大家有沒有看過電影《決勝21點》？ 這是一部美國電影，講述了幾個數學天才少年大鬧賭城拉斯維加斯的故事。

在這部電影中描述了一個遊戲：三門問題。

遊戲規則

遊戲規則是：在玩家面前有三扇門，其中一扇門後面有汽車，另外兩扇門後面有羊。 玩家並不清楚每扇門後面有什麼，他會隨機選定一扇門，從而獲得門後的獎品，當然，玩家更希望獲得汽車。

為了讓遊戲更有樂趣，在玩家指定一扇門之後，清楚門後面是什麼獎品的主持人會開啟另外一扇門，主持人會保證這扇門既不是玩家指定的，門後也不是玩家想要的汽車。

然後，主持人會問玩家一個問題：你是否要改變你的選擇，去選擇另一扇沒有開啟的門？

雖然這是一個很簡單的遊戲，很多人會覺得此時換門與不換門，中獎機率都是50%。但是數學家們卻不這麼認為。經過機率計算，此時玩家如果更換選定的門，拿到汽車的機率會提高一倍。其實這並不難理解。

中獎機率

首先我們假定玩家不換門，而是自始至終認定一扇門，那麼主持人開哪扇門都與玩家無關。在一共三扇門中選出中獎的那一扇門，機率為1/3.

1. 假如玩家最初選定的是1號門。此時主持人會隨機開啟2、3兩扇門中的一扇，例如開啟2號門。此時玩家更換選擇，就會變為選定3號門，從而無法中獎獲得汽車。同樣，如果主持人開啟3號門，玩家更換選擇就是指定2號門，依然無法獲得汽車。

2. 假如玩家最初選定的是2號門，此時主持人不能開啟1號門，因為1號門背後是汽車。主持人會開啟3號門給玩家看。玩家更換選擇，會指定1號門，從而獲得汽車大獎。

3. 如果玩家最初選定的是3號門，由於車在1號門後，主持人必須開啟2號門給玩家看。玩家更換選擇到1號門，從而獲得汽車大獎。

綜上所述，如果玩家更換選擇，那麼在全部三種情況中，1種情況玩家錯過汽車，2種情況玩家獲得汽車。中將機率為2/3.

我們也可以把全部的情況列表如下，同樣會發現：如果堅持不換，3種情況中有1種可以獲得汽車。如果換門，3種情況中有兩種可以獲得汽車。

原因是什麼

為什麼更換選擇會造成中獎率的提高呢？

這是因為：在最初玩家選擇的時候，三扇門中只有1箇中獎，因此中獎的機率為1/3，不中獎的機率為2/3，或者說獎品在另外兩扇門後的機率為2/3。

現在主持人去掉了一個錯誤的答案，那麼另外兩扇門後2/3的中獎機率就濃縮到其中一扇門上了。如果我們更換了選擇，中獎機率就提高了。

還能再給力一點嗎？

我們不妨更誇張一些：如果一共有100扇門，只有一扇門背後有獎品。我們隨機指定了一扇門，那麼中獎機率有1/100，另外99/100的中獎可能在另外99扇門後。

然後主持人打開了另外98扇沒有獎品的門，相當於去掉了98個錯誤，這樣99/100的中獎機率就集中在餘下的那一個既沒有被我選定，也沒有被主持人開啟的門裡了。此時我們肯定要更換我們的選擇。

三門問題還有很多變形，原理都差不多。更換門之所以能夠提高中獎率，是因為好心的主持人幫我們去掉了錯誤的選項。

如果我們在生活中遇到了類似的問題，例如開發新產品有3種選擇，我們確信有且只有一種選擇可以獲得成功。但是，我們完全無法判斷哪種更好，於是隨機選擇了一種。還沒等我們開發，另外一家倒黴蛋公司剛好開發了第二種產品，而且惡評如潮。此時我們果斷更換到第三種模式，會大大提高我們的成功率。

三門問題比較複雜，先放一邊。我們來看個簡單的問題，左輪手槍俄羅斯輪盤賭～“一發子彈，輪流扣動扳機”。抽象化模型，比較簡單可以得出，五發彈倉時，各順序中槍的機率都是1/5。有人覺得不可思議麼？第一槍有子彈的機率肯定是1/5不解釋。第二槍的機率是多少？（1/5）*0+（4/5）*（1/4）=1/5。解釋一下，就是綜合兩種情況：一是1/5的機率第一槍已經響了，那第二槍不可能有子彈；二是4/5的機率第一槍沒響，那第二槍有子彈是剩下四選一的事。也就是說，有的人想，我往後排，前面要是響了後面就倖免於難了。但是，前面要沒響後面中的機率可是越積累越大喲～所以另外一些人會表現出往前衝，不願受折磨，早死早託生。可惜，機率統計科學地告訴我們，在不作弊的條件下，手槍放桌上，到底子彈在第幾發已經確定，選哪個機率都一樣。

討論完手上輪盤賭再回來說題目。這兩個之間的區別首先在於（記住這裡是首先），你選完，後面那個選擇是否“公平”。前面說的手槍輪盤是所謂“公平”，所以調整選擇不改變機率。但是三門問題是，第二個做選擇的主持人是知道答案而且確定選擇羊門（空槍），去掉錯誤答案。那麼在這種條件下，後面是否調整選擇就會成為新的條件下的抉擇。

回過頭再來說說另一個區別（對應剛才的首先）。我們還要注意，主持人開啟第二道門時，之前選擇的結果並沒有進行驗證。這一點是非常重要的。你的決策是計算機率，不告訴你第一次的結果對統計是沒有意義的。簡而言之，你選沒選過第一次一點都不影響故事的發展。

把這兩點都考慮完，我要告訴大家結論了。三門問題，拿到汽車的預期是1/2。也就是說，刨除主持人開啟的羊門外，二選一。

但是，大家會問為什麼要故弄玄虛。不告訴第一次選擇結果而又設計這一環節，表面上好像是增加懸念，引人入勝。其實在心理學上，會降低中獎機率。客觀來講，不論你改不改選擇都是五五開的機率。主觀呢？主持人表情、語氣、小動作，會不會給你暗示。當然，你是刑警特工啦確實可以判斷是否在撒謊，進而提升中獎機率。但是大多數人都沒有受過專業訓練，很容易被幹擾而堅持錯誤甚至棄車選羊。

綜上所述，數學模型中三門問題中獎預期是1/2。實際操作中由於人為主觀因素肯定會與之偏離。當然，正偏離還是負偏離要看活動官方的意圖啦。

絞盡腦汁還是覺得解釋得不通俗，只好請大家將就一下了。

為什麼檢驗結果能影響機率？

舉個例子，盒子裡有1個硬幣A正面機率是1/3。另外還有1個硬幣B，正面機率2/3。從盒子裡取出一個硬幣扔了一下發現是反面。請問這個硬幣是B的機率是多大？

我做了張小圖，以說明我們要找的機率實際上是用紅線圈出來的部分裡，硬幣B所佔的比例。所以，答案就是1/3。這也符合我們的直覺。B出反面的可能性小，出反面的時候多半是A。

由於是尋找滿足某種條件時的事件機率，事件的範圍會隨條件改變，所以，看似不會改變的事件機率，實際上發生了變化。接下來，說說三門問題。

三門問題的解釋

三門問題的故意用一個複雜的過程把人搞懵了。我們重新表述一下問題吧。有人給了你兩枚硬幣，其中A正面(有車)的機率是1/3,B正面的機率2/3。你挑了一枚丟擲了反面(沒車)。到這裡跟例子是一樣的，可接下來的問題卻不大一樣，你不關心選的是哪一枚，只想知道如果再拋一次這枚硬幣正面(有車)的機率是多少。由於這枚硬幣可能是A也可能是B，所以這個機率是A和B有車的機率的總和。分別算出A和B被選中機率，再分別乘以A的有車機率和B的有車機率就可以知道了。這次我用公式來算一下。有點枯燥見諒哈。

P(A|沒車)=P(沒車|A)*P(A)/P(沒車)

P(沒車|A)=2/3 P(A)=1/2 P(沒車)=P(A)*P(沒車|A)+P(B)*P(沒車|B)=(1/2)*(2/3)+(1/2)*(1/3)=1/2P(A|沒車)=(2/3)*(1/2)/(1/2)=2/3

P(B|沒車)=P(沒車|B)*P(B)/P(沒車)

P(沒車|B)=1/3 P(B)=1/2 P(沒車)=P(A)*P(沒車|A)+P(B)*P(沒車|B)=(1/2)*(2/3)+(1/2)*(1/3)=1/2 P(B|沒車)=(1/3)*(1/2)/(1/2)=1/3

結果跟前面的例子一樣。現在計算一下第三個門有車的機率。

P(有車3|沒車)=P(A|沒車)*P(有車3|A)+P(B|沒車)*P(有車3|B)=(2/3)*(1/2)+(1/3)*1=2/3擴充套件到100個門會怎樣呢？

同樣分A和B兩組，A組的有車機率是1%,B組的有車機率是99%。驗證結果是98/98。有兩件事情比較蹊蹺，要特別注意:

選出來車是A組的還是B組的跟選擇的數量無關，是個隨機事件。三門問題中故意用選擇的結果誘導別人誤以為觀眾選了A而主持人選了B。最後一扇門的機率從獨立機率變成條件機率的同時，第一扇門的機率也變成了條件機率。三門問題中獨立機率的數值剛好等於條件機率的數值，這是另外一個容易被誤解的地方。

廢話不多說了，開始計算吧。

P(A|沒車)=99/100

P(B|沒車)=1/100

P(有100|沒車)=(99/100)*(1/2)+(1/100)*1=50.5%

可見，門的數量不多時，最後一扇門有車的機率很大，隨著門的增加這種差距就變小了。