π的歷史簡介

眾所周知，\pi=3.141592653可以說，它是世界上最有名的無理常數了，代表的是一個圓的周長與直徑之比或稱為“圓周率”。公元前250年左右，阿基米德給出了“圓周率”的估計值在 \frac{223}{71}\sim\frac{22}{7} 之間，也即是在 3.140845\sim3.142857 之間。

中國南北朝時期的著名數學家祖沖之(429-500)首次將“圓周率”精算到小數第七位，即在3.1415926和3.1415927之間，他提出的“密率與約率”對數學的研究有重大貢獻。直到15世紀，阿拉伯數學家阿爾·卡西才以“精確到小數點後17位”打破了這一紀錄。

代表“圓周率”的字母\pi是第十六個希臘字母的小寫。也是希臘語 περιφρεια（表示周邊，地域，圓周）的首字母。1706年英國數學家威廉·瓊斯(William Jones, 1675-1749)最先使用“\pi”來表示圓周率。1736年，瑞士數學家尤拉(Leonhard Euler, 1707-1783)也開始用表示圓周率。從此，\pi便成了圓周率的代名詞。

π為什麼是常數？

介紹完一些關於 \pi 的來歷後，我準備著手沿著古人的方式去尋找\pi，但此時我發現忽略了一個重要的前提條件——為什麼π是一個常數？即為什麼所有圓的周長和直徑之比為一個定值，這一點似乎並不能夠自然而然地就得到。因此在尋找這個常數之前，先要做的應當是證明“圓的周長與直徑之比確實是一個常數”。

如上圖1所示，以點O為圓心作兩個半徑不同的圓，小圓的半徑為 r_1 ，周長為 c_1 ；大圓的半徑為 r_2 ，周長為 c_2 。分別作兩個圓的內接正n邊形（ n 為偶數），邊長分別為 k_1 和 k_2 ，且保證正兩個n邊形過圓心的對角線重合。

那麼有 OA:OD=OB:OC，∠AOB=∠COD， 因此 △OAB∽△OCD 。

所以有 \frac{k_1}{r_1}=\frac{k_2}{r_2} 。

設小正n邊形和大正n邊形的周長分別為c_1"和 c_2" ，則有 c_1"=nk_1 ， c_2"=nk_2。

所以有 \frac{c_1"}{r_1}=\frac{c_2"}{r_2} 。

由於當 n\rightarrow\infty 時， c_1"=c_1 ， c_2"=c_2 ，即取極限或者說是逼近的思想，當邊數區域無窮，內接多邊形就近似是一個圓了，後面尋找\pi時還會再次用到這個思想。

所以就有 \frac{c_1}{r_1}=\frac{c_2}{r_2} ，表示的是：對於半徑不同的圓，其各自周長與半徑的比為定值，或者說為常數，記該常數為2\pi，則圓的周長與直徑之比為\pi，當然也是一個常數，證明完畢。

好，既然圓的周長和直徑之比是一個常數，下一步要做的就是去尋找這個常數或它的近似值了。

我們可以從書中、從網上、從各種我們能夠想到的渠道獲得這個神奇的常數。不過，如果只給你一支筆、一張紙，你能否找到它的近似值呢？

阿基米德的智慧

阿基米德(Archimedes, 287-212 BC) 在2200多年前就已經透過計算得到了精度高達99.9%的\pi，在他那個年代還沒有定義小數，甚至連“0”的定義都沒有（相傳“0”是到了公元5世紀才由印度人最先用於計算之中），那麼他當年是怎麼計算π的呢？

在得到圓周率之前，阿基米德當然無法知道一個圓的周長，但是他可以從他知道的開始，比如正方形（實際上他用的是正六邊形，為了演示方便，這裡從正方形開始）

對於上圖3中一個已知直徑為1的單位圓（其周長即為\pi），可以以其直徑為邊長作出其外切正方形，也可以以其直徑為對角線作出其內接正方形。不管圓的周長是多少，其總滿足大於內接正方形的周長，小於外切正方形的周長。

外切正方形周長：

P_4=1\times4=4

內接正方形周長根據勾股定理有：

p_4\approx0.7\times4=2.8

假設現在\pi的大小未知，我們只能肯定\pi在2.8到4之間，先取箇中間值作為\pi的估計值，約等於3.4。我們發現這樣精度很低，因為用4邊形來估算實在是太“粗糙”了，為了提高這種方法的精度，可以用邊數更多的正多邊形來逼近。

圖4可以看出，到了正八邊形時，內接八邊形與外切八邊形之間的“間隙”比正方形的情況小了。此時 π 的估算值相對於正方形的情況會有一個精度上的提升。但是，現在的問題是：八邊形的周長如何計算？而且就算把八邊形的周長計算出來了，那16邊形、32邊形豈不是精度更高，那又該怎麼計算？

正多邊形逼近

下面圖5需要用到兩條基本定理：

定理一：半圓的內接三角形為直角三角形，且直角頂點在圓周上。

定理二：圓的弦所對應的圓周角為其所對應的圓心角的一半。

定理一的證明，證明半圓的內接三角形為直角三角形：

對於上圖，令半徑為 r 的半圓圓心在座標原點，三角形的一邊為半圓直徑，一個頂點 C 在半圓的圓周上，座標為 (x,y) 。

則有：AC²+BC²=(x+r)²+y²+(x-r)²+y²

=2(x²+y²)+2r²

=4r² since x²+y²=r²

=d²

根據勾股定理可知， ∠ACB為90° 。

定理二的證明：即“圓上同一根弦所對應的圓周角為圓心角的一半”，可以用下圖證明：

對於 △AOC ，因為 OA=OC ，即為等腰三角形。有 ∠OAC=∠OCA ；又因為外角等於不相鄰的量內角的和，所以 ∠BOC=∠OAC+∠OCA ，因此有 γ=α 。即圓上的一條弦所對應的圓周角是其所對應圓心角的一半。對於內接多邊形：

如下圖所示，對於直徑為1的圓，設內接多邊形的每個邊的邊長為 S_n ，每個邊對應的圓心角為 x 。

對於內接多邊形：

如下圖6所示，對於直徑為1的圓，設內接多邊形的每個邊的邊長為 S_n ，每個邊對應的圓心角為 x 。

根據定理一和二，可以得出，內接多邊形的邊長 S_n=\sin(\frac{x}{2}) 。

對於外切多邊形

如下圖7所示，易得，外切多邊形的邊長為 T_n=\tan(\frac{x}{2}) 。

所以，對於正方形

單位圓內接正方形的周長為：

p_4=4×\sin[(360°/4)/2]= 2.8284271247

單位圓外切正方形的周長為：

P_4=4×\tan[(360°/4)/2]=4

而對於正八邊形

單位圓內接正八邊形的周長為：

p_8=8×\sin[(360°/8)/2]= 3.0614674589

單位圓外切正八邊形的周長為：

P_8=8×\tan[(360°/8)/2]= 3.313708499

因此，對於正 n邊形

單位圓內接正 n 邊形的周長為：

p_n=n×\sin[(360°/n)/2]

單位圓外切正n邊形的周長為：

P_n=n×\tan[(360°/n)/2]

對於我們來說，問題似乎已經解決了，只要 n 足夠大，結果就會很精確，可以透過不停地增大 n 直到直達到想要的精度。

但是，又忽略了一個問題！阿基米德那個時代並沒有計算器，不像今天，想算 sin或者 tan，So easy~只需要按幾個鍵就行了。因此，直接用三角函式計算在當時其實是行不通的！

阿基米德迭代演算法

阿基米德不愧是數學大師。為了解決這一棘手的問題，阿基米德發明了一種“迭代演算法”：

為了方便計算，將內接和外切多邊形的邊數定為 2^n 個， n 為整數，且 n≥2 ，如下圖8所示。

求無理數π的近似值，中國古代數學家早已作出了巨大的貢獻。

在東漢初年的數學書《 周髀算經》裡已經載有“周三徑一”，稱之為“古率”，就是說，直徑是1的圓，它的周長是3； 到了西漢末年，劉歆(約分元前50年到公元23年)定圓周率為3.1547；到了東漢時代，張衡(公元78－139年)求得兩個比，一是92 29=3.17241…，另一個是10，約等於3.1622.(印度數學家羅笈多也曾定圓周率為10，但已遲於張衡500多年.) 到了三國時，魏人劉徽(公元263年)創立了求圓周率的準確值的原理，他用割圓術求得圓周率的前三位數字是π≈3.14…，稱為徽率. 到南北朝時代的祖沖之(公元429年—500年)，他已推算出 3.1415926＜π＜3.1415927. 也就是π≈3.1415926…，他是世界上第一個確定圓周率準確到7位小數的人.祖沖之又提出了用兩個分數表示π的近似值.即22 7及355 113，分別稱為π的約率和密度. 在祖沖之發現密率一千多年後，歐洲的安託尼茲(16世紀～17世紀)才重新發現了這個值。

但貢獻是貢獻，差距是差距。在自然科學發展史上，我們要正視自己的長處和短處！在這個問題上楊振寧教授有過精闢的論述。他說我們的思維導圖中缺乏最重要的一種思維方式，那就是推演。對它的缺乏，導致我們近代以後在自然科學上的落伍。近代以來影響世界和人類生活的眾多發明創造都缺少我們的參與。像牛頓、愛因斯坦這樣的偉大科學家以及他們做出的偉大貢獻，我們是望塵莫及的，同時代的中國的科學家郭守敬、沈括等能代表最高科技成就的人，也沒有依靠自己的科學技術為社會發展和促進生產力以及人類進步做出更大貢獻，這不得不引起我們的深思！