建構函式法證明不等式的八種方法 1、利用導數研究函式的單調性極值和最值，再由單調性來證明不等式是函式、導數、不等式綜合中的一個難點，也是近幾年高考的熱點。 2、解題技巧是構造輔助函式，把不等式的證明轉化為利用導數研究函式的單調性或求最值，從而證得不等式，而如何根據不等式的結構特徵構造一個可導函式是用導數證明不等式的關鍵。 以下介紹建構函式法證明不等式的八種方法： 一、移項法建構函式 【例1 1 】 已知函式 x x x f    ) 1 ln( ) ( ，求證：當 1   x 時，恆有 x xx   ) 1 ln(111 【警示啟迪】如果 ( ) f a 是函式 ( ) f x 在區間上的最大（小）值，則有 ( ) f x  ( ) f a （或 ( ) f x  ( ) f a ），那麼要證不等式，只要求函式的最大值不超過 0 就可得證． 2、作差法建構函式證明 【例 2】已知函式 . ln21) (2x x x f   求證：在區間 ) , 1 (   上，函式 ) (x f 的圖象在函式332) ( x x g  的圖象的下方； 本題首先根據題意構造出一個函式（可以移項，使右邊為零，將移項後的左式設為函式），並利用導數判斷所設函式的單調性，再根據函式單調性的定義，證明要證的不等式。讀者也可以設) ( ) ( ) ( x g x f x F   做一做，深刻體會其中的思想方法。 3、換元法建構函式證明 【例 3】（2010 年，山東卷）證明：對任意的正整數 n，不等式3 21 1) 11ln(n n n   都成立. 【警示啟迪】我們知道，當 ( ) F x 在 [ , ] a b 上單調遞增，則 x a  時，有 ( ) F x ( ) F a  ．如果 ( ) f a ＝( ) a  ，要證明當 x a  時， ( ) f x  ( ) x  ，那麼，只要令 ( ) F x ＝ ( ) f x － ( ) x  ，就可以利用 ( ) F x 的單調增性來推導．也就是說，在 ( ) F x 可導的前提下，只要證明 "( ) F x  ０即可． 4、從條件特徵入手建構函式證明 【例 4】若函式 y = ) (x f 在 R 上可導且滿足不等式 x ) (xf >－ ) (x f 恆成立，且常數 a ， b 滿足 a > b ，求證：． a ) (a f > b ) (b f 【警示啟迪】由條件移項後 ) ( ) ( x f x f x   ，容易想到是一個積的導數，從而可以建構函式 ) ( ) ( x xf x F  ，求導即可完成證明。若題目中的條件改為 ) ( ) ( x f x f x   ，則移項後 ) ( ) ( x f x f x   ，要想到是一個商的導數的分子，平時解題多注意總結。 5、主元法建構函式 例．（全國）已知函式 x x x g x x x f ln ) ( , ) 1 ln( ) (     (1) 求函式 ) (x f 的最大值； (2) 設 b a   0 ,證明 ： 2 ln ) ( )2( 2 ) ( ) ( 0 a bb ag b g a g     . 分析：對於（II）絕大部分的學生都會望而生畏.學生的盲點也主要就在對所給函式用不上.如果能挖掘一下所給函式與所證不等...