如果兩個平面沒有公共點，則稱這兩個平面平行
定理1
如果兩個平面垂直於同一條直線，那麼這兩個平面平行。
已知α⊥l，β⊥l。求證α∥β
證明：假設它們不平行，那麼它們相交，設交線為m。
設l與α的垂足為A，與β的垂足為B，在m上任意取一點P，連線PA、PB。
∵l⊥α，AP偊? ∴l⊥AP
同理，l⊥BP
由於P和l構成一個平面，在這個新的平面上經過P就有兩條直線AP、BP與l垂直，與垂直定理矛盾。
∴假設不成立，α∥β
推論
如果兩個平面的垂線平行，那麼這兩個平面平行。（可理解為法向量平行的平面平行）
證明：由線面垂直的性質可知兩條平行線與兩個平面都垂直，運用定理1可知面面平行。
定理1及其推論是向量法證明面面平行的基礎，如果兩個平面的法向量平行或相等，那麼這兩個平面平行。
定理2
如果一個平面內有兩條相交直線與另一個平面平行，那麼這兩個平面平行。
幾何語言：a偊粒琤偊粒襛∩b=A，a∥β，b∥β。則α∥β。
反證法證明：假設這兩個平面不平行，那麼它們相交，設交線為l。
∵a∥β
∴a與β無交點
同理，b與β無交點
∵l是兩個平面的交線，l偊? ∴a與l無交點，b與l無交點，那麼它們平行或異面。
又∵a偊粒琤偊粒琹偊粒此遣灰烀? ∴a∥l，b∥l
∴a∥b
這與已知條件a∩b=A矛盾，因此假設不成立，α∥β
向量法證明：設直線a，b的方向向量為a，b，平面β的法向量為p。
∵a∥β，b∥β
∴a⊥p，b⊥p，即a·p=0，b·p=0
∵a，b是α內兩條相交直線
∴設有任一向量c偊粒萜矯嫦蛄炕徑ɡ碸芍嬖諞歡雜行蚴裕▁,y）使得c=xa+yb
那麼p·c=p·（xa+yb）=xp·a+yp·b=0
即p⊥c
由c的任意性可知p與α內任一向量都垂直，即p也是α的法向量。
∴α∥β
定理3
如果一個平面內有兩條相交直線分別與另一個平面內的兩條相交直線平行，那麼這兩個平面平行。
幾何語言：a偊粒琤偊粒襛∩b=A。c偊攏琩偊攏襝∩d=B。a∥c，b∥d，則α∥β
∵a∥c，m∥c
∴a∥m
由於兩條平行直線確定一個平面，l在a與m確定的平面上（因為l經過A和C，而A∈a，C∈m）：
∵l⊥m
∴l⊥a
同理l⊥b
∵a∩b=A，a偊粒琤偊? ∴l⊥α
∵l⊥β
∴α∥β（定理1）
當l與β的垂足是B時，則無需經過垂足作c、d的平行線這一步，後面證法完全相同。
如果兩個平面沒有公共點，則稱這兩個平面平行
定理1
如果兩個平面垂直於同一條直線，那麼這兩個平面平行。
已知α⊥l，β⊥l。求證α∥β
證明：假設它們不平行，那麼它們相交，設交線為m。
設l與α的垂足為A，與β的垂足為B，在m上任意取一點P，連線PA、PB。
∵l⊥α，AP偊? ∴l⊥AP
同理，l⊥BP
由於P和l構成一個平面，在這個新的平面上經過P就有兩條直線AP、BP與l垂直，與垂直定理矛盾。
∴假設不成立，α∥β
推論
如果兩個平面的垂線平行，那麼這兩個平面平行。（可理解為法向量平行的平面平行）
證明：由線面垂直的性質可知兩條平行線與兩個平面都垂直，運用定理1可知面面平行。
定理1及其推論是向量法證明面面平行的基礎，如果兩個平面的法向量平行或相等，那麼這兩個平面平行。
定理2
如果一個平面內有兩條相交直線與另一個平面平行，那麼這兩個平面平行。
幾何語言：a偊粒琤偊粒襛∩b=A，a∥β，b∥β。則α∥β。
反證法證明：假設這兩個平面不平行，那麼它們相交，設交線為l。
∵a∥β
∴a與β無交點
同理，b與β無交點
∵l是兩個平面的交線，l偊? ∴a與l無交點，b與l無交點，那麼它們平行或異面。
又∵a偊粒琤偊粒琹偊粒此遣灰烀? ∴a∥l，b∥l
∴a∥b
這與已知條件a∩b=A矛盾，因此假設不成立，α∥β
向量法證明：設直線a，b的方向向量為a，b，平面β的法向量為p。
∵a∥β，b∥β
∴a⊥p，b⊥p，即a·p=0，b·p=0
∵a，b是α內兩條相交直線
∴設有任一向量c偊粒萜矯嫦蛄炕徑ɡ碸芍嬖諞歡雜行蚴裕▁,y）使得c=xa+yb
那麼p·c=p·（xa+yb）=xp·a+yp·b=0
即p⊥c
由c的任意性可知p與α內任一向量都垂直，即p也是α的法向量。
∴α∥β
定理3
如果一個平面內有兩條相交直線分別與另一個平面內的兩條相交直線平行，那麼這兩個平面平行。
幾何語言：a偊粒琤偊粒襛∩b=A。c偊攏琩偊攏襝∩d=B。a∥c，b∥d，則α∥β
∵a∥c，m∥c
∴a∥m
由於兩條平行直線確定一個平面，l在a與m確定的平面上（因為l經過A和C，而A∈a，C∈m）：
∵l⊥m
∴l⊥a
同理l⊥b
∵a∩b=A，a偊粒琤偊? ∴l⊥α
∵l⊥β
∴α∥β（定理1）
當l與β的垂足是B時，則無需經過垂足作c、d的平行線這一步，後面證法完全相同。