史學界公認宋朝滅亡是德祐二年（1276年）2月4日，蒙元軍攻佔南宋行在臨安（今杭州），俘5歲的南宋皇帝恭宗趙隰。此後，主戰派大臣陸秀夫、文天祥和張世傑等人連續擁立了兩個幼小的皇帝（端宗、幼主），蒙元對小皇帝窮追不捨，宋廷不斷南逃，到了年底只能逃到船上建立海上行朝，直至1279年3月19日崖山之戰失敗，隨著幼主隨陸秀夫及趙宋皇族八百餘人集體跳海自盡，從此再無抵抗勢力存在。
如果題主指的宋朝滅亡以臨安投降為準，那麼當時尚有蘇北、福建、江西、兩廣、四川的大片地區仍在抵抗。
如果題主指的是崖山之戰為準，那麼就沒有任何一個地方了（有種說法是四川凌霄城1288年才被元軍攻破，但沒有找到資料）。即使前面幾位回答者所說的釣魚城，也是在崖山之戰前——1279年元月因為糧盡援絕就投降了。
既然題主提到釣魚城還在堅守，那麼應該是以臨安投降為準。當時大多數地區聞風而降，堅守較久的除了釣魚城之外，還有下列幾個：
元滅南宋圖，可見長江以南抵抗甚少，只有川東和江西比較集中
臨安投降之時，元軍正以重兵圍攻重慶，在長江、嘉陵江中架起浮樑，阻絕外援，企圖將其困死。鎮守釣魚城的四川制置副使、重慶知府張珏為解圍，於1276年六月派部將趙安、王世昌等收復瀘州，威脅元軍側後。元軍被迫逐漸從重慶撤退，轉而圍攻瀘州。
張珏銅像
同年十二月，趙定應迎接張珏進入重慶任四川制置使，派部將張萬、程聰領兵收復涪州（今重慶涪陵），重慶元兵全部退走。張珏調史訓忠、趙安等援救瀘州。又派張萬到夔州，聯合忠、涪州的軍隊攻克石門及巴巫寨，獲取元軍將士一百多人。解大寧（今重慶巫溪）圍，攻破十八寨。控入川的門戶，川東形勢一度好轉。
（一）瀘州之戰
元軍很快捲土重來。1277年六月攻破涪州，守將程聰被俘，梁山軍袁世安投降。十一月，瀘州糧食盡淨，人們互相吃人，而張珏自重慶遣史忠訓、趙安所率援軍遭拜延軍的阻擊，未能抵瀘州，元軍乘機發起總攻。
瀘州神臂城遺址
步魯合答造雲梯，登城急攻，先破寶子寨；劉思敬破盤山寨，擒守將任慶；劉垓、拜延克珍珠堡。瀘州安撫王世昌親率軍援珍珠堡及盤山寨，均被擊敗，王世昌及部將劉雄被俘。元橋船水手軍總管石抹不老督軍攻神臂門，蟻附而登，一度衝上城樓，又被宋軍擊潰。
劉思敬率部趁宋軍激戰一天疲憊之際，進行夜襲，破東門而入，進行巷戰；管軍萬戶禿滿答兒及札剌不花率軍夜奪水城而進，黎明，先登城入瀘州。天亮後，諸軍加緊攻神臂門。萬戶也罕的斤及石抹不老率軍先登拔之。宋軍將士英勇拼殺，終因寡不敵眾，兵敗城破。
（二）天生城之戰
1275年秋，夔東路徵行元帥楊文安統率元軍進圍萬州天生城。天生城因山勢雄奇，平地隆起，四面懸巖，絕壁凌空，峭立如堵，自然成城而得名。其地勢險要，易守難攻，一夫當關，萬夫難開。四方懸崖峭壁，僅一線蜿蜒陡直，曲折窄小的石路可通寨門。 南宋守將上官夔憑藉天生城之險峻戰守甚力，萬州固守不下，楊文安乃解圍而去。
1276年秋七月，楊文安又統率元軍進攻萬州。戰前派遣官員徐政給萬州守將上官夔送去勸降書，上官夔至死不從。於是元軍將天生城層層包圍，八月，“一鼓而拔其外城”。夔州守將張起巖率舟師前來援救，又被元軍將領彭福壽部打敗，“盡殺其舟師，俘其將宋明”。
天生城遺址
外援斷絕，萬州將士士氣銳減，楊文安再次招降，上官夔始終不屈。楊文安命侄兒開州、達州安撫使監軍楊應之挑選精兵，深夜架雲梯自城南攻破城池，魚貫而上，上官夔率宋軍與元軍進行激烈巷戰，終因寡不敵眾英勇戰死。
（三）皇華城之戰
1276年十月，元軍金吾上將軍、開達萬忠梁山等處招討使楊文安和宋降將、原達州知州鮮汝忠合兵攻破萬州天生城後，以降兵為前鋒，逆長江而上，直取鹹淳府（重慶忠縣）。府城皇華城位於江心小島上，軍民固守城池，打退了元軍的多次進攻。兩個月後，長江水位下降，流速減緩，楊文安乘機猛攻，激戰數日後，宋軍退守內城，元軍佔領了城外的灘頭，皇華城被元軍四面圍困。
皇華城遺址
臘月下旬，元軍再次發起進攻，楊文安向東、北門佯攻，鮮汝忠趁夜偷襲，用雲梯登上城牆，殺死守門士兵，打開了城門，元軍蜂擁而入。知府馬堃在巷戰中傷重被俘，楊文安勸其投降，馬堃拒絕被害。
（四）重慶之戰
重慶周邊據點相繼失守後，元兵會軍重慶，駐紮佛圖關，以一軍駐紮南城，一軍駐紮朱村坪，一軍駐紮長江上。元軍派瀘州降將李從招降，張珏沒有順從。1278年春，張珏派總管李義率領軍隊進攻廣陽壩以解圍，戰敗而全軍覆滅。二月，元兵破紹慶府（今重慶彭水），守將鮮龍被俘，湖北提刑趙立與制司幕官趙酉泰自盡殉國。張珏率兵衝出薰風門，與元大將也速兒戰於扶桑壩（今重慶東水門附近），元軍諸將從張珏的後面聯合襲擊，張珏軍隊大敗，解圍再無可能。
重慶古城圖，此為清代重慶城，但與宋代重慶城大致範圍相似
此時重慶城中糧食已盡，張珏部將趙安勸說張珏投降，張珏不同意。趙安就與帳下韓忠顯夜間開啟鎮西門投降。張珏率兵巷戰，力量不支，於是用小船載著妻子兒女向東逃往涪州，中途用斧頭砍船打算自沉，船伕奪掉斧頭丟入長江中，張珏跳起來想投水被家人挽持住不得死。
第二天，萬戶鐵木兒追到涪州，張珏被俘。重慶城破後，張萬仍在固守夔州。元廷命達海由巫峽進兵取夔州，西川行院不花遣僉院劉恩，挾夔州守將親屬前往招降，元將楊文安又命王師能領東川舟師趕至，張萬與張起巖意志不堅，遂以夔州城降，整個重慶地區各城再也沒有抗敵之心，紛紛投降。
1280年二月，在押往元大都（今北京）途中經過安西（今陝西西安城東北）趙老庵，他的朋友對他說：“公盡忠一世，以報所事，今至此，縱得不死，亦何以哉？”於是張珏解下弓弦在廁所中自縊，自盡殉國。
臨安投降後，忽必烈命大將阿里海牙增兵3萬，進軍廣西。靜江府守將馬墍，馬堃之弟，原知邕州，因撫御邊陲有功，以左武衛將軍徵入朝，時宋室投降，滯留靜江，總領屯戍諸軍，掌廣右經略司。阿里海牙初定湖南，曾派總管俞全前往靜江招降，為其所殺。宋室降元，又遣湘山僧宋勉持太皇太后謝道清手詔諭降，又為其所殺。
嚴關，可見道路狹窄，兩側都是山崖，易守難攻
九月，平章政事阿里海牙率軍南進，前鋒至嚴關(今廣西興安西南)。馬墍深知嚴關為湘桂走廊的咽喉，嚴關失守，靜江不保。遂立即組織所部及諸峒少數民族兵丁據守靜江，自率3000兵守嚴關。阿里海牙見嚴關兩山壁立，中為通道，難以驟克，乃以偏師迂迴至平樂，溯灕江而上，過臨桂北進，與主力前後夾擊嚴關，馬墍兵敗，只得退保靜江孤城。
靜江城，三面臨江，只有北門有道路，所以宋軍能堅守三個月之久
元軍取嚴關後，又於小溶江（嚴關西南）擊敗都統馬應麒。阿里海牙遂率軍圍靜江，遣人勸降，馬墍再次斬使焚書，以示拒降。阿里海牙怒而攻之。靜江依水為固，馬墍守城三個月，衣不解甲，前後百餘戰，力挫元軍，城中死傷甚眾，仍無降意。
十一月，元軍久攻不克，乃築大堰，斷大陽、小溶二江上流，別引一渠決其東壩，將護城河水引走。隨後遣主力佯攻西門，以精兵攻其東門。部將史格以戰車攻城，因炮石蔽地無法靠近，乃伺隙率眾攀碟，蟻附而上，攻破外城，安撫李夢龍降元，馬墍率兵退守內城。元軍以優勢兵力又破內城。百姓縱火焚居室，多赴水死。馬墍率死士進行巷戰，後因手臂為刀所傷，戰不力，被俘。總制黃文政（一作賀文振）、總管張虎欲率殘兵突圍，兵敗被俘，邕守馬成旺及子馬應鱗降。
馬墍部將婁鈐轄（鈐轄為官名，其具體姓名已不詳）以250人堅守月城繼續抵抗。月城修在南門外四面環水的小島上，易守難攻，阿里海牙派兵圍十餘日，婁鈐轄佯稱飢餓不能出降，如送食物，即可聽命。元軍信以為真，送牛、米入內，月城將士飽食之後，聚圍火炮引燃，與月城同歸於盡，堪稱南宋抗元史上極為壯烈的一幕。
靜江破後，被俘的馬墍、黃文政、張虎因拒不投降，皆被殺害，阿里海牙下令屠城洩憤。
三、揚州
臨安投降後，江浙州縣紛紛投降，唯淮東制置使李庭芝、副都統姜才扼守揚州，堅持抗元。軍持太皇太后謝道清手諭招降，被李庭芝嚴詞拒絕，姜才發弩射使者，將其擊退。
1276年閏三月，元軍押送宋帝及太后北行至瓜洲，李庭芝、姜才率兵4萬夜搗瓜洲，欲奪兩宮，激戰三時，元軍擁帝避去。
李庭芝、姜才石像
阿術進攻揚州久攻不下，於是築工事長期圍困揚州。冬天，城中食物吃盡，死的人滿街都是。第二年二月，饑荒更加厲害，赴濠水自殺的人每天幾百，路上有死人，眾人都爭相割他的肉吃，一會兒就完了。姜才曾多次攻灣頭堡及丁村堡，接應糧運，均被元軍擊退。淮安州許文德、知盱眙軍張思聰、知泗州劉興祖都因為糧食耗盡而降。李庭芝蒐括民間的糧粟以供應軍隊，粟吃完後，又令官人出粟，粟又被吃盡，又令將校出粟，雜以牛皮、麩蛐一起吃，士兵有煮自己的兒子的肉來吃的，還每天出來苦戰。
七月，在福州建立流亡政權的宋帝趙昰，遣使以少保、左丞相召李庭芝，以龍神四廂都指揮使、保康軍承宣使召姜才入衛。李庭芝乃留朱煥守揚州，與姜才共率7000兵東至泰州(今屬江蘇)，欲取道通州泛海南下。不料朱煥以揚州降元，阿術率軍追至泰州將其包圍，並押著李庭芝將士的妻子兒女到泰州城下招降。適姜才因病不能作戰，裨將孫貴、胡惟孝等開城門投降。李庭芝、姜才被俘，押回揚州，不降被殺。
史學界公認宋朝滅亡是德祐二年（1276年）2月4日，蒙元軍攻佔南宋行在臨安（今杭州），俘5歲的南宋皇帝恭宗趙隰。此後，主戰派大臣陸秀夫、文天祥和張世傑等人連續擁立了兩個幼小的皇帝（端宗、幼主），蒙元對小皇帝窮追不捨，宋廷不斷南逃，到了年底只能逃到船上建立海上行朝，直至1279年3月19日崖山之戰失敗，隨著幼主隨陸秀夫及趙宋皇族八百餘人集體跳海自盡，從此再無抵抗勢力存在。
如果題主指的宋朝滅亡以臨安投降為準，那麼當時尚有蘇北、福建、江西、兩廣、四川的大片地區仍在抵抗。
如果題主指的是崖山之戰為準，那麼就沒有任何一個地方了（有種說法是四川凌霄城1288年才被元軍攻破，但沒有找到資料）。即使前面幾位回答者所說的釣魚城，也是在崖山之戰前——1279年元月因為糧盡援絕就投降了。
既然題主提到釣魚城還在堅守，那麼應該是以臨安投降為準。當時大多數地區聞風而降，堅守較久的除了釣魚城之外，還有下列幾個：
元滅南宋圖，可見長江以南抵抗甚少，只有川東和江西比較集中
一、重慶地區臨安投降之時，元軍正以重兵圍攻重慶，在長江、嘉陵江中架起浮樑，阻絕外援，企圖將其困死。鎮守釣魚城的四川制置副使、重慶知府張珏為解圍，於1276年六月派部將趙安、王世昌等收復瀘州，威脅元軍側後。元軍被迫逐漸從重慶撤退，轉而圍攻瀘州。
張珏銅像
同年十二月，趙定應迎接張珏進入重慶任四川制置使，派部將張萬、程聰領兵收復涪州（今重慶涪陵），重慶元兵全部退走。張珏調史訓忠、趙安等援救瀘州。又派張萬到夔州，聯合忠、涪州的軍隊攻克石門及巴巫寨，獲取元軍將士一百多人。解大寧（今重慶巫溪）圍，攻破十八寨。控入川的門戶，川東形勢一度好轉。
（一）瀘州之戰
元軍很快捲土重來。1277年六月攻破涪州，守將程聰被俘，梁山軍袁世安投降。十一月，瀘州糧食盡淨，人們互相吃人，而張珏自重慶遣史忠訓、趙安所率援軍遭拜延軍的阻擊，未能抵瀘州，元軍乘機發起總攻。
瀘州神臂城遺址
步魯合答造雲梯，登城急攻，先破寶子寨；劉思敬破盤山寨，擒守將任慶；劉垓、拜延克珍珠堡。瀘州安撫王世昌親率軍援珍珠堡及盤山寨，均被擊敗，王世昌及部將劉雄被俘。元橋船水手軍總管石抹不老督軍攻神臂門，蟻附而登，一度衝上城樓，又被宋軍擊潰。
劉思敬率部趁宋軍激戰一天疲憊之際，進行夜襲，破東門而入，進行巷戰；管軍萬戶禿滿答兒及札剌不花率軍夜奪水城而進，黎明，先登城入瀘州。天亮後，諸軍加緊攻神臂門。萬戶也罕的斤及石抹不老率軍先登拔之。宋軍將士英勇拼殺，終因寡不敵眾，兵敗城破。
（二）天生城之戰
1275年秋，夔東路徵行元帥楊文安統率元軍進圍萬州天生城。天生城因山勢雄奇，平地隆起，四面懸巖，絕壁凌空，峭立如堵，自然成城而得名。其地勢險要，易守難攻，一夫當關，萬夫難開。四方懸崖峭壁，僅一線蜿蜒陡直，曲折窄小的石路可通寨門。 南宋守將上官夔憑藉天生城之險峻戰守甚力，萬州固守不下，楊文安乃解圍而去。
1276年秋七月，楊文安又統率元軍進攻萬州。戰前派遣官員徐政給萬州守將上官夔送去勸降書，上官夔至死不從。於是元軍將天生城層層包圍，八月，“一鼓而拔其外城”。夔州守將張起巖率舟師前來援救，又被元軍將領彭福壽部打敗，“盡殺其舟師，俘其將宋明”。
天生城遺址
外援斷絕，萬州將士士氣銳減，楊文安再次招降，上官夔始終不屈。楊文安命侄兒開州、達州安撫使監軍楊應之挑選精兵，深夜架雲梯自城南攻破城池，魚貫而上，上官夔率宋軍與元軍進行激烈巷戰，終因寡不敵眾英勇戰死。
（三）皇華城之戰
1276年十月，元軍金吾上將軍、開達萬忠梁山等處招討使楊文安和宋降將、原達州知州鮮汝忠合兵攻破萬州天生城後，以降兵為前鋒，逆長江而上，直取鹹淳府（重慶忠縣）。府城皇華城位於江心小島上，軍民固守城池，打退了元軍的多次進攻。兩個月後，長江水位下降，流速減緩，楊文安乘機猛攻，激戰數日後，宋軍退守內城，元軍佔領了城外的灘頭，皇華城被元軍四面圍困。
皇華城遺址
臘月下旬，元軍再次發起進攻，楊文安向東、北門佯攻，鮮汝忠趁夜偷襲，用雲梯登上城牆，殺死守門士兵，打開了城門，元軍蜂擁而入。知府馬堃在巷戰中傷重被俘，楊文安勸其投降，馬堃拒絕被害。
（四）重慶之戰
重慶周邊據點相繼失守後，元兵會軍重慶，駐紮佛圖關，以一軍駐紮南城，一軍駐紮朱村坪，一軍駐紮長江上。元軍派瀘州降將李從招降，張珏沒有順從。1278年春，張珏派總管李義率領軍隊進攻廣陽壩以解圍，戰敗而全軍覆滅。二月，元兵破紹慶府（今重慶彭水），守將鮮龍被俘，湖北提刑趙立與制司幕官趙酉泰自盡殉國。張珏率兵衝出薰風門，與元大將也速兒戰於扶桑壩（今重慶東水門附近），元軍諸將從張珏的後面聯合襲擊，張珏軍隊大敗，解圍再無可能。
重慶古城圖，此為清代重慶城，但與宋代重慶城大致範圍相似
此時重慶城中糧食已盡，張珏部將趙安勸說張珏投降，張珏不同意。趙安就與帳下韓忠顯夜間開啟鎮西門投降。張珏率兵巷戰，力量不支，於是用小船載著妻子兒女向東逃往涪州，中途用斧頭砍船打算自沉，船伕奪掉斧頭丟入長江中，張珏跳起來想投水被家人挽持住不得死。
第二天，萬戶鐵木兒追到涪州，張珏被俘。重慶城破後，張萬仍在固守夔州。元廷命達海由巫峽進兵取夔州，西川行院不花遣僉院劉恩，挾夔州守將親屬前往招降，元將楊文安又命王師能領東川舟師趕至，張萬與張起巖意志不堅，遂以夔州城降，整個重慶地區各城再也沒有抗敵之心，紛紛投降。
1280年二月，在押往元大都（今北京）途中經過安西（今陝西西安城東北）趙老庵，他的朋友對他說：“公盡忠一世，以報所事，今至此，縱得不死，亦何以哉？”於是張珏解下弓弦在廁所中自縊，自盡殉國。
二、靜江（廣西桂林）臨安投降後，忽必烈命大將阿里海牙增兵3萬，進軍廣西。靜江府守將馬墍，馬堃之弟，原知邕州，因撫御邊陲有功，以左武衛將軍徵入朝，時宋室投降，滯留靜江，總領屯戍諸軍，掌廣右經略司。阿里海牙初定湖南，曾派總管俞全前往靜江招降，為其所殺。宋室降元，又遣湘山僧宋勉持太皇太后謝道清手詔諭降，又為其所殺。
嚴關，可見道路狹窄，兩側都是山崖，易守難攻
九月，平章政事阿里海牙率軍南進，前鋒至嚴關(今廣西興安西南)。馬墍深知嚴關為湘桂走廊的咽喉，嚴關失守，靜江不保。遂立即組織所部及諸峒少數民族兵丁據守靜江，自率3000兵守嚴關。阿里海牙見嚴關兩山壁立，中為通道，難以驟克，乃以偏師迂迴至平樂，溯灕江而上，過臨桂北進，與主力前後夾擊嚴關，馬墍兵敗，只得退保靜江孤城。
靜江城，三面臨江，只有北門有道路，所以宋軍能堅守三個月之久
元軍取嚴關後，又於小溶江（嚴關西南）擊敗都統馬應麒。阿里海牙遂率軍圍靜江，遣人勸降，馬墍再次斬使焚書，以示拒降。阿里海牙怒而攻之。靜江依水為固，馬墍守城三個月，衣不解甲，前後百餘戰，力挫元軍，城中死傷甚眾，仍無降意。
十一月，元軍久攻不克，乃築大堰，斷大陽、小溶二江上流，別引一渠決其東壩，將護城河水引走。隨後遣主力佯攻西門，以精兵攻其東門。部將史格以戰車攻城，因炮石蔽地無法靠近，乃伺隙率眾攀碟，蟻附而上，攻破外城，安撫李夢龍降元，馬墍率兵退守內城。元軍以優勢兵力又破內城。百姓縱火焚居室，多赴水死。馬墍率死士進行巷戰，後因手臂為刀所傷，戰不力，被俘。總制黃文政（一作賀文振）、總管張虎欲率殘兵突圍，兵敗被俘，邕守馬成旺及子馬應鱗降。
馬墍部將婁鈐轄（鈐轄為官名，其具體姓名已不詳）以250人堅守月城繼續抵抗。月城修在南門外四面環水的小島上，易守難攻，阿里海牙派兵圍十餘日，婁鈐轄佯稱飢餓不能出降，如送食物，即可聽命。元軍信以為真，送牛、米入內，月城將士飽食之後，聚圍火炮引燃，與月城同歸於盡，堪稱南宋抗元史上極為壯烈的一幕。
靜江破後，被俘的馬墍、黃文政、張虎因拒不投降，皆被殺害，阿里海牙下令屠城洩憤。
三、揚州
臨安投降後，江浙州縣紛紛投降，唯淮東制置使李庭芝、副都統姜才扼守揚州，堅持抗元。軍持太皇太后謝道清手諭招降，被李庭芝嚴詞拒絕，姜才發弩射使者，將其擊退。
1276年閏三月，元軍押送宋帝及太后北行至瓜洲，李庭芝、姜才率兵4萬夜搗瓜洲，欲奪兩宮，激戰三時，元軍擁帝避去。
李庭芝、姜才石像
阿術進攻揚州久攻不下，於是築工事長期圍困揚州。冬天，城中食物吃盡，死的人滿街都是。第二年二月，饑荒更加厲害，赴濠水自殺的人每天幾百，路上有死人，眾人都爭相割他的肉吃，一會兒就完了。姜才曾多次攻灣頭堡及丁村堡，接應糧運，均被元軍擊退。淮安州許文德、知盱眙軍張思聰、知泗州劉興祖都因為糧食耗盡而降。李庭芝蒐括民間的糧粟以供應軍隊，粟吃完後，又令官人出粟，粟又被吃盡，又令將校出粟，雜以牛皮、麩蛐一起吃，士兵有煮自己的兒子的肉來吃的，還每天出來苦戰。
七月，在福州建立流亡政權的宋帝趙昰，遣使以少保、左丞相召李庭芝，以龍神四廂都指揮使、保康軍承宣使召姜才入衛。李庭芝乃留朱煥守揚州，與姜才共率7000兵東至泰州(今屬江蘇)，欲取道通州泛海南下。不料朱煥以揚州降元，阿術率軍追至泰州將其包圍，並押著李庭芝將士的妻子兒女到泰州城下招降。適姜才因病不能作戰，裨將孫貴、胡惟孝等開城門投降。李庭芝、姜才被俘，押回揚州，不降被殺。