如今比較公認的看法是日本現代數學得以發展是從高木貞治(1875~1960）開始的。高木貞治早年在東京大學數學科學習，隨後被公派到德國學習代數和數論。他先後在柏林和哥廷根等地學習，深受希爾伯特等數學大師的薰陶。1920年，高木貞治解決了“克羅內克青春之夢”問題(即高斯數域上任意阿貝爾擴張均可由雙紐線函式的分點值來生成)，和阿廷一起建立了古典類域論。這是日本數學家首次獲得世界級數學成果，為此高木貞治還應邀成為1932年菲爾茲獎評選委員會成員之一。可以說，日本現代數學從高木貞治開始走上世界舞臺，逐漸確立了自己的地位。
在高木貞治的時代，日本的數學自明治維新之後已經得到了長足發展，特別是數學教育水平。例如當時的日本東北大學，這裡有分析學方面的藤原松三郎(1881~1946)，主要研究微分方程和函式論，還有研究微分幾何的窪田忠彥(1885~1952)。他們不僅研究出色，更重要的是為日本數學培養出了很多年輕人，特別地還寫出了很多優秀的數學教材。值得注意的是，中國老一輩數學大家陳建功和蘇步青就是他們二人的得意門生。除了東北大學之外，東京大學和京都大學在數學教育方面也同樣出色。到了20世紀30年代，這些大學的數學教育水平已經不比歐洲頂級大學差多少了。
自高木貞治在代數方面做出傑出貢獻後，當時許多日本年輕數學家都想追隨他的腳步，紛紛前往德國留學，跟隨大師們學習代數。這使得之後代數研究成為了日本數學的特點。其中比較早的有正田建次郎(1902~1977)，他是高木貞治在東京大學的學生。1927年畢業後前往德國哥廷根大學跟隨抽象代數奠基人諾特學習代數。一年之後，末綱恕一(1898~1970)也來得哥廷根跟隨諾特學習。在德國的學習使得他們獲益匪淺，回到日本之後，一邊繼續研究，一邊培養年輕人，一時掀起了學習抽象代數的熱潮。據不完全統計，在這方面後來有貢獻的日本數學家有:秋月康夫、淺野啟三、中山正、巖澤健吉等人。其中尤以中山正和巖澤健吉的貢獻最大。
中山正是日本代數學研究的先驅，為使日本數學達到國際水平作出了重要貢獻。他的工作涉及代數學中幾乎所有課題，主要成就包括構造以有限維代數域上的伽羅瓦群為係數的上同調群，發展了一般同調代數和類域論等。交換代數中的“中山引理”是該學科的基本概念。而巖澤健吉則在環論和希爾伯特第五問題上均有突出貢獻，特別是他在50年代建立的巖澤理論最為出名，後來成為懷爾斯證明費馬大定理的重要工具。這一時期日本的代數學水平已經躋身世界一流了。
與此同時，日本在數學傳播上也有相當大的貢獻，例如中國的很多數學名詞都是從日本引進的。這一功績的主要代表為彌永昌吉，他在東京大學獲博士學位後留校任教，巖澤健吉和小平邦彥等都是他的學生。早年他沿著高木貞治的道路得到了很多重要類域論的結果，同樣也是這一領域的代表人物。但最使他出名的是他主持編寫的《巖波數學辭典》，這是一本現代數學百科全書，許多年來不斷出版，深受讀者喜愛，成為了每個大學圖書館必備的工具書之一。日本數學界比較流行的說法是，如果高木貞治是日本現代數學的“生父”，那麼彌永昌吉就是“養父”。
繼高木貞治之後，日本數學再次誕生了一位日本數學的突出代表人物，也就是小平邦彥(1915~1997)。日本數學自此再進一步，達到了更高的水平。小平邦彥深入東京大學數學科之時，數學科一年只招15名新生，選拔非常嚴格。三年級的時候，他對拓撲學有了興趣，畢業的時候突然又愛上了馮·諾依曼的《量子力學基礎》和外爾的《群論和量子力學》，索性跑去物理科再讀了三年。這也奠定了他在數學物理方面堅實的基礎。之後的兩年內，小平邦彥完成了兩篇黎曼曲面的論文，開始了他數學家的生涯。
圖七 小平邦彥
然而隨著日本在太平洋戰場的接連失敗，國內民不聊生，此時的數學研究和對外交流幾乎全面中斷，比較有意思的是這時候日本的一艘潛水艇不知從哪裡搞了一份海森堡關於量子力學的論文回來，還被當成了機密檔案。由於美軍的接連轟炸，小平邦彥也只能躲到了鄉下，開始了他與世隔絕的艱難研究，與歐洲此時的塞爾伯格一樣，成為了戰火之中的孤島數學家。在鄉下，他首先研究了外爾之前的論文，此後在艱苦卓絕的研究下，得到了一系列關於多變數正則函式和調和積分的成果。但由於戰爭的原因，直到1949年他去美國訪問之前，都一直默默無聞，不為數學界所知。所幸的是，小平邦彥遇到了他的“貴人”—角谷靜夫。
圖八 角谷靜夫
角谷靜夫(1911~2004)早年從東北大學數學科畢業後就到了美國留學並定居，他主要研究無限維空間上的測度，以“角谷靜夫距離”聞名於世。戰爭結束後，角谷靜夫以日僑身份被遣返回日本，之後便結識了小平邦彥。角谷靜夫在美國的時候，曾在普林斯頓高等研究院當過一段時間助教，對當時正在普林斯頓的馮·諾依曼和外爾的工作比較熟悉，所以他一下子就看出了小平邦彥相關論文的巨大價值。一番不懈努力之後，他託人將論文送到了外爾手中。雖然小平邦彥當時默默無聞，但外爾看了他的論文之後大加讚賞，立即邀請他前往普林斯頓訪問研究。事實也證明，外爾不僅是數學大師，也是發現和珍惜人才的伯樂。
圖九 外爾
1949年9月，小平邦彥來到了當時的數學中心普林斯頓。在這裡，他多年的苦心孤詣終於轉化成了累累碩果。在這幾年間，他推廣了重要的黎曼-羅赫定理，又對代數曲面的奇點做了巧妙處理，得到了著名的小平邦彥奇點消沒定理。他的一系列工作使得他成為了現代復代數幾何的奠基人之一，這一點我們在上一篇關於普林斯頓數學發展的文章中也提到過。最終憑藉這些成果，小平邦彥榮獲1954年菲爾茲獎。之後他又在複流形，復曲面上做出了許多開創性工作，因此又榮獲1984年沃爾夫數學獎，成為了少有的雙獎得主。必須要指出的是，1967年小平邦彥選擇回到了日本東京大學，為日本數學發展做出了非常多的貢獻。
圖十 菲爾茲獎
和小平邦彥同時代的伊藤清(1915~2008)也是日本現代數學發展的另一個突出代表。伊藤清與小平邦彥一樣，畢業於東京大學。1944年他率先對布朗運動引進隨機積分，從而建立隨機分析這個新分支，1951年他引進計算隨機積分的伊藤公式，後推廣成一般的變元替換公式，成為了這一領域的基礎定理。此外，伊藤清還發展了一般馬爾科夫過程的隨機微分方程理論，他還是最早研究流形上擴散過程的學者之一。伊藤清的成果於20世紀80年代以後在金融領域得到廣泛應用，他因此被稱為“華爾街最有名的日本人”。1952年起，伊藤清在京都大學任教授直到1979年退休。而除了東京大學外，京都大學也是日本數學的中心之一，主攻代數幾何，而這要歸功於上面提到過的秋月康夫等人。
20世紀50年代，在戰後及其困難的情況下，秋月康夫還是克服一切艱難險阻組織年輕人研究代數幾何。這個集體中就誕生了後來著名的永田雅宜(1927~2008）和廣中平祐(1931~）。前者以給出希爾伯特第14問的反例而著稱，而廣中平祐則以代數幾何中奇點消解的傑出工作榮獲1970年菲爾茲獎。
戰後日本數學的轉折點在1955年，這一年，東京舉辦了一次日本期盼了太久的國際數學會議，許多著名數學家來訪和做報告，代數幾何的絕對權威韋伊和塞爾也在其中。會上，許多日本年輕人都做了報告，展示了日本數學年輕一代的想法和實力，其中就有後來著名的志村五郎和谷山豐。韋伊和塞爾順便訪問了京都大學，一年之後，另一位代數幾何大師扎里斯基訪問日本，一口氣做了14場報告。這些給了廣中平祐極大的震撼和鼓舞，讓他下定決心研究代數幾何中的困難問題。後來他來到哈佛大學，在扎里斯基指導下拿到博士學位並進行研究工作，之後便有了他在這方面傑出的工作。但比較有意思的是，傳說他的研究生導師稱廣中平祐“智商不足”。
廣中平祐之後，京都大學的代數幾何研究並沒有停止，而是在20年後再次誕生了一位菲爾茲獲得者-森重文(1951~）。森重文早年在永田雅宜手下學習代數幾何，獲得了數學博士學位，1977年到1980年期間在哈佛大學訪問研究，後來又回到日本。森重文的貢獻很多，用一句話來概括就是完成了3維代數簇的粗分類。在70年代，3維簇的分類被認為基本上是不可想象的。而森重文則勇於面對這項浩大工程，為此他制定了一個綱領，這個綱領被稱為森重文綱領或極小模型綱領。10多年間他引進一系列的專門技巧，克服了一個又一個的困難，最終在1988年完成了這個綱領。
除了以上這些之外，還有吉田耕作的泛函分析與半群工作，佐藤幹夫的超函式論，加藤敏夫的微分運算元攝動理論等分析學方面上的成就也享有廣泛的國際聲譽，都是世界級的成果。
正是一代又一代的努力，日本數學在20世紀後半期達到高峰，一度擠掉戰後分裂的德國，成為數學四大強國之一。明治維新之前幾十年，日本所學的數學幾乎全部來自中國，水平整體上落後於中國。但短短的幾十年間，情況完全逆轉，到甲午中日戰爭時，日本數學水平已經全面超越中國。雖然近一百年來，中國的數學得到了長足發展，但仍與日本有不小的差距。而關於中國現代數學的發展，以後將在另一篇文章中介紹。
從日本數學發展歷史來看，日本數學主要有以下幾個特點:1、善於向外學習；2、重視數學教育和人才培養；3、凝聚力強，主流數學家多為本國服務；4、戰前受德國數學影響較大，戰後全面受美國數學影響；5、主要研究方向為代數。如果要給日本數學打上標籤，我覺得“低調”和“腳踏實地”比較合適，小平邦彥抄書的故事可能很多人都知道，並不是說他笨，而是體現了一種認真執著的精神。這些優點也是我們應該學習的，畢竟我們的基礎科學研究還全面落後於日本。
如今比較公認的看法是日本現代數學得以發展是從高木貞治(1875~1960）開始的。高木貞治早年在東京大學數學科學習，隨後被公派到德國學習代數和數論。他先後在柏林和哥廷根等地學習，深受希爾伯特等數學大師的薰陶。1920年，高木貞治解決了“克羅內克青春之夢”問題(即高斯數域上任意阿貝爾擴張均可由雙紐線函式的分點值來生成)，和阿廷一起建立了古典類域論。這是日本數學家首次獲得世界級數學成果，為此高木貞治還應邀成為1932年菲爾茲獎評選委員會成員之一。可以說，日本現代數學從高木貞治開始走上世界舞臺，逐漸確立了自己的地位。
在高木貞治的時代，日本的數學自明治維新之後已經得到了長足發展，特別是數學教育水平。例如當時的日本東北大學，這裡有分析學方面的藤原松三郎(1881~1946)，主要研究微分方程和函式論，還有研究微分幾何的窪田忠彥(1885~1952)。他們不僅研究出色，更重要的是為日本數學培養出了很多年輕人，特別地還寫出了很多優秀的數學教材。值得注意的是，中國老一輩數學大家陳建功和蘇步青就是他們二人的得意門生。除了東北大學之外，東京大學和京都大學在數學教育方面也同樣出色。到了20世紀30年代，這些大學的數學教育水平已經不比歐洲頂級大學差多少了。
自高木貞治在代數方面做出傑出貢獻後，當時許多日本年輕數學家都想追隨他的腳步，紛紛前往德國留學，跟隨大師們學習代數。這使得之後代數研究成為了日本數學的特點。其中比較早的有正田建次郎(1902~1977)，他是高木貞治在東京大學的學生。1927年畢業後前往德國哥廷根大學跟隨抽象代數奠基人諾特學習代數。一年之後，末綱恕一(1898~1970)也來得哥廷根跟隨諾特學習。在德國的學習使得他們獲益匪淺，回到日本之後，一邊繼續研究，一邊培養年輕人，一時掀起了學習抽象代數的熱潮。據不完全統計，在這方面後來有貢獻的日本數學家有:秋月康夫、淺野啟三、中山正、巖澤健吉等人。其中尤以中山正和巖澤健吉的貢獻最大。
中山正是日本代數學研究的先驅，為使日本數學達到國際水平作出了重要貢獻。他的工作涉及代數學中幾乎所有課題，主要成就包括構造以有限維代數域上的伽羅瓦群為係數的上同調群，發展了一般同調代數和類域論等。交換代數中的“中山引理”是該學科的基本概念。而巖澤健吉則在環論和希爾伯特第五問題上均有突出貢獻，特別是他在50年代建立的巖澤理論最為出名，後來成為懷爾斯證明費馬大定理的重要工具。這一時期日本的代數學水平已經躋身世界一流了。
與此同時，日本在數學傳播上也有相當大的貢獻，例如中國的很多數學名詞都是從日本引進的。這一功績的主要代表為彌永昌吉，他在東京大學獲博士學位後留校任教，巖澤健吉和小平邦彥等都是他的學生。早年他沿著高木貞治的道路得到了很多重要類域論的結果，同樣也是這一領域的代表人物。但最使他出名的是他主持編寫的《巖波數學辭典》，這是一本現代數學百科全書，許多年來不斷出版，深受讀者喜愛，成為了每個大學圖書館必備的工具書之一。日本數學界比較流行的說法是，如果高木貞治是日本現代數學的“生父”，那麼彌永昌吉就是“養父”。
繼高木貞治之後，日本數學再次誕生了一位日本數學的突出代表人物，也就是小平邦彥(1915~1997)。日本數學自此再進一步，達到了更高的水平。小平邦彥深入東京大學數學科之時，數學科一年只招15名新生，選拔非常嚴格。三年級的時候，他對拓撲學有了興趣，畢業的時候突然又愛上了馮·諾依曼的《量子力學基礎》和外爾的《群論和量子力學》，索性跑去物理科再讀了三年。這也奠定了他在數學物理方面堅實的基礎。之後的兩年內，小平邦彥完成了兩篇黎曼曲面的論文，開始了他數學家的生涯。
圖七 小平邦彥
然而隨著日本在太平洋戰場的接連失敗，國內民不聊生，此時的數學研究和對外交流幾乎全面中斷，比較有意思的是這時候日本的一艘潛水艇不知從哪裡搞了一份海森堡關於量子力學的論文回來，還被當成了機密檔案。由於美軍的接連轟炸，小平邦彥也只能躲到了鄉下，開始了他與世隔絕的艱難研究，與歐洲此時的塞爾伯格一樣，成為了戰火之中的孤島數學家。在鄉下，他首先研究了外爾之前的論文，此後在艱苦卓絕的研究下，得到了一系列關於多變數正則函式和調和積分的成果。但由於戰爭的原因，直到1949年他去美國訪問之前，都一直默默無聞，不為數學界所知。所幸的是，小平邦彥遇到了他的“貴人”—角谷靜夫。
圖八 角谷靜夫
角谷靜夫(1911~2004)早年從東北大學數學科畢業後就到了美國留學並定居，他主要研究無限維空間上的測度，以“角谷靜夫距離”聞名於世。戰爭結束後，角谷靜夫以日僑身份被遣返回日本，之後便結識了小平邦彥。角谷靜夫在美國的時候，曾在普林斯頓高等研究院當過一段時間助教，對當時正在普林斯頓的馮·諾依曼和外爾的工作比較熟悉，所以他一下子就看出了小平邦彥相關論文的巨大價值。一番不懈努力之後，他託人將論文送到了外爾手中。雖然小平邦彥當時默默無聞，但外爾看了他的論文之後大加讚賞，立即邀請他前往普林斯頓訪問研究。事實也證明，外爾不僅是數學大師，也是發現和珍惜人才的伯樂。
圖九 外爾
1949年9月，小平邦彥來到了當時的數學中心普林斯頓。在這裡，他多年的苦心孤詣終於轉化成了累累碩果。在這幾年間，他推廣了重要的黎曼-羅赫定理，又對代數曲面的奇點做了巧妙處理，得到了著名的小平邦彥奇點消沒定理。他的一系列工作使得他成為了現代復代數幾何的奠基人之一，這一點我們在上一篇關於普林斯頓數學發展的文章中也提到過。最終憑藉這些成果，小平邦彥榮獲1954年菲爾茲獎。之後他又在複流形，復曲面上做出了許多開創性工作，因此又榮獲1984年沃爾夫數學獎，成為了少有的雙獎得主。必須要指出的是，1967年小平邦彥選擇回到了日本東京大學，為日本數學發展做出了非常多的貢獻。
圖十 菲爾茲獎
和小平邦彥同時代的伊藤清(1915~2008)也是日本現代數學發展的另一個突出代表。伊藤清與小平邦彥一樣，畢業於東京大學。1944年他率先對布朗運動引進隨機積分，從而建立隨機分析這個新分支，1951年他引進計算隨機積分的伊藤公式，後推廣成一般的變元替換公式，成為了這一領域的基礎定理。此外，伊藤清還發展了一般馬爾科夫過程的隨機微分方程理論，他還是最早研究流形上擴散過程的學者之一。伊藤清的成果於20世紀80年代以後在金融領域得到廣泛應用，他因此被稱為“華爾街最有名的日本人”。1952年起，伊藤清在京都大學任教授直到1979年退休。而除了東京大學外，京都大學也是日本數學的中心之一，主攻代數幾何，而這要歸功於上面提到過的秋月康夫等人。
20世紀50年代，在戰後及其困難的情況下，秋月康夫還是克服一切艱難險阻組織年輕人研究代數幾何。這個集體中就誕生了後來著名的永田雅宜(1927~2008）和廣中平祐(1931~）。前者以給出希爾伯特第14問的反例而著稱，而廣中平祐則以代數幾何中奇點消解的傑出工作榮獲1970年菲爾茲獎。
戰後日本數學的轉折點在1955年，這一年，東京舉辦了一次日本期盼了太久的國際數學會議，許多著名數學家來訪和做報告，代數幾何的絕對權威韋伊和塞爾也在其中。會上，許多日本年輕人都做了報告，展示了日本數學年輕一代的想法和實力，其中就有後來著名的志村五郎和谷山豐。韋伊和塞爾順便訪問了京都大學，一年之後，另一位代數幾何大師扎里斯基訪問日本，一口氣做了14場報告。這些給了廣中平祐極大的震撼和鼓舞，讓他下定決心研究代數幾何中的困難問題。後來他來到哈佛大學，在扎里斯基指導下拿到博士學位並進行研究工作，之後便有了他在這方面傑出的工作。但比較有意思的是，傳說他的研究生導師稱廣中平祐“智商不足”。
廣中平祐之後，京都大學的代數幾何研究並沒有停止，而是在20年後再次誕生了一位菲爾茲獲得者-森重文(1951~）。森重文早年在永田雅宜手下學習代數幾何，獲得了數學博士學位，1977年到1980年期間在哈佛大學訪問研究，後來又回到日本。森重文的貢獻很多，用一句話來概括就是完成了3維代數簇的粗分類。在70年代，3維簇的分類被認為基本上是不可想象的。而森重文則勇於面對這項浩大工程，為此他制定了一個綱領，這個綱領被稱為森重文綱領或極小模型綱領。10多年間他引進一系列的專門技巧，克服了一個又一個的困難，最終在1988年完成了這個綱領。
除了以上這些之外，還有吉田耕作的泛函分析與半群工作，佐藤幹夫的超函式論，加藤敏夫的微分運算元攝動理論等分析學方面上的成就也享有廣泛的國際聲譽，都是世界級的成果。
正是一代又一代的努力，日本數學在20世紀後半期達到高峰，一度擠掉戰後分裂的德國，成為數學四大強國之一。明治維新之前幾十年，日本所學的數學幾乎全部來自中國，水平整體上落後於中國。但短短的幾十年間，情況完全逆轉，到甲午中日戰爭時，日本數學水平已經全面超越中國。雖然近一百年來，中國的數學得到了長足發展，但仍與日本有不小的差距。而關於中國現代數學的發展，以後將在另一篇文章中介紹。
從日本數學發展歷史來看，日本數學主要有以下幾個特點:1、善於向外學習；2、重視數學教育和人才培養；3、凝聚力強，主流數學家多為本國服務；4、戰前受德國數學影響較大，戰後全面受美國數學影響；5、主要研究方向為代數。如果要給日本數學打上標籤，我覺得“低調”和“腳踏實地”比較合適，小平邦彥抄書的故事可能很多人都知道，並不是說他笨，而是體現了一種認真執著的精神。這些優點也是我們應該學習的，畢竟我們的基礎科學研究還全面落後於日本。