一、平面向量和幾種特殊的向量
1、向量
既有大小又有方向的量叫向量。以A為起點、B為終點的向量記作：
AB→或\boldsymbola。
向量的兩要素：大小和方向。
2、向量的模
向量的大小叫做向量的長度（或稱模），記作：
|AB→|或|a|。
3、幾種特殊的向量
（1）零向量
長度為0的向量叫做零向量，記作0，其方向是任意的，|0|=0。
規定：0與任一向量平行。
（2）單位向量
長度為1個單位的向量叫做單位向量。
（3）平行向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫共線向量。
向量a與b平行，通常記作a∥b。
（4）相等向量
長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。向量a與b相等，記作a=b。
① 平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量。
② 相等向量具有傳遞性，而向量的平行不具有傳遞性（因為有零向量的存在）。
（5）相反向量
長度相等且方向相反的向量叫做相反向量。向量a與b相反，記作a=−b。同時向量
AB→與向量
BA→是一對相反向量，記作
AB→=
−BA→。
注：①零向量和單位向量是兩個特殊的向量，它們的模是確定的，但是方向不確定，因此在解題時要注意它們的特殊性。
②任一向量和它的相反向量的和是零向量。零向量的相反向量仍是零向量。
④
a|a|表示與a同向的單位向量。
4、向量的線性運算
（1）向量的加法
求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。
注：向量的和仍是一個向量；對於零向量與任一向量a，有0+a=a+0=a，即任意向量與零向量的和為其本身。
① 常用結論
0+a=a+0=a，|a+b|⩽|a|+|b|。
當a與b同向時，|a+b|=|a|+|b|。
當a與b反向或a，b中至少有一個為0時，|a+b|=|a|−|b|（或|b|−|a|）。
② 向量加法的運算律
交換律：a+b=b+a。
結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
（2）向量的減法
求兩個向量差的運算，叫做向量的減法。
注：減去一個向量，相當於加上這個向量的相反向量，兩個向量的差仍是向量。
常用結論
−(−a)=a，a+(−a)=(−a)+a=0，a−b=a+(−b)。
（3）向量的數乘
一般地，我們規定實數λλ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λλa。它的長度與方向規定如下：
① λλ|λa|=|λ||a|。
② 當λλ=0時，λλa=0；當λλ<0時，λλa的方向與a的方向相反；當λλ>0時，λλa的方向與a的方向相同。
向量數乘運算的結果仍是向量。實數與向量可以求積，但不能進行加減運算，如λλ+a，λλ−a無意義。
向量數乘的運算律
設λλ，μμ為實數，則有：
λμλμλ(μa)=(λμ)a（結合律）。
λμλμ(λ+μ)a=λa+μa（第一分配律）。
λλλλ(a+b)=λa+λb（第二分配律）。
特別地，我們有：
λλλ(−λ)a=−(λa)=λ(−a)。
λλλλ(a−b)=λa−λb。
（4）向量的線性運算
向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算。對於任意向量a，b以及任意實數λλ，μ
μ1，μ
μ2，恆有λμ
μ
λ(μ1a±μ2b)=λμ
λμ
λμ1a±λμ2b。
5、向量共線定理
向量a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數λλ，使λb=λa。
注：（1）定理中a(a≠0)不能漏掉。若a=b=0，則實數λλ可以是任意實數；若a=0，b≠0，則不存在實數λλ，使得λb=λa。
（2）對任意兩個向量a，b，若存在不全為0的實數對（λλ，μμ），使λμλa+μb=0，則a與b共線。
（3）向量共線定理主要用來證明兩條直線平行、三點共線等問題。
6、平面向量基本定理
如果
e1，
e2是同一平面內的兩個不共線向量，那麼對於這一平面內任意向量a，有且只有一對實數λ
λ1，λ
λ2，使λ
λ
a=λ1e1+λ2e2。把不共線的向量
e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底。
定理的推廣：平面內任意三個不共線（兩兩不共線）的向量中，任何一個向量都可表示為其餘兩個向量的線性組合且形式唯一。
注：（1）由於零向量與任何向量都共線，所以零向量不能作為基底。
（2）如果對於一組基底
e2，有a=λ
λ1e1+λ
λ2e2=μ
μ1e1+μ
μ2e2，則可以得到λ
λ1=μ1，且λ
λ2=μ2。
7、向量的夾角
已知兩個非零向量a和b，作
OA→=a，
OB→=b，則θ∠AOB=θ（θ0°⩽θ⩽180°）叫做向量a與b的夾角。
當θθ=0°時，向量a，b共線且同向；
當θθ=90°時，向量a，b相互垂直，記作a⊥b；
當θθ=180°時，向量a，b共線且反向。
注：（1）向量的夾角是針對非零向量定義的。
（2）只有兩個向量的起點重合時所對應的角才是兩向量的夾角。
8、平面向量的座標運算
已知
A=(x1,y1)，
B=(x2,y2)，則
AB→=(x2−x1,y2−y1)。
一個向量的座標等於表示此向量的有向線段的終點的座標減去始點的座標。
注：（1）相等的向量座標相同，但起點和終點的座標不一定相同；（2）向量的座標與表示該向量的有向線段的端點無關，只與其相對位置有關。
9、平面向量的座標表示
（1）平面向量共線的座標表示
a=(x1,y1)，
b=(x2,y2)，若a∥b，則有
x1y2−x2y1=0。當且僅當
(x2≠0,y2≠0)時，a∥b⇔
x1x2=y1y2，即兩個不平行於座標軸的共線向量的對應座標成比例。
注：若
B=(x2,y2)，
C=(x3,y3)三點共線，則
(x2−x1)(y3−y2)=
(x3−x2)(y2−y1)，或
(x2−x1)(y3−y1)=
(x3−x1)(y2−y1)，或
(x3−x1)(y3−y2)=
(x3−x2)(y3−y1)。反之，若這些條件中有一個成立，則A，B，C三點共線。
（2）平面向量垂直的座標表示
b=(x2,y2)，若a⊥b，則有a·b=
x1x2+y1y2=0。
（3）線段中點的座標表示
已知點P為線段
P1P2的中點，且
P1(x1,y1)，
P2(x2,y2)，P(x,y)，則有
x=x1+x22，
y=y1+y22。
10、平面向量的數量積
已知兩個非零向量a與b，我們把數量θ|a||b|·cosθ叫做a與b的數量積（或內積），記作a·b，即a·b=θ|a||b|·cosθ，其中θθ是a與b的夾角。
兩個向量夾角的取值範圍是[0°,180°]，零向量與任一向量的數量積為0。
數量積的幾何意義
數量積a·b等於a的長度|a|與b在a的方向上的投影θ|b|cosθ的乘積。
注：①投影和兩個向量的數量積都是數量，不是向量。當θθ為銳角時投影為正值；當θθ為鈍角時投影為負值；當θθ為直角時投影為0；當θθ=0°時投影為|b|；當θθ=180°時投影為−|b|。
② b在a方向上的投影可以記為θ|b|cosθ，也可記為
a·b|a|。
一、平面向量和幾種特殊的向量
1、向量
既有大小又有方向的量叫向量。以A為起點、B為終點的向量記作：
AB→或\boldsymbola。
向量的兩要素：大小和方向。
2、向量的模
向量的大小叫做向量的長度（或稱模），記作：
|AB→|或|a|。
3、幾種特殊的向量
（1）零向量
長度為0的向量叫做零向量，記作0，其方向是任意的，|0|=0。
規定：0與任一向量平行。
（2）單位向量
長度為1個單位的向量叫做單位向量。
（3）平行向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫共線向量。
向量a與b平行，通常記作a∥b。
（4）相等向量
長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。向量a與b相等，記作a=b。
① 平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量。
② 相等向量具有傳遞性，而向量的平行不具有傳遞性（因為有零向量的存在）。
（5）相反向量
長度相等且方向相反的向量叫做相反向量。向量a與b相反，記作a=−b。同時向量
AB→與向量
BA→是一對相反向量，記作
AB→=
−BA→。
注：①零向量和單位向量是兩個特殊的向量，它們的模是確定的，但是方向不確定，因此在解題時要注意它們的特殊性。
②任一向量和它的相反向量的和是零向量。零向量的相反向量仍是零向量。
④
a|a|表示與a同向的單位向量。
4、向量的線性運算
（1）向量的加法
求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。
注：向量的和仍是一個向量；對於零向量與任一向量a，有0+a=a+0=a，即任意向量與零向量的和為其本身。
① 常用結論
0+a=a+0=a，|a+b|⩽|a|+|b|。
當a與b同向時，|a+b|=|a|+|b|。
當a與b反向或a，b中至少有一個為0時，|a+b|=|a|−|b|（或|b|−|a|）。
② 向量加法的運算律
交換律：a+b=b+a。
結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
（2）向量的減法
求兩個向量差的運算，叫做向量的減法。
注：減去一個向量，相當於加上這個向量的相反向量，兩個向量的差仍是向量。
常用結論
−(−a)=a，a+(−a)=(−a)+a=0，a−b=a+(−b)。
（3）向量的數乘
一般地，我們規定實數λλ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λλa。它的長度與方向規定如下：
① λλ|λa|=|λ||a|。
② 當λλ=0時，λλa=0；當λλ<0時，λλa的方向與a的方向相反；當λλ>0時，λλa的方向與a的方向相同。
向量數乘運算的結果仍是向量。實數與向量可以求積，但不能進行加減運算，如λλ+a，λλ−a無意義。
向量數乘的運算律
設λλ，μμ為實數，則有：
λμλμλ(μa)=(λμ)a（結合律）。
λμλμ(λ+μ)a=λa+μa（第一分配律）。
λλλλ(a+b)=λa+λb（第二分配律）。
特別地，我們有：
λλλ(−λ)a=−(λa)=λ(−a)。
λλλλ(a−b)=λa−λb。
（4）向量的線性運算
向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算。對於任意向量a，b以及任意實數λλ，μ
μ1，μ
μ2，恆有λμ
μ
λ(μ1a±μ2b)=λμ
λμ
λμ1a±λμ2b。
5、向量共線定理
向量a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數λλ，使λb=λa。
注：（1）定理中a(a≠0)不能漏掉。若a=b=0，則實數λλ可以是任意實數；若a=0，b≠0，則不存在實數λλ，使得λb=λa。
（2）對任意兩個向量a，b，若存在不全為0的實數對（λλ，μμ），使λμλa+μb=0，則a與b共線。
（3）向量共線定理主要用來證明兩條直線平行、三點共線等問題。
6、平面向量基本定理
如果
e1，
e2是同一平面內的兩個不共線向量，那麼對於這一平面內任意向量a，有且只有一對實數λ
λ1，λ
λ2，使λ
λ
a=λ1e1+λ2e2。把不共線的向量
e1，
e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底。
定理的推廣：平面內任意三個不共線（兩兩不共線）的向量中，任何一個向量都可表示為其餘兩個向量的線性組合且形式唯一。
注：（1）由於零向量與任何向量都共線，所以零向量不能作為基底。
（2）如果對於一組基底
e1，
e2，有a=λ
λ1e1+λ
λ2e2=μ
μ1e1+μ
μ2e2，則可以得到λ
μ
λ1=μ1，且λ
μ
λ2=μ2。
7、向量的夾角
已知兩個非零向量a和b，作
OA→=a，
OB→=b，則θ∠AOB=θ（θ0°⩽θ⩽180°）叫做向量a與b的夾角。
當θθ=0°時，向量a，b共線且同向；
當θθ=90°時，向量a，b相互垂直，記作a⊥b；
當θθ=180°時，向量a，b共線且反向。
注：（1）向量的夾角是針對非零向量定義的。
（2）只有兩個向量的起點重合時所對應的角才是兩向量的夾角。
8、平面向量的座標運算
已知
A=(x1,y1)，
B=(x2,y2)，則
AB→=(x2−x1,y2−y1)。
一個向量的座標等於表示此向量的有向線段的終點的座標減去始點的座標。
注：（1）相等的向量座標相同，但起點和終點的座標不一定相同；（2）向量的座標與表示該向量的有向線段的端點無關，只與其相對位置有關。
9、平面向量的座標表示
（1）平面向量共線的座標表示
已知
a=(x1,y1)，
b=(x2,y2)，若a∥b，則有
x1y2−x2y1=0。當且僅當
(x2≠0,y2≠0)時，a∥b⇔
x1x2=y1y2，即兩個不平行於座標軸的共線向量的對應座標成比例。
注：若
A=(x1,y1)，
B=(x2,y2)，
C=(x3,y3)三點共線，則
(x2−x1)(y3−y2)=
(x3−x2)(y2−y1)，或
(x2−x1)(y3−y1)=
(x3−x1)(y2−y1)，或
(x3−x1)(y3−y2)=
(x3−x2)(y3−y1)。反之，若這些條件中有一個成立，則A，B，C三點共線。
（2）平面向量垂直的座標表示
已知
a=(x1,y1)，
b=(x2,y2)，若a⊥b，則有a·b=
x1x2+y1y2=0。
（3）線段中點的座標表示
已知點P為線段
P1P2的中點，且
P1(x1,y1)，
P2(x2,y2)，P(x,y)，則有
x=x1+x22，
y=y1+y22。
10、平面向量的數量積
已知兩個非零向量a與b，我們把數量θ|a||b|·cosθ叫做a與b的數量積（或內積），記作a·b，即a·b=θ|a||b|·cosθ，其中θθ是a與b的夾角。
兩個向量夾角的取值範圍是[0°,180°]，零向量與任一向量的數量積為0。
數量積的幾何意義
數量積a·b等於a的長度|a|與b在a的方向上的投影θ|b|cosθ的乘積。
注：①投影和兩個向量的數量積都是數量，不是向量。當θθ為銳角時投影為正值；當θθ為鈍角時投影為負值；當θθ為直角時投影為0；當θθ=0°時投影為|b|；當θθ=180°時投影為−|b|。
② b在a方向上的投影可以記為θ|b|cosθ，也可記為
a·b|a|。