考點：利用導數研究函式的單調性；函式單調性的性質．
專題：壓軸題；導數的綜合應用．
分析：（I）利用導數的運演算法則求出f′（x），分別解出f′（x）＞0與f′（x）＜0的x取值範圍即可得到單調區間；
（II）當f（x1）=f（x2）（x1≠x2）時，不妨設x1＜x2．由（I）可知：x1∈（-∞，0），x2∈（0，1）．利用導數先證明：x∈（0，1），f（x）＜f（-x）．而x2∈（0，1），可得f（x2）＜f（-x2）．即f（x1）＜f（-x2）．由於x1，-x2∈（-∞，0），f（x）在（-∞，0）上單調遞增，因此得證．
解答：解：（I）易知函式的定義域為R．
f′(x)＝(
1x
1+x2
)′ex+
ex=
x22x1
(1+x2)2
ex+
x[(x1)2+2]
ex，
當x＜0時，f′（x）＞0；當x＞0時，f′（x）＜0．∴函式f（x）的單調遞增區間為（-∞，0），單調遞減區間為（0，+∞）．
（II）當x＜1時，由於
＜0，ex＞0，得到f（x）＞0；同理，當x＞1時，f（x）＜0．
當f（x1）=f（x2）（x1≠x2）時，不妨設x1＜x2．
由（I）可知：x1∈（-∞，0），x2∈（0，1）．
下面證明：x∈（0，1），f（x）＜f（-x），即證
ex＜
1+x
ex．此不等式等價於(1x)ex
ex
＜0．
令g（x）=(1x)ex
，則g′（x）=-xe-x（e2x-1）．
當x∈（0，1）時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，∴g（x）＜g（0）=0．
即(1x)ex
∴x∈（0，1），f（x）＜f（-x）．
而x2∈（0，1），∴f（x2）＜f（-x2）．
從而，f（x1）＜f（-x2）．
由於x1，-x2∈（-∞，0），f（x）在（-∞，0）上單調遞增，
∴x1＜-x2，即x1+x2＜0．
點評：本題綜合考查了利用導數研究函式的單調性、等價轉化問題等基礎知識與基本技能，需要較強的推理能力和計算能力．
http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/3927918b-f767-4a56-81fb-7911e1147c6d
考點：利用導數研究函式的單調性；函式單調性的性質．
專題：壓軸題；導數的綜合應用．
分析：（I）利用導數的運演算法則求出f′（x），分別解出f′（x）＞0與f′（x）＜0的x取值範圍即可得到單調區間；
（II）當f（x1）=f（x2）（x1≠x2）時，不妨設x1＜x2．由（I）可知：x1∈（-∞，0），x2∈（0，1）．利用導數先證明：x∈（0，1），f（x）＜f（-x）．而x2∈（0，1），可得f（x2）＜f（-x2）．即f（x1）＜f（-x2）．由於x1，-x2∈（-∞，0），f（x）在（-∞，0）上單調遞增，因此得證．
解答：解：（I）易知函式的定義域為R．
f′(x)＝(
1x
1+x2
)′ex+
1x
1+x2
ex=
x22x1
(1+x2)2
ex+
1x
1+x2
ex=
x[(x1)2+2]
(1+x2)2
ex，
當x＜0時，f′（x）＞0；當x＞0時，f′（x）＜0．∴函式f（x）的單調遞增區間為（-∞，0），單調遞減區間為（0，+∞）．
（II）當x＜1時，由於
1x
1+x2
＜0，ex＞0，得到f（x）＞0；同理，當x＞1時，f（x）＜0．
當f（x1）=f（x2）（x1≠x2）時，不妨設x1＜x2．
由（I）可知：x1∈（-∞，0），x2∈（0，1）．
下面證明：x∈（0，1），f（x）＜f（-x），即證
1x
1+x2
ex＜
1+x
1+x2
ex．此不等式等價於(1x)ex
1+x
ex
＜0．
令g（x）=(1x)ex
1+x
ex
，則g′（x）=-xe-x（e2x-1）．
當x∈（0，1）時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，∴g（x）＜g（0）=0．
即(1x)ex
1+x
ex
＜0．
∴x∈（0，1），f（x）＜f（-x）．
而x2∈（0，1），∴f（x2）＜f（-x2）．
從而，f（x1）＜f（-x2）．
由於x1，-x2∈（-∞，0），f（x）在（-∞，0）上單調遞增，
∴x1＜-x2，即x1+x2＜0．
點評：本題綜合考查了利用導數研究函式的單調性、等價轉化問題等基礎知識與基本技能，需要較強的推理能力和計算能力．
http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/3927918b-f767-4a56-81fb-7911e1147c6d