先證：任意三角形的兩邊向外做正方形，求證正方形中心與三角形的第三邊中點的連線互相垂直且相等。 三角形ABC，以AB，AC為邊向外做正方形ABDE，ACFG；AD與BE交於M，AF與CG交於N，H為BC的中點，求證：HM垂直HN，HM=HN 取AB的中點P，AC的中點Q，連線MP，NQ 因為 在正方形ABDE，ACFG中 ABM，ACN是等腰直角三角形，P是AB的中點，Q是AC的中點 所以 MP垂直AB，MP=1/2AB，NQ垂直AC，NQ=1/2AC 因為 H是BC的中點，P是AB的中點，Q是AC的中點 所以 HP，HC是三角形ABC的中位線 所以 HP//AC，HP=1/2AC，HQ//AB，HQ=1/2AB 因為 HP//AC 所以 角BPH=角BAC 因為 HQ//AB 所以 角CQH=角BAC 因為 MP垂直AB，NQ垂直AC 所以 角MPB=角NQC=90度 因為 角BPH=角BAC，角CQH=角BAC 所以 角MPB+角BPH=角NQC+角CQH 所以 角MPH=角HQN 因為 HP=1/2AC，HQ=1/2AB，MP=1/2AB，NQ=1/2AC 所以 HP=NQ，MP=HQ 因為 角MPH=角HQN 所以 三角形MHP全等於三角形HNQ 所以 HM=HN，角QHN=角PMH 因為 角MPB=90度 所以 在三角形PHM中 角PMH+角MHP+角BPH=90度 因為 HQ//AB 所以 角BPH=角PHQ 因為 角QHN=角PMH，角BPH=角PHQ 所以 角PMH+角MHP+角BPH=角QHN+角MHP+角PHQ=角MHN 因為 角PMH+角MHP+角BPH=90度 所以 角MHN=90度 所以 HM垂直HN 所以 HM垂直HN，HM=HN 四邊形ABCD，四邊向外做正方形，正方形中心分別為P，Q，M，N，即等腰直角三角形ABP，BCQ，CDM，ADN，求證：PM垂直QN 設QN與OP交於E，PM與QN交於F 連線AC，取AC的中點O，連線OP，OQ，OM，ON 由上面證的結論得：OP垂直OQ，OP=OQ，OM垂直ON，OM=ON 所以 角QOP=角NOM=90度 所以 角QOP+角PON=角NOM+角PON，即 角QON=角POM 因為 OP=OQ，OM=ON 所以 OP/OQ=OM/ON 因為 角QON=角POM 所以 三角形POM全等於三角形QON 所以 角OPM=角OQN 因為 角QEO=角PEF 所以 角PFQ=角QOP 因為 角QOP=90度 所以 角PFQ=90度 所以 PM垂直QN
先證：任意三角形的兩邊向外做正方形，求證正方形中心與三角形的第三邊中點的連線互相垂直且相等。 三角形ABC，以AB，AC為邊向外做正方形ABDE，ACFG；AD與BE交於M，AF與CG交於N，H為BC的中點，求證：HM垂直HN，HM=HN 取AB的中點P，AC的中點Q，連線MP，NQ 因為 在正方形ABDE，ACFG中 ABM，ACN是等腰直角三角形，P是AB的中點，Q是AC的中點 所以 MP垂直AB，MP=1/2AB，NQ垂直AC，NQ=1/2AC 因為 H是BC的中點，P是AB的中點，Q是AC的中點 所以 HP，HC是三角形ABC的中位線 所以 HP//AC，HP=1/2AC，HQ//AB，HQ=1/2AB 因為 HP//AC 所以 角BPH=角BAC 因為 HQ//AB 所以 角CQH=角BAC 因為 MP垂直AB，NQ垂直AC 所以 角MPB=角NQC=90度 因為 角BPH=角BAC，角CQH=角BAC 所以 角MPB+角BPH=角NQC+角CQH 所以 角MPH=角HQN 因為 HP=1/2AC，HQ=1/2AB，MP=1/2AB，NQ=1/2AC 所以 HP=NQ，MP=HQ 因為 角MPH=角HQN 所以 三角形MHP全等於三角形HNQ 所以 HM=HN，角QHN=角PMH 因為 角MPB=90度 所以 在三角形PHM中 角PMH+角MHP+角BPH=90度 因為 HQ//AB 所以 角BPH=角PHQ 因為 角QHN=角PMH，角BPH=角PHQ 所以 角PMH+角MHP+角BPH=角QHN+角MHP+角PHQ=角MHN 因為 角PMH+角MHP+角BPH=90度 所以 角MHN=90度 所以 HM垂直HN 所以 HM垂直HN，HM=HN 四邊形ABCD，四邊向外做正方形，正方形中心分別為P，Q，M，N，即等腰直角三角形ABP，BCQ，CDM，ADN，求證：PM垂直QN 設QN與OP交於E，PM與QN交於F 連線AC，取AC的中點O，連線OP，OQ，OM，ON 由上面證的結論得：OP垂直OQ，OP=OQ，OM垂直ON，OM=ON 所以 角QOP=角NOM=90度 所以 角QOP+角PON=角NOM+角PON，即 角QON=角POM 因為 OP=OQ，OM=ON 所以 OP/OQ=OM/ON 因為 角QON=角POM 所以 三角形POM全等於三角形QON 所以 角OPM=角OQN 因為 角QEO=角PEF 所以 角PFQ=角QOP 因為 角QOP=90度 所以 角PFQ=90度 所以 PM垂直QN