龐涓能確定孫臏肯定不知道這兩個數,可以有這樣幾個推論. (A)龐涓手上的數字是5-197之間的數字. (B)龐涓的和數一定不能拆成兩個質數之和,否則就不會有確信.這可以分解為兩點： 龐涓手上不是偶數,只可能是奇數,因為任意大於4偶數能被拆成兩個奇質數之和,這是由歌德巴赫猜想來保證； 並且龐涓手上的奇數不是2+質數.舉例：如果龐涓手上是28,可以拆成11+17,當孫臏拿到了181這個積, 馬上就可以猜出鬼谷子給他的兩個數是11和17,與龐涓肯定孫臏不知道這兩個數相矛盾,因此將所有偶數排除. 舉例：當龐涓手上的數為質數+2時,例如21,而正好是19+2,那樣孫臏手上的數是38,只有一種分解方法2*19, 因此孫臏同樣一開始就能確定這兩個數字. (C)龐涓的和數一定不是大於53的奇數.因為大於53的奇數始終能夠拆成偶數和53（是質數）的乘積, 這個乘積只能唯一的推斷出53和該偶數的乘積,否則就要大於99了.另外97是質數, 同理應該排除97+2到97+98的所有奇數.最後剩下的是99+98的奇數,因為都是最大的數, 孫臏本來就可以推理出來,與孫臏本來不知道的前提相矛盾,自然排除了. 因此由此可以排除超過53以上的所有奇數.舉例：如果龐涓手上的數字是59,那有一種可能是53+6, 當孫臏拿到318時也只有一種分解方式是53*6,因為106*3和159*2中的106和159都大於了99這個最大的數字, 因此這與孫臏事先不能肯定相矛盾.同理可以推理到195=97+98這中間的所有奇數都被排除,因為97是質數. 因此,當龐涓手上是53以上的奇數不會有這種把握孫臏肯定不知道這兩個數. (D)滿足以上條件的這樣的數字僅有10個：11,17,23,27,29,35,37,47,51,53. 2、孫臏知道自己手中的積,並說本來不知道,但現在知道了.意味著, 孫臏看了自己手上的積後分解因式對應的所有組合的和,只可能是上述10個數中的一個. 也就是10個和數拆開的乘積不於其他和數拆開乘積重合的才可能是孫臏的積. 這種積有許多種,關鍵是龐涓的第三句話. 3、龐涓是知道自己手中的和數,當孫臏說了這句話的時候,龐涓說也知道這兩個數字了, 那龐涓手上的和數有一個特點,就是除一個例外的可能積,其他可能的積都無法滿足前面所言, 否則龐涓沒有這種自信.也就是在10個和數中找出積的數組合中只有唯一一對數可以滿足前面的條件. 這時需要結合第二個條件,怎麼利用這個條件呢?以17做為例子： 假設分解為3+14,那麼積為52,而42=3*14=2*21=6*7,對應的和有17,23,13 而當中的17和23均為候選解,也就是說假如孫臏手上的數是42,他就無法知道正確的分解, 所以17不能分解為3+14.類似地可以構造以下這個可以滿足第二條件的分解列表： 11的可能的分(4,7),(3,8),(2,9), 17的可能的分(4,13), 23的可能的分(10,13),(7,16),(4,19), 27的可能的分(13,14),(11,16),(10,17),(9,18),(8,19),(7,20),(5,22),(4,23),(2,25), 29的可能的分(13,16),(12,17),(11,18),(10,19),(8,21),(7,22),(6,23),(4,25),(2,27), 35的可能的分(17,18),(16,19),(14,21),(12,23),(10,25),(9,26),(8,27),(6,29),(4,31),(3,32), 37的可能的分(17,20),(16,21),(10,27),(9,28),(8,29),(6,31),(5,32), 41的可能的分(19,22),(18,23),(17,24),(16,25),(15,26),(14,27),(13,28),(12,29),(10,31), (9,32),(7,34),(4,37),(3,38), 47的可能的分(23,24),(22,25),(20,27),(19,28),(18,29),(17,30),(16,31),(15,32),(13,34), (10,37),(7,40),(6,41),(4,43), 53的可能的分(26,27),(25,28),(24,29),(23,30),(22,31),(21,32),(20,33),(19,34),(18,35), (17,36),(16,37),(15,38),(13,40),(12,41),(10,43),(8,45),(6,47),(5,48), 當中只有17有唯一可行
龐涓能確定孫臏肯定不知道這兩個數,可以有這樣幾個推論. (A)龐涓手上的數字是5-197之間的數字. (B)龐涓的和數一定不能拆成兩個質數之和,否則就不會有確信.這可以分解為兩點： 龐涓手上不是偶數,只可能是奇數,因為任意大於4偶數能被拆成兩個奇質數之和,這是由歌德巴赫猜想來保證； 並且龐涓手上的奇數不是2+質數.舉例：如果龐涓手上是28,可以拆成11+17,當孫臏拿到了181這個積, 馬上就可以猜出鬼谷子給他的兩個數是11和17,與龐涓肯定孫臏不知道這兩個數相矛盾,因此將所有偶數排除. 舉例：當龐涓手上的數為質數+2時,例如21,而正好是19+2,那樣孫臏手上的數是38,只有一種分解方法2*19, 因此孫臏同樣一開始就能確定這兩個數字. (C)龐涓的和數一定不是大於53的奇數.因為大於53的奇數始終能夠拆成偶數和53（是質數）的乘積, 這個乘積只能唯一的推斷出53和該偶數的乘積,否則就要大於99了.另外97是質數, 同理應該排除97+2到97+98的所有奇數.最後剩下的是99+98的奇數,因為都是最大的數, 孫臏本來就可以推理出來,與孫臏本來不知道的前提相矛盾,自然排除了. 因此由此可以排除超過53以上的所有奇數.舉例：如果龐涓手上的數字是59,那有一種可能是53+6, 當孫臏拿到318時也只有一種分解方式是53*6,因為106*3和159*2中的106和159都大於了99這個最大的數字, 因此這與孫臏事先不能肯定相矛盾.同理可以推理到195=97+98這中間的所有奇數都被排除,因為97是質數. 因此,當龐涓手上是53以上的奇數不會有這種把握孫臏肯定不知道這兩個數. (D)滿足以上條件的這樣的數字僅有10個：11,17,23,27,29,35,37,47,51,53. 2、孫臏知道自己手中的積,並說本來不知道,但現在知道了.意味著, 孫臏看了自己手上的積後分解因式對應的所有組合的和,只可能是上述10個數中的一個. 也就是10個和數拆開的乘積不於其他和數拆開乘積重合的才可能是孫臏的積. 這種積有許多種,關鍵是龐涓的第三句話. 3、龐涓是知道自己手中的和數,當孫臏說了這句話的時候,龐涓說也知道這兩個數字了, 那龐涓手上的和數有一個特點,就是除一個例外的可能積,其他可能的積都無法滿足前面所言, 否則龐涓沒有這種自信.也就是在10個和數中找出積的數組合中只有唯一一對數可以滿足前面的條件. 這時需要結合第二個條件,怎麼利用這個條件呢?以17做為例子： 假設分解為3+14,那麼積為52,而42=3*14=2*21=6*7,對應的和有17,23,13 而當中的17和23均為候選解,也就是說假如孫臏手上的數是42,他就無法知道正確的分解, 所以17不能分解為3+14.類似地可以構造以下這個可以滿足第二條件的分解列表： 11的可能的分(4,7),(3,8),(2,9), 17的可能的分(4,13), 23的可能的分(10,13),(7,16),(4,19), 27的可能的分(13,14),(11,16),(10,17),(9,18),(8,19),(7,20),(5,22),(4,23),(2,25), 29的可能的分(13,16),(12,17),(11,18),(10,19),(8,21),(7,22),(6,23),(4,25),(2,27), 35的可能的分(17,18),(16,19),(14,21),(12,23),(10,25),(9,26),(8,27),(6,29),(4,31),(3,32), 37的可能的分(17,20),(16,21),(10,27),(9,28),(8,29),(6,31),(5,32), 41的可能的分(19,22),(18,23),(17,24),(16,25),(15,26),(14,27),(13,28),(12,29),(10,31), (9,32),(7,34),(4,37),(3,38), 47的可能的分(23,24),(22,25),(20,27),(19,28),(18,29),(17,30),(16,31),(15,32),(13,34), (10,37),(7,40),(6,41),(4,43), 53的可能的分(26,27),(25,28),(24,29),(23,30),(22,31),(21,32),(20,33),(19,34),(18,35), (17,36),(16,37),(15,38),(13,40),(12,41),(10,43),(8,45),(6,47),(5,48), 當中只有17有唯一可行