法國數學家傅立葉發現，任何週期函式都可以用正弦函式和餘弦函式構成的無窮級數來表示（選擇正弦函式與餘弦函式作為基函式是因為它們是正交的），後世稱為傅立葉級數（法文：série de Fourier，或譯為傅立葉級數）一種特殊的三角級數。

中文名

傅立葉級數

外文名

Fourier series

表示式

一種特殊的三角級數

提出者

法國數學家傅立葉

應用學科

數學

傅立葉變換和傅立葉級數的關係傅立葉係數格林公式傅立葉變換公式傅立葉博立葉級數冪級數傅立葉函式電位移傅立葉定律

詞條釋義

Fourier series

傅立葉級數

一種特殊的三角級數。法國數學家J.-B.-J.傅立葉在研究偏微分方程的邊值問題時提出。從而極大地推動了偏微分方程理論的發展。在中國，程民德最早系統研究多元三角級數與多元傅立葉級數。他首先證明多元三角級數球形和的唯一性定理，並揭示了多元傅立葉級數的里斯- 博赫納球形平均的許多特性。傅立葉級數曾極大地推動了偏微分方程理論的發展。在數學物理以及工程中都具有重要的應用。

公式

給定一個週期為T的函式x(t)，那麼它可以表示為無窮級數：

（j為虛數單位）（1）

其中，a_k可以按下式計算：（2）　　注意到；是週期為T的函式，故k 取不同值時的週期訊號具有諧波關係（即它們都具有一個共同週期T）。k=0時，（1）式中對應的這一項稱為直流分量，k=\pm 1時具有基波頻率，稱為一次諧波或基波，類似的有二次諧波，三次諧波等等。

性質介紹

收斂性

傅立葉級數的收斂性：滿足狄利赫裡條件的週期函式表示成的傅立葉級數都收斂。狄利赫裡條件如下：

在任何週期內，x(t）須絕對可積；

傅立葉級數　　在任一有限區間中，x(t）只能取有限個最大值或最小值；

傅立葉級數

在任何有限區間上，x(t）只能有有限個第一類間斷點。

吉布斯現象：在x(t）的不可導點上，如果我們只取（1）式右邊的無窮級數中的有限項作和X(t），那麼X(t）在這些點上會有起伏。一個簡單的例子是方波訊號。

正交性

所謂的兩個不同向量正交是指它們的內積為0，這也就意味著這兩個向量之間沒有任何相關性，例如，在三維歐氏空間中，互相垂直的向量之間是正交的。事實上，正交是垂直在數學上的的一種抽象化和一般化。

傅立葉級數

一組n個互相正交的向量必然是線形無關的，所以必然可以張成一個n維空間，也