首先說結論，整數和偶數是一樣多的。
看起來很反直覺，因為先不說負數，就是正整數，1、2、3、4、5、6、7、8，正偶數只是2、4、6、8，看起來就比整數少，你要是問100以內整數多還是偶數多，那答案一定是整數比較多。但一旦涉及到無窮大∞，這個事就不能這麼看了。
首先整數和偶數都是有無窮多個的，兩個無窮大的集合要比較大小，就不可能一一窮舉，所以數學上是比較“勢”的大小，如果兩個集合之間的所有元素都能建立一一對應關係，那我們就說兩個集合是等勢的，也就是數量一樣多。
所謂一一對應，其實很好理解。在有限集合的情況下，比如我有一袋零錢，你有一袋糖果，都有很多個，我們想比較一下硬幣多還是糖果多。除了各自去數，更直觀的方法就是我拿出一枚硬幣，你拿出一顆糖，放在一起，然後我再拿出一枚硬幣，你再拿顆糖，再放一起，直到有一方拿不出東西了，還有剩餘的一方就比較多，這就是一一對應。
把這個定義拓展到無限，道理也是相同的，但是涉及到∞的運算會產生一些反直覺的效果，比如整數明明包含了偶數，卻和偶數“一樣多”。
關於無限，感興趣的話可以看看希爾伯特的酒店這個問題，我簡單說一下。
有個酒店，房間有無窮多個，而且都已經住滿了人，這時又來了一個人想住宿，怎麼辦呢？
如果是普通酒店當然就沒辦法，但無窮多房間的希爾伯特酒店可以辦到。
老闆讓1號房間的人搬到2號房間，2號房間的人搬到3號房間，3號房間搬到4號房間，以此類推，因為房間有∞個，所以無論怎麼+1，都可以找到下一個房間。那麼，n號房的人搬到n+1號房，這樣1號房就空出來了，那個人可以住下。
這其實就是∞和∞+1哪個更大的問題，因為可以建立一一對應關係，所以∞=∞+1。
那如果現在來了10000個人，能不能住下呢？也可以。
和剛才一樣，n號房間的人搬到n+10000號房，同樣因為房間是∞個，無論怎麼+10000，都能找到對應的房間，所以∞=∞+10000。
重點來了，現在來了個偶數旅行團，有∞個人，編號2、4、6、8、10、12...，他們不僅想住店，還想住進和自己編號相同的房間，這回還能住下嗎？當然可以。
這次老闆讓1號房不要動，讓2號房間的人搬到3號房間，3號房搬到5號房，4號房搬到7號房，5號房搬到9號房，以此類推，n號房間搬到2n-1號房。
這樣一來，不僅原來的房客有新房住，所有的偶數號房間也空出來了，偶數旅行團的人還是可以住下。
所以全體正偶數和正整數仍然是等勢的，也就是一樣多的，因為不論如何計算2n-1，都能找到對應。
那麼算上負數的情況也是一樣的，-2n+1，也都能對應一個負奇數，負偶數就被空出來了。
事情還沒完，如果現在來了∞個巴士，每個巴士上又有∞個人，這些人還能住進希爾伯特酒店嗎？
竟然還可以。
我們只要再從整數中找一個等勢的∞集合就行了，比如全體質數。
歐幾里德已經證明了質數有∞個，就是2、3、5、7、11、13、17、19、23、29....這些數，所以這次老闆讓原來的所有人搬到以第一個質數2為底的冪次號房間去，1號房搬到2號房，2號房搬到2²號房，3號房搬到2³號房，以此類推，原來幾號房，就搬到2的幾次冪號房去，這樣原來的人就都安排好了。
接下來開始接待巴士上的人，一號車上的人住進第二個質數3的冪次號房，同樣第幾個人就住3的幾次冪號房。
繼續安排，二號車的人住5的冪次號房，三號車的人住7的冪次號房，四號車住11的冪次號房，最終因為質數有∞個，又因為每輛車的人都是以不同質數為底做冪次，所以結果不會重複，最終這無窮無盡的人還是被希爾伯特酒店吞下了。
所以，這幾種集合的勢都是相等的，因為不論是用數學方法還是窮舉法，都沒法找到反例，那麼我們說它們就是相等的。
=========================================
再補充一點，有人可能會說，你看你舉的例子，來了一個偶數旅行團，結果他們居然住進已經滿房的酒店了，這不就是說明偶數比整數少嗎？
那我們不妨把例子反過來。
假如有一個希爾伯特偶數酒店，房間編號2、4、6、8、10、12、14...一直到∞，已經滿房了，現在來了一個整數旅行團，∞人，編號1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11...，他們能住進希爾伯特偶數酒店嗎？
必須可以啊。
還是找到一個對應關係就可以了，2號房的人搬到6號房，4號房搬到10號房，6號房搬到14號房，8號房搬到18號房，以此類推，n號房間的人搬到2n+2號房，空出來的就可以住新人了，還是一一對應的。
這回沒問題了吧！
首先說結論，整數和偶數是一樣多的。
看起來很反直覺，因為先不說負數，就是正整數，1、2、3、4、5、6、7、8，正偶數只是2、4、6、8，看起來就比整數少，你要是問100以內整數多還是偶數多，那答案一定是整數比較多。但一旦涉及到無窮大∞，這個事就不能這麼看了。
首先整數和偶數都是有無窮多個的，兩個無窮大的集合要比較大小，就不可能一一窮舉，所以數學上是比較“勢”的大小，如果兩個集合之間的所有元素都能建立一一對應關係，那我們就說兩個集合是等勢的，也就是數量一樣多。
所謂一一對應，其實很好理解。在有限集合的情況下，比如我有一袋零錢，你有一袋糖果，都有很多個，我們想比較一下硬幣多還是糖果多。除了各自去數，更直觀的方法就是我拿出一枚硬幣，你拿出一顆糖，放在一起，然後我再拿出一枚硬幣，你再拿顆糖，再放一起，直到有一方拿不出東西了，還有剩餘的一方就比較多，這就是一一對應。
把這個定義拓展到無限，道理也是相同的，但是涉及到∞的運算會產生一些反直覺的效果，比如整數明明包含了偶數，卻和偶數“一樣多”。
關於無限，感興趣的話可以看看希爾伯特的酒店這個問題，我簡單說一下。
有個酒店，房間有無窮多個，而且都已經住滿了人，這時又來了一個人想住宿，怎麼辦呢？
如果是普通酒店當然就沒辦法，但無窮多房間的希爾伯特酒店可以辦到。
老闆讓1號房間的人搬到2號房間，2號房間的人搬到3號房間，3號房間搬到4號房間，以此類推，因為房間有∞個，所以無論怎麼+1，都可以找到下一個房間。那麼，n號房的人搬到n+1號房，這樣1號房就空出來了，那個人可以住下。
這其實就是∞和∞+1哪個更大的問題，因為可以建立一一對應關係，所以∞=∞+1。
那如果現在來了10000個人，能不能住下呢？也可以。
和剛才一樣，n號房間的人搬到n+10000號房，同樣因為房間是∞個，無論怎麼+10000，都能找到對應的房間，所以∞=∞+10000。
重點來了，現在來了個偶數旅行團，有∞個人，編號2、4、6、8、10、12...，他們不僅想住店，還想住進和自己編號相同的房間，這回還能住下嗎？當然可以。
這次老闆讓1號房不要動，讓2號房間的人搬到3號房間，3號房搬到5號房，4號房搬到7號房，5號房搬到9號房，以此類推，n號房間搬到2n-1號房。
這樣一來，不僅原來的房客有新房住，所有的偶數號房間也空出來了，偶數旅行團的人還是可以住下。
所以全體正偶數和正整數仍然是等勢的，也就是一樣多的，因為不論如何計算2n-1，都能找到對應。
那麼算上負數的情況也是一樣的，-2n+1，也都能對應一個負奇數，負偶數就被空出來了。
事情還沒完，如果現在來了∞個巴士，每個巴士上又有∞個人，這些人還能住進希爾伯特酒店嗎？
竟然還可以。
我們只要再從整數中找一個等勢的∞集合就行了，比如全體質數。
歐幾里德已經證明了質數有∞個，就是2、3、5、7、11、13、17、19、23、29....這些數，所以這次老闆讓原來的所有人搬到以第一個質數2為底的冪次號房間去，1號房搬到2號房，2號房搬到2²號房，3號房搬到2³號房，以此類推，原來幾號房，就搬到2的幾次冪號房去，這樣原來的人就都安排好了。
接下來開始接待巴士上的人，一號車上的人住進第二個質數3的冪次號房，同樣第幾個人就住3的幾次冪號房。
繼續安排，二號車的人住5的冪次號房，三號車的人住7的冪次號房，四號車住11的冪次號房，最終因為質數有∞個，又因為每輛車的人都是以不同質數為底做冪次，所以結果不會重複，最終這無窮無盡的人還是被希爾伯特酒店吞下了。
所以，這幾種集合的勢都是相等的，因為不論是用數學方法還是窮舉法，都沒法找到反例，那麼我們說它們就是相等的。
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再補充一點，有人可能會說，你看你舉的例子，來了一個偶數旅行團，結果他們居然住進已經滿房的酒店了，這不就是說明偶數比整數少嗎？
那我們不妨把例子反過來。
假如有一個希爾伯特偶數酒店，房間編號2、4、6、8、10、12、14...一直到∞，已經滿房了，現在來了一個整數旅行團，∞人，編號1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11...，他們能住進希爾伯特偶數酒店嗎？
必須可以啊。
還是找到一個對應關係就可以了，2號房的人搬到6號房，4號房搬到10號房，6號房搬到14號房，8號房搬到18號房，以此類推，n號房間的人搬到2n+2號房，空出來的就可以住新人了，還是一一對應的。
這回沒問題了吧！