1．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展開式的各項係數之和為( )A．2n－1 B．2n－1 C．2n＋1－1 D．2n[答案] C[解析] 解法一：令x＝1得，1＋2＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－1.解法二：令n＝1，知各項係數和為3，排除A、B、D，選C.2．(2013·遼師大附中高二期中)(1＋x)2n(nN*)的展開式中，係數最大的項是( )A．第＋1項 B．第n項C．第n＋1項 D．第n項與第n＋1項[答案] C[解析] 展開式中共有2n＋1項，中間一項為第n＋1項，故選C.3．若n展開式中的第6項的係數最大，則不含x的項等於( )A．210 B．120 C．461 D．416[答案] A[解析] 由已知得，第6項應為中間項，則n＝10.Tr＋1＝C·(x3)10－r·r＝C·x30－5r.令30－5r＝0，得r＝6.T7＝C＝210.4．設(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，則a0，a1，…，a8中奇數的個數為( )A．2 B．3 C．4 D．5[答案] A[解析] a0＝a8＝C＝1，a1＝a7＝C＝8，a2＝a6＝C＝28，a3＝a5＝C＝56，a4＝C＝70，奇數的個數是2，故選A.5．(2013·遼師大附中高二期中)若9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C是11的倍數，則自然數n為( )A．奇數 B．偶數C．3的倍數 D．被3除餘1的數[答案] A[解析] 9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C＝(9n＋1＋C9n＋…＋C92＋C9＋C)－＝(9＋1)n＋1－＝(10n＋1－1)是11的倍數，n＋1為偶數，n為奇數．6.8的展開式中x4項的係數是( )A．16 B．70 C．560 D．1120[答案] D[解析] 考查二項式定理的展開式．設第r＋1項含有x4，則Tr＋1＝C(x2)8－r(2x－1)r＝C·2r·x16－3r，16－3r＝4，即r＝4，所以x4項的係數為C24＝1120.二、填空題7．若n展開式的各項係數之和為32，則n＝________，其展開式中的常數項為________(用數字作答)．[答案] 5 10[解析] 令x＝1，得2n＝32，得n＝5，則Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·x10－5r，令10－5r＝0，r＝2.故常數項為T3＝10.8．若9的展開式中x3的係數是－84，則a＝________.[答案] 1[解析] 由Tr＋1＝Cx9－rr＝(－a)rCx9－2r得9－2r＝3，得r＝3，x3的係數為(－a)3C＝－84，解得a＝1.9．在二項式(＋)n的展開式中，各項係數之和為A，各項二項式係數之和為B，且A＋B＝72，則n＝________.[答案] 3[解析] 由題意可知，B＝2n，A＝4n，由A＋B＝72，得4n＋2n＝72，2n＝8，n＝3.三、解答題10．試判斷7777－1能否被19整除？[解析] 7777－1＝(76＋1)77－1＝7677＋C·7676＋C·7675＋…＋C·76＋C－1＝76(7676＋C7675＋C7674＋…＋C)由於76能被19整除，因此7777－1能被19整除．[點評] 在利用二項式定理證明整除問題或求餘數的問題時要進行合理的變形，常用的變形手段與技巧是拆數，往往是將冪底數寫成兩數之和，其中一數是除數或其倍數，使被除式(數)展開後的每一項都含有除式的因式.能力拓展提升一、選擇題11．已知等差數列{an}的通項公式為an＝3n－5，則(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展開式中含x4項的係數是該數列的( )A．第9項 B．第10項C．第19項 D．第20項[答案] D[解析] (1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7展開式中含x4項的係數是C·11＋C·12＋C·13＝5＋15＋35＝55，由3n－5＝55得n＝20，故選D.12．若n為正奇數，則7n＋C·7n－1＋C·7n－2＋…＋C·7被9除所得的餘數是( )A．0 B．2 C．7 D．8[答案] C[解析] 原式＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C·9n－1＋C·9n－2－…＋C·9(－1)n－1＋(－1)n－1，n為正奇數，(－1)n－1＝－2＝－9＋7，則餘數為7.13．已知(x－)8展開式中常數項為1120，其中實數a是常數，則展開式中各項係數的和是( )A．28 B．38 C．1或38 D．1或28[答案] C[分析] 令Tr＋1項中x的指數為0可求得常數a的值；在二項展開式中當x＝1時即得各項係數的和．[解析] Tr＋1＝Cx8－r(－)r＝(－a)r·C·x8－2r，令8－2r＝0得r＝4，由條件知，a4C＝1120，a＝±2，令x＝1得展開式各項係數的和為1或38.14．(2013·長春十一高中高二期中)若a為正實數，且(ax－)2014的展開式中各項係數的和為1，則該展開式第2014項為( )A. B．－C. D．－[答案] D[解析]由條件知，(a－1)2014＝1，a－1＝±1，a為正實數，a＝2.展開式的第2014項為：T2014＝C·(2x)·(－)2013＝－2C·x－2012＝－4028x－2012，故選D.二、填空題15．(2013·長春市十一高中高二期中)觀察下列等式：(1＋x＋x2)1＝1＋x＋x2，(1＋x＋x2)2＝1＋2x＋3x2＋2x3＋x4，(1＋x＋x2)3＝1＋3x＋6x2＋7x3＋6x4＋3x5＋x6，(1＋x＋x2)4＝1＋4x＋10x2＋16x3＋19x4＋16x5＋10x6＋4x7＋x8，……由以上等式推測：對於nN*，若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，則a2＝________.[答案] [解析] 觀察給出各展開式中x2的係數：1,3,6,10，據此可猜測a2＝.16．(2013·福州文博中學高二期末)若對於任意的實數x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，則a2的值為________．[答案] 6[解析] 令f(x)＝x3，則a0＝f(2)＝8a0＋a1＋a2＋a3＝f(3)＝27a0－a1＋a2－a3＝f(1)＝1②＋得，a0＋a2＝14①代入得，a2＝6.三、解答題17．設(3x－1)8＝a8x8＋a7x7＋…＋a1x＋a0.求：(1)a8＋a7＋…＋a1；(2)a8＋a6＋a4＋a2＋a0.[解析] 令x＝0，得a0＝1.(1)令x＝1得(3－1)8＝a8＋a7＋…＋a1＋a0，∴a8＋a7＋…＋a2＋a1＝28－a0＝256－1＝255.(2)令x＝－1得(－3－1)8＝a8－a7＋a6－…－a1＋a0.①＋得28＋48＝2(a8＋a6＋a4＋a2＋a0)，a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝(28＋48)＝32 896.18．在(－)n的展開式中，第6項為常數項．(1)求n；(2)求含x2的項的係數；(3)求展開式中所有的有理項．[解析] (1)Tr＋1＝C·()n－r·(－)r＝C·(x)n－r·(－·x－)r＝(－)r·C·x.∵第6項為常數項，r＝5時有＝0，n＝10.(2)令＝2，得r＝2，所求的係數為C(－)2＝.(3)根據通項公式，由題意得：令＝k(kZ)，則10－2r＝3k，即r＝＝5－k.0≤r≤10，0≤5－k≤10，－3≤k≤3，又k應為偶數，k可取2,0，－2，r＝2,5,8，第3項、第6項與第9項為有理項．它們分別為C·(－)2·x2，C(－)5，C·(－)8·x－2.即x2，－和.1．設(5x－)n的展開式中各項係數之和為M，二項式係數之和為N，若M－N＝240，則展開式中x的係數為( )A．－150 B．150 C．300 D．－300[答案] B[解析]令x＝1，得M＝4n，又N＝2n，故4n－2n＝240.解得n＝4.展開式中的通項為Tr＋1＝C(5x)4－r(－)r＝(－1)r54－rCx4－ r，令4－r＝1得r＝2，當r＝2時，展開式中x的係數為C52＝150.故選B.2．若二項式(x2－)n的展開式中二項式係數的和是64，則展開式中的常數項為( )A．－240 B．－160 C．160 D．240[答案] D[解析] 由條件知2n＝64，n＝6，Tr＋1＝C(x2)6－r·(－)r＝(－1)r·2r·Cx12－3r令12－3r＝0得r＝4，常數項為T5＝24·C＝240.3．設(1－2x)2010＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2010x2010(xR)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2010的值．(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2009的值．(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2010|的值．[解析] (1)令x＝1，得：a0＋a1＋a2＋…＋a2010＝(－1)2010＝1(2)令x＝－1，得：a0－a1＋a2－…＋a2010＝32010與式聯立，－得：2(a1＋a3＋…＋a2009)＝1－32010，a1＋a3＋a5＋…＋a2009＝.(3)Tr＋1＝C·12010－r·(－2x)r＝(－1)r·C·(2x)r，a2k－1<0(kN*)，a2k>0(kN*)．|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2010|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2010，所以令x＝－1得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a2010＝32010.
1．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展開式的各項係數之和為( )A．2n－1 B．2n－1 C．2n＋1－1 D．2n[答案] C[解析] 解法一：令x＝1得，1＋2＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－1.解法二：令n＝1，知各項係數和為3，排除A、B、D，選C.2．(2013·遼師大附中高二期中)(1＋x)2n(nN*)的展開式中，係數最大的項是( )A．第＋1項 B．第n項C．第n＋1項 D．第n項與第n＋1項[答案] C[解析] 展開式中共有2n＋1項，中間一項為第n＋1項，故選C.3．若n展開式中的第6項的係數最大，則不含x的項等於( )A．210 B．120 C．461 D．416[答案] A[解析] 由已知得，第6項應為中間項，則n＝10.Tr＋1＝C·(x3)10－r·r＝C·x30－5r.令30－5r＝0，得r＝6.T7＝C＝210.4．設(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，則a0，a1，…，a8中奇數的個數為( )A．2 B．3 C．4 D．5[答案] A[解析] a0＝a8＝C＝1，a1＝a7＝C＝8，a2＝a6＝C＝28，a3＝a5＝C＝56，a4＝C＝70，奇數的個數是2，故選A.5．(2013·遼師大附中高二期中)若9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C是11的倍數，則自然數n為( )A．奇數 B．偶數C．3的倍數 D．被3除餘1的數[答案] A[解析] 9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C＝(9n＋1＋C9n＋…＋C92＋C9＋C)－＝(9＋1)n＋1－＝(10n＋1－1)是11的倍數，n＋1為偶數，n為奇數．6.8的展開式中x4項的係數是( )A．16 B．70 C．560 D．1120[答案] D[解析] 考查二項式定理的展開式．設第r＋1項含有x4，則Tr＋1＝C(x2)8－r(2x－1)r＝C·2r·x16－3r，16－3r＝4，即r＝4，所以x4項的係數為C24＝1120.二、填空題7．若n展開式的各項係數之和為32，則n＝________，其展開式中的常數項為________(用數字作答)．[答案] 5 10[解析] 令x＝1，得2n＝32，得n＝5，則Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·x10－5r，令10－5r＝0，r＝2.故常數項為T3＝10.8．若9的展開式中x3的係數是－84，則a＝________.[答案] 1[解析] 由Tr＋1＝Cx9－rr＝(－a)rCx9－2r得9－2r＝3，得r＝3，x3的係數為(－a)3C＝－84，解得a＝1.9．在二項式(＋)n的展開式中，各項係數之和為A，各項二項式係數之和為B，且A＋B＝72，則n＝________.[答案] 3[解析] 由題意可知，B＝2n，A＝4n，由A＋B＝72，得4n＋2n＝72，2n＝8，n＝3.三、解答題10．試判斷7777－1能否被19整除？[解析] 7777－1＝(76＋1)77－1＝7677＋C·7676＋C·7675＋…＋C·76＋C－1＝76(7676＋C7675＋C7674＋…＋C)由於76能被19整除，因此7777－1能被19整除．[點評] 在利用二項式定理證明整除問題或求餘數的問題時要進行合理的變形，常用的變形手段與技巧是拆數，往往是將冪底數寫成兩數之和，其中一數是除數或其倍數，使被除式(數)展開後的每一項都含有除式的因式.能力拓展提升一、選擇題11．已知等差數列{an}的通項公式為an＝3n－5，則(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展開式中含x4項的係數是該數列的( )A．第9項 B．第10項C．第19項 D．第20項[答案] D[解析] (1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7展開式中含x4項的係數是C·11＋C·12＋C·13＝5＋15＋35＝55，由3n－5＝55得n＝20，故選D.12．若n為正奇數，則7n＋C·7n－1＋C·7n－2＋…＋C·7被9除所得的餘數是( )A．0 B．2 C．7 D．8[答案] C[解析] 原式＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C·9n－1＋C·9n－2－…＋C·9(－1)n－1＋(－1)n－1，n為正奇數，(－1)n－1＝－2＝－9＋7，則餘數為7.13．已知(x－)8展開式中常數項為1120，其中實數a是常數，則展開式中各項係數的和是( )A．28 B．38 C．1或38 D．1或28[答案] C[分析] 令Tr＋1項中x的指數為0可求得常數a的值；在二項展開式中當x＝1時即得各項係數的和．[解析] Tr＋1＝Cx8－r(－)r＝(－a)r·C·x8－2r，令8－2r＝0得r＝4，由條件知，a4C＝1120，a＝±2，令x＝1得展開式各項係數的和為1或38.14．(2013·長春十一高中高二期中)若a為正實數，且(ax－)2014的展開式中各項係數的和為1，則該展開式第2014項為( )A. B．－C. D．－[答案] D[解析]由條件知，(a－1)2014＝1，a－1＝±1，a為正實數，a＝2.展開式的第2014項為：T2014＝C·(2x)·(－)2013＝－2C·x－2012＝－4028x－2012，故選D.二、填空題15．(2013·長春市十一高中高二期中)觀察下列等式：(1＋x＋x2)1＝1＋x＋x2，(1＋x＋x2)2＝1＋2x＋3x2＋2x3＋x4，(1＋x＋x2)3＝1＋3x＋6x2＋7x3＋6x4＋3x5＋x6，(1＋x＋x2)4＝1＋4x＋10x2＋16x3＋19x4＋16x5＋10x6＋4x7＋x8，……由以上等式推測：對於nN*，若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，則a2＝________.[答案] [解析] 觀察給出各展開式中x2的係數：1,3,6,10，據此可猜測a2＝.16．(2013·福州文博中學高二期末)若對於任意的實數x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，則a2的值為________．[答案] 6[解析] 令f(x)＝x3，則a0＝f(2)＝8a0＋a1＋a2＋a3＝f(3)＝27a0－a1＋a2－a3＝f(1)＝1②＋得，a0＋a2＝14①代入得，a2＝6.三、解答題17．設(3x－1)8＝a8x8＋a7x7＋…＋a1x＋a0.求：(1)a8＋a7＋…＋a1；(2)a8＋a6＋a4＋a2＋a0.[解析] 令x＝0，得a0＝1.(1)令x＝1得(3－1)8＝a8＋a7＋…＋a1＋a0，∴a8＋a7＋…＋a2＋a1＝28－a0＝256－1＝255.(2)令x＝－1得(－3－1)8＝a8－a7＋a6－…－a1＋a0.①＋得28＋48＝2(a8＋a6＋a4＋a2＋a0)，a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝(28＋48)＝32 896.18．在(－)n的展開式中，第6項為常數項．(1)求n；(2)求含x2的項的係數；(3)求展開式中所有的有理項．[解析] (1)Tr＋1＝C·()n－r·(－)r＝C·(x)n－r·(－·x－)r＝(－)r·C·x.∵第6項為常數項，r＝5時有＝0，n＝10.(2)令＝2，得r＝2，所求的係數為C(－)2＝.(3)根據通項公式，由題意得：令＝k(kZ)，則10－2r＝3k，即r＝＝5－k.0≤r≤10，0≤5－k≤10，－3≤k≤3，又k應為偶數，k可取2,0，－2，r＝2,5,8，第3項、第6項與第9項為有理項．它們分別為C·(－)2·x2，C(－)5，C·(－)8·x－2.即x2，－和.1．設(5x－)n的展開式中各項係數之和為M，二項式係數之和為N，若M－N＝240，則展開式中x的係數為( )A．－150 B．150 C．300 D．－300[答案] B[解析]令x＝1，得M＝4n，又N＝2n，故4n－2n＝240.解得n＝4.展開式中的通項為Tr＋1＝C(5x)4－r(－)r＝(－1)r54－rCx4－ r，令4－r＝1得r＝2，當r＝2時，展開式中x的係數為C52＝150.故選B.2．若二項式(x2－)n的展開式中二項式係數的和是64，則展開式中的常數項為( )A．－240 B．－160 C．160 D．240[答案] D[解析] 由條件知2n＝64，n＝6，Tr＋1＝C(x2)6－r·(－)r＝(－1)r·2r·Cx12－3r令12－3r＝0得r＝4，常數項為T5＝24·C＝240.3．設(1－2x)2010＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2010x2010(xR)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2010的值．(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2009的值．(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2010|的值．[解析] (1)令x＝1，得：a0＋a1＋a2＋…＋a2010＝(－1)2010＝1(2)令x＝－1，得：a0－a1＋a2－…＋a2010＝32010與式聯立，－得：2(a1＋a3＋…＋a2009)＝1－32010，a1＋a3＋a5＋…＋a2009＝.(3)Tr＋1＝C·12010－r·(－2x)r＝(－1)r·C·(2x)r，a2k－1<0(kN*)，a2k>0(kN*)．|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2010|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2010，所以令x＝－1得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a2010＝32010.