圓周率π的定義是圓的周長與直徑比值。圓的直徑容易測得，所以周長測定的準確度直接決定了π的準確度，然而題主用正方形逼近圓，如果僅僅是在圓外側作出一個與其相切的正方形，那麼誤差肉眼可見。錯在逼近的方法和理解上。

以本題為例，圓外側用多邊形去逼近圓周長，應該如下進行操作。先將圓周等分四份，然後在四等分點上做圓的切線，形成圓的外切正方形，同樣的方法做到外切正十六變形，直到外切正N邊形。這裡都是做的外切正多邊形，便於其周長的計算。使用外切正N邊形的周長代替圓周長，得到的圓周率值才會接近真正的圓周率值。

所以題主的想法為什麼錯誤，應該明確了。

正多邊形才能逼近圓，得出接近兀值，中國古代劉徽割圓得出疏率22/7，密率355/113接近於兀值3.14-3.1415。正四邊形邊數大少，不能逼近圓，所以誤差很大。

正方形和圓相切，正方形周長是圓直徑4倍，圓周長是直徑乘以π。確實π等於4，但正方形與圓不逼近，應該是多邊形才逼近。

什麼亂七八糟的。

你得出的4是正方形的周長與邊長之比，又不是圓的。你自己倒是不看看你這正方形跟圓差了多少？這能用正方形的周長邊長比直接等於圓周率？你怎麼不找個長方形去內接？那你想要個多大的圓周率都行呢。

簡單來說就是無窮大×無窮小≠0。正方形在逼近的圓同時，線段長度在減少但線段的數量在增加，最終線段數量×線段長度的值並沒有變。1米長的線，即便剁成無數段，它們的總和還是1米，不會變成0米

正多邊形逼近圓，無論是外切正多邊形還是內接正多邊形，隨著邊的數量越來越多，其角度越來越不明顯，角的形狀越來越像圓上的一個小線段。以外切正多邊形為例，多餘圓的部分不斷被裁剪掉，與圓重合的部分卻一點未少。當多於圓的部分99.9999%被裁完之時，其面積就逼近於圓。

而題主所問的，用正方形逼近圓的方法，為什麼得出π是4呢？這是因為正方形雖然也通過無限折線的方式去逼近了，但沒有裁剪多於圓的部分，所以還是有無限多個折角存在，這些折角和圓之間仍然有不可忽視的微小面積（微小三角形），不管有多小，三角形的斜邊是不可能等於兩直角邊之和的。所以證明π等於4是錯誤的。

正方形怎麼逼近圓？

是不是認為直角三角形的斜邊長度等於兩個直角邊之和？

這個前提顯然不成立。

要真正理解這個正方形逼近圓的錯誤，恐怕要用到研究生階段的一些奇藝點的知識了。

其實你想一下，豈止是4可以逼近圓周率，按照這樣的逼近，隨便一個數字，比如2000都可以逼近圓周率。（手繪圖示意）

如果有微積分的知識，你知道長度可以用無窮多個無窮小量積攢起來的。像上圖那個用2000來逼近之後得到的線段，你可以理解成它的無窮小量，是原來線段無窮小量的幾百倍，你肉眼看到的兩條一模一樣的線段，它們的“密度”不同，導致長度一個是2000，一個可能不到1。

燒腦嗎？數學中的“極限”就是有各種各樣的邏輯在裡面。

這個問題題主沒有說清，其他人也沒有理解，都是從圓的外切正多邊形解釋了。其實題主的意思是用正方形逼近圓，就是先用正方形框住圓，再從圓上一點做向正方形邊長的垂線。這樣得到的多邊形周長和正方形是相同的。如圖一，ABPDE等於ACE的長度。這相當於正方形去掉一個正方形的角。如果繼續這樣切割下去，不斷切去一些正方形或長方形（如圖二）。無論怎樣切割，多邊形的邊長是不變的，始終是原來的正大形邊長。直到最後無限接近整個圓的表面，仍然是一些邊長互相垂直的多邊形（如圖三）。最後形成類似圖四或圖五的情況。

你說的不對。正方形不能逼近圓。從圖中可以看出，正方形的周長明顯大於圓。怎麼能談逼近圓？畢竟是一個過程，你不能停留在正方形的基礎上就筆記。他應該是一開始是正方形，然後正五邊形，正六邊形正七邊形正八邊形，以至於它的邊數越來越多。他就無限的趨近於圓兒，這才叫逼近，你就停在正方形上，那叫什麼逼近呢？你都不理解逼近的這個概念，明白嗎？所以說你用正方形。去逼近園兒，這個本身就不成立，也不可能得出。圓的周長是圓的直徑四倍的結論。

你錯就錯在，前提是錯誤的，當然結論也是錯的。

π值是無理數是因為外接正多邊形可以無限接近圓，但永遠不會相等，外接多邊形邊數越多，測出的π值越接近真實值，但外接多邊形邊數可以無限增加永遠也不會和圓相同，所以外接法算出的π值只能越來越接近真實值，永遠不會是正確值。正方形是最不接近圓的外接多邊形，所以從正方形得出的π值肯定是不正確的。