程中，對於證明過的一些典型命題，可以把其作為結論記下來。利用這些結論可以很快地求出一些運算起來很繁瑣的題目，尤其是在求解選擇或填空題時更為方便。對於一些解答題雖然不能直接應用這些結論，但其也會幫助我們開啟解題思路，進而求解出答案。 我相信，如果在學習過程中做到了以上八點，那麼任何題目也會迎刃而解。