一、等角型
等角型即在二次函式綜合題中要我們找一個或幾個以動點為原點的角等於已知角的情況，在圓中有許多與"等角"相關的定理或結論，如"同弧（或等弧）所對的圓心角相等、圓周角相等"等，那麼在一個圓周上找一個角等於己知圓周角就變得非常容易.
1．如圖，已知拋物線y＝ax²+bx+c（a≠0）與x軸交於A（1，0）、B（4，0）兩點，與y軸交於C（0，2），連線AC、BC．
（1）求拋物線解析式；
（2）BC的垂直平分線交拋物線於D、E兩點，求直線DE的解析式；
（3）若點P在拋物線的對稱軸上，且∠CPB＝∠CAB，求出所有滿足條件的P點座標．
【解析】（1）將A（1，0）、B（4，0）、C（0，2）三點座標代入拋物線y＝ax²+bx+c（a≠0）中，列方程組求a、b、c的值即可,故這個拋物線的解析式為y＝1/2x²﹣5/2x+2．
（2）如圖1，設BC的垂直平分線DE交BC於M，交x軸於N，連線CN，過點M作MF⊥x軸於F．可得△BMF∽△BCO，根據相似三角形的性質，垂直平分線的性質和勾股定理可求直線DE上兩點M、N的座標，再根據待定係數法可求直線DE的解析式直線DE的解析式為y＝2x﹣3．
對於第（3）小題中點P的位置難以確定，且條件∠CPB=∠CAB難以利用.題中條件和結論看似與圓無關，但是透過構造三角形的外接圓，條件∠CPB=∠CAB變得形象，並得以完美利用，透過性質"同弧（或等弧）所對的圓周角相等"可方便的確定點p的位置，再利用同一圓中半徑相等求出點P的座標在這類角相等中有一個很明是的特徵，就是這兩個角可以作為兩個三角形的內角，且滿足兩個條件：①這兩個角所對的邊是同一條邊；②這兩個角在這條邊的同一副，此時兩個角的兩個頂點和這條邊的兩個端點滿足"四點共圓"，且兩個角作為圓周角所對的弧是同一條弧。
二、直角型
直角型即在二次函式綜合題中找一個動點為頂點的角是直角的情況此時，利用圓周角定理得推論："直徑所對的圓周角是直角：90°的圓周角所對的弦是直徑，"可輕易確定角所在的位置.
2.如圖，已知拋物線y＝ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝﹣1，且拋物線與x軸交於A、B兩點，與y軸交於C點，其中A（1，0），C（0，3）．
（1）若直線y＝mx+n經過B、C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸x＝﹣1上找一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求出點M的座標；
（3）設點P為拋物線的對稱軸x＝﹣1上的一個動點，求使△BPC為直角三角形的點P的座標．
【解析】本題綜合考查了二次函式的圖象與性質、待定係數法求函式（二次函式和一次函式）的解析式、利用軸對稱性質確定線段的最小長度、難度不是很大，是一道不錯的中考壓軸題
三、最大角型
最大角型即在二次函式綜合題中找一個以動點為項點的角最大.在圓中圓外角、圓內角和圓周角具有"在同圓中，同弧所對的圓外角小於圓內角，同弧所對的週週角大於圓外角"的結論，可以來確定最大角的位置。
3．如圖1，在平面直角座標系中，二次函式y＝ax2+bx+c的圖象經過點A（﹣1，0），B（4，0）、C（0，√3），其中對稱軸與x軸交於點E．
（1）求此二次函式的表示式；
（2）如圖1，若P為y軸上的一個動點，連線PE，求1/2PC+PE的最小值；
（3）如圖2，過點C作CF∥AB，交拋物線與點F，M為線段CF的一個動點，連線MO、MB，是否存在一點M，使得sin∠OMB的值最大？若存在，求出此時sin∠OMB的值；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）根據待定係數法，可得函式解析式為y＝﹣√3/4x²+3√3/4x+√2，
（2）如圖1中，連線AC，作EH⊥AC於H，交OC於P，此時1/2 PC+PE最小．最小值就是線段EH，求出EH即可．
（3）不存在點M，使sin∠OMB的值最大，當QP⊥CF的平行線時，QP最小，此時⊙Q與CF的平行線相切於點P，sin∠OPB最大，CF上不存在點M使sin∠OMB最大．
（2）如圖1中，連線AB，作DH⊥AB於H，交OB於P，此時1/2 PC+PE最小．
（3）CF上不存在點P，使sin∠OMB的值最大，
如圖2，設∠POB的外接圓為⊙Q，QG是弦心距，則∠OQG＝∠OPB，在Rt△OQG中，OG為定值，當⊙Q的半徑最小時，∠OGQ最大，當QP⊥CF時，QP最小，此時⊙Q與CF的平行線相切於點P，sin∠OPB最大，P點不在CF上，
即CF上不存在M點使sin∠OMB的值最大．
【點評】題考查二次函式綜合題、根與係數關係、勾股定理、平行線分線段成比例定理、圓、銳角三角函式等知識，解題的關鍵是學會利用根與係數的關係構建方程解決問題，學會新增常用輔助線，構造圓解決問題，屬於中考壓軸題．
變式1．在平面直角座標系中，O是座標原點，直角梯形AOCD的頂點A的座標為（0，√3），點D的座標為（1，√3），點C在x軸的正半軸上，過點O且以點D為頂點的拋物線經過點C，點P為CD的中點．
（1）求拋物線的解析式及點P的座標；
（2）在y軸右側的拋物線上是否存在點Q，使以Q為圓心的圓同時與y軸、直線OP相切？若存在，請求出滿足條件的點Q的座標；若不存在，請說明理由；
（3）點M為線段OP上一動點（不與O點重合），過點O、M、D的圓與y軸的正半軸交於點N．求證：OM+ON為定值．
（4）在y軸上找一點H，使∠PHD最大．試求出點H的座標．
【解析】（1）因為拋物線的頂點D的座標為（1，√3），所以可設設拋物線的解析式為y=a(x-1)²+√3，又因為函式圖象過原點，所以把（0，0）代入求出a的值即可求出拋物線的解析式，設y＝0，則可求出拋物線和x軸的交點座標，進而求出點P的座標P( 3/2，√3/2 )；
（3）由圓周角定理可證明MD＝ND，進而證明△NAD≌△MPD（HL），由全等三角形的性質可得MP＝AN，所以OM+ON＝OP﹣MP+OA+AN＝OP+OA＝2OA＝√3，則OM+ON＝2√3，即OM+ON為定值；
（4）作過P、D兩點且與y軸相切於點H的圓S，
則由圓周角大於圓外角可知，∠PHD最大．
四、特殊角問題
4．如圖，在平面直角座標系中，二次函式y＝ax²+bx+c的圖象經過點A（﹣1，0），B（0，﹣√3），C（2，0），其對稱軸與x軸交於點D
（1）求二次函式的表示式及其頂點座標；
（2）若P為y軸上的一個動點，連線PD，則1/2PB+PD的最小值為______；
（3）M（x，t）為拋物線對稱軸上一動點
①若平面記憶體在點N，使得以A，B，M，N為頂點的四邊形為菱形，則這樣的點N共有_____個；
②連線MA，MB，若∠AMB不小於60°，求t的取值範圍．
【解析】（1）利用待定係數法轉化為解方程組解決問題．
（2）如圖1中，連線AB，作DH⊥AB於H，交OB於P，此時1/2PB+PD最小．
（3）①以A為圓心AB為半徑畫弧與對稱軸有兩個交點，以B為圓心AB為半徑畫弧與對稱軸也有兩個交點，線段AB的垂直平分線與對稱軸有一個交點，所以滿足條件的點M有5個，即滿足條件的點N也有5個，故答案為5．
②如圖，Rt△AOB中，∵tan∠ABO＝OA/OB=√3/3，∴∠ABO＝30°，
作AB的中垂線與y軸交於點E，連線EA，則∠AEB＝120°，
以E為圓心，EB為半徑作圓，與拋物線對稱軸交於點F、G．
則∠AFB＝∠AGB＝60°，從而線段FG上的點滿足題意，
本題考查二次函式綜合題、銳角三角函式、最短問題、圓等知識，解題的關鍵是掌握待定係數法確定函式解析式，學會利用垂線段最短解決實際問題中的最短問題，學會新增輔助線，構造圓解決角度問題，屬於中考壓軸題．
變式2．如圖，在平面直角座標系中，二次函式y＝ax²+bx﹣√3的圖象經過點A（﹣1，0）、C（2，0），與y軸交於點B，其對稱軸與x軸交於點D
（2）M（s，t）為拋物線對稱軸上的一個動點，
①若平面記憶體在點N，使得A、B、M、N為頂點的四邊形為矩形，直接寫出點M的座標；
②連線MA、MB，若∠AMB不小於60°，求t的取值範圍．
【解析】（1）根據二次函式y＝ax2+bx﹣√3的圖象經過點A（﹣1，0）、C（2，0），可以求得該函式的解析式，然後將函式解析式化為頂點式，即可得到該函式的頂點座標；
②根據題意，構造一個圓，然後根據圓周角與圓心角的關係和∠AMB不小於60°，即可求得t的取值範圍．
②如圖2所示，作AB的垂直平分線，於y軸交於點F，由題意知，AB＝2，∠BAF＝∠ABO＝30°，∠AFB＝120°，∴以F為圓心，AF長為半徑作圓交對稱軸於點M和M′點，
反思與總結
透過以上例題的解析，我們可以看出在求解二次函式綜合題中與"動點"相關的角度問題時，當這個"動角"的兩邊分別經過兩個確定點（或能用相關字母表示兩個點的登標）時，透過構站"輔助圓"，把圓中的相關結論遷移到二次函式數綜合題中，往往能快速確定角的位置並易現出一些有用的結論，我們可以利用勾股定理來求圓中半徑的長度，再利用圓中半徑相等的等量關係來建立關於滿足條件的動點座標或圓心座標的方程，"輔助圓"能把題中一些看似分散的條件集中起來，把隱藏的條件顯現出來，可以說是求解角度存在性難題一把利器。
一、等角型
等角型即在二次函式綜合題中要我們找一個或幾個以動點為原點的角等於已知角的情況，在圓中有許多與"等角"相關的定理或結論，如"同弧（或等弧）所對的圓心角相等、圓周角相等"等，那麼在一個圓周上找一個角等於己知圓周角就變得非常容易.
1．如圖，已知拋物線y＝ax²+bx+c（a≠0）與x軸交於A（1，0）、B（4，0）兩點，與y軸交於C（0，2），連線AC、BC．
（1）求拋物線解析式；
（2）BC的垂直平分線交拋物線於D、E兩點，求直線DE的解析式；
（3）若點P在拋物線的對稱軸上，且∠CPB＝∠CAB，求出所有滿足條件的P點座標．
【解析】（1）將A（1，0）、B（4，0）、C（0，2）三點座標代入拋物線y＝ax²+bx+c（a≠0）中，列方程組求a、b、c的值即可,故這個拋物線的解析式為y＝1/2x²﹣5/2x+2．
（2）如圖1，設BC的垂直平分線DE交BC於M，交x軸於N，連線CN，過點M作MF⊥x軸於F．可得△BMF∽△BCO，根據相似三角形的性質，垂直平分線的性質和勾股定理可求直線DE上兩點M、N的座標，再根據待定係數法可求直線DE的解析式直線DE的解析式為y＝2x﹣3．
對於第（3）小題中點P的位置難以確定，且條件∠CPB=∠CAB難以利用.題中條件和結論看似與圓無關，但是透過構造三角形的外接圓，條件∠CPB=∠CAB變得形象，並得以完美利用，透過性質"同弧（或等弧）所對的圓周角相等"可方便的確定點p的位置，再利用同一圓中半徑相等求出點P的座標在這類角相等中有一個很明是的特徵，就是這兩個角可以作為兩個三角形的內角，且滿足兩個條件：①這兩個角所對的邊是同一條邊；②這兩個角在這條邊的同一副，此時兩個角的兩個頂點和這條邊的兩個端點滿足"四點共圓"，且兩個角作為圓周角所對的弧是同一條弧。
二、直角型
直角型即在二次函式綜合題中找一個動點為頂點的角是直角的情況此時，利用圓周角定理得推論："直徑所對的圓周角是直角：90°的圓周角所對的弦是直徑，"可輕易確定角所在的位置.
2.如圖，已知拋物線y＝ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝﹣1，且拋物線與x軸交於A、B兩點，與y軸交於C點，其中A（1，0），C（0，3）．
（1）若直線y＝mx+n經過B、C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸x＝﹣1上找一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求出點M的座標；
（3）設點P為拋物線的對稱軸x＝﹣1上的一個動點，求使△BPC為直角三角形的點P的座標．
【解析】本題綜合考查了二次函式的圖象與性質、待定係數法求函式（二次函式和一次函式）的解析式、利用軸對稱性質確定線段的最小長度、難度不是很大，是一道不錯的中考壓軸題
三、最大角型
最大角型即在二次函式綜合題中找一個以動點為項點的角最大.在圓中圓外角、圓內角和圓周角具有"在同圓中，同弧所對的圓外角小於圓內角，同弧所對的週週角大於圓外角"的結論，可以來確定最大角的位置。
3．如圖1，在平面直角座標系中，二次函式y＝ax2+bx+c的圖象經過點A（﹣1，0），B（4，0）、C（0，√3），其中對稱軸與x軸交於點E．
（1）求此二次函式的表示式；
（2）如圖1，若P為y軸上的一個動點，連線PE，求1/2PC+PE的最小值；
（3）如圖2，過點C作CF∥AB，交拋物線與點F，M為線段CF的一個動點，連線MO、MB，是否存在一點M，使得sin∠OMB的值最大？若存在，求出此時sin∠OMB的值；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）根據待定係數法，可得函式解析式為y＝﹣√3/4x²+3√3/4x+√2，
（2）如圖1中，連線AC，作EH⊥AC於H，交OC於P，此時1/2 PC+PE最小．最小值就是線段EH，求出EH即可．
（3）不存在點M，使sin∠OMB的值最大，當QP⊥CF的平行線時，QP最小，此時⊙Q與CF的平行線相切於點P，sin∠OPB最大，CF上不存在點M使sin∠OMB最大．
（2）如圖1中，連線AB，作DH⊥AB於H，交OB於P，此時1/2 PC+PE最小．
（3）CF上不存在點P，使sin∠OMB的值最大，
如圖2，設∠POB的外接圓為⊙Q，QG是弦心距，則∠OQG＝∠OPB，在Rt△OQG中，OG為定值，當⊙Q的半徑最小時，∠OGQ最大，當QP⊥CF時，QP最小，此時⊙Q與CF的平行線相切於點P，sin∠OPB最大，P點不在CF上，
即CF上不存在M點使sin∠OMB的值最大．
【點評】題考查二次函式綜合題、根與係數關係、勾股定理、平行線分線段成比例定理、圓、銳角三角函式等知識，解題的關鍵是學會利用根與係數的關係構建方程解決問題，學會新增常用輔助線，構造圓解決問題，屬於中考壓軸題．
變式1．在平面直角座標系中，O是座標原點，直角梯形AOCD的頂點A的座標為（0，√3），點D的座標為（1，√3），點C在x軸的正半軸上，過點O且以點D為頂點的拋物線經過點C，點P為CD的中點．
（1）求拋物線的解析式及點P的座標；
（2）在y軸右側的拋物線上是否存在點Q，使以Q為圓心的圓同時與y軸、直線OP相切？若存在，請求出滿足條件的點Q的座標；若不存在，請說明理由；
（3）點M為線段OP上一動點（不與O點重合），過點O、M、D的圓與y軸的正半軸交於點N．求證：OM+ON為定值．
（4）在y軸上找一點H，使∠PHD最大．試求出點H的座標．
【解析】（1）因為拋物線的頂點D的座標為（1，√3），所以可設設拋物線的解析式為y=a(x-1)²+√3，又因為函式圖象過原點，所以把（0，0）代入求出a的值即可求出拋物線的解析式，設y＝0，則可求出拋物線和x軸的交點座標，進而求出點P的座標P( 3/2，√3/2 )；
（3）由圓周角定理可證明MD＝ND，進而證明△NAD≌△MPD（HL），由全等三角形的性質可得MP＝AN，所以OM+ON＝OP﹣MP+OA+AN＝OP+OA＝2OA＝√3，則OM+ON＝2√3，即OM+ON為定值；
（4）作過P、D兩點且與y軸相切於點H的圓S，
則由圓周角大於圓外角可知，∠PHD最大．
四、特殊角問題
4．如圖，在平面直角座標系中，二次函式y＝ax²+bx+c的圖象經過點A（﹣1，0），B（0，﹣√3），C（2，0），其對稱軸與x軸交於點D
（1）求二次函式的表示式及其頂點座標；
（2）若P為y軸上的一個動點，連線PD，則1/2PB+PD的最小值為______；
（3）M（x，t）為拋物線對稱軸上一動點
①若平面記憶體在點N，使得以A，B，M，N為頂點的四邊形為菱形，則這樣的點N共有_____個；
②連線MA，MB，若∠AMB不小於60°，求t的取值範圍．
【解析】（1）利用待定係數法轉化為解方程組解決問題．
（2）如圖1中，連線AB，作DH⊥AB於H，交OB於P，此時1/2PB+PD最小．
（3）①以A為圓心AB為半徑畫弧與對稱軸有兩個交點，以B為圓心AB為半徑畫弧與對稱軸也有兩個交點，線段AB的垂直平分線與對稱軸有一個交點，所以滿足條件的點M有5個，即滿足條件的點N也有5個，故答案為5．
②如圖，Rt△AOB中，∵tan∠ABO＝OA/OB=√3/3，∴∠ABO＝30°，
作AB的中垂線與y軸交於點E，連線EA，則∠AEB＝120°，
以E為圓心，EB為半徑作圓，與拋物線對稱軸交於點F、G．
則∠AFB＝∠AGB＝60°，從而線段FG上的點滿足題意，
本題考查二次函式綜合題、銳角三角函式、最短問題、圓等知識，解題的關鍵是掌握待定係數法確定函式解析式，學會利用垂線段最短解決實際問題中的最短問題，學會新增輔助線，構造圓解決角度問題，屬於中考壓軸題．
變式2．如圖，在平面直角座標系中，二次函式y＝ax²+bx﹣√3的圖象經過點A（﹣1，0）、C（2，0），與y軸交於點B，其對稱軸與x軸交於點D
（1）求二次函式的表示式及其頂點座標；
（2）M（s，t）為拋物線對稱軸上的一個動點，
①若平面記憶體在點N，使得A、B、M、N為頂點的四邊形為矩形，直接寫出點M的座標；
②連線MA、MB，若∠AMB不小於60°，求t的取值範圍．
【解析】（1）根據二次函式y＝ax2+bx﹣√3的圖象經過點A（﹣1，0）、C（2，0），可以求得該函式的解析式，然後將函式解析式化為頂點式，即可得到該函式的頂點座標；
②根據題意，構造一個圓，然後根據圓周角與圓心角的關係和∠AMB不小於60°，即可求得t的取值範圍．
②如圖2所示，作AB的垂直平分線，於y軸交於點F，由題意知，AB＝2，∠BAF＝∠ABO＝30°，∠AFB＝120°，∴以F為圓心，AF長為半徑作圓交對稱軸於點M和M′點，
反思與總結
透過以上例題的解析，我們可以看出在求解二次函式綜合題中與"動點"相關的角度問題時，當這個"動角"的兩邊分別經過兩個確定點（或能用相關字母表示兩個點的登標）時，透過構站"輔助圓"，把圓中的相關結論遷移到二次函式數綜合題中，往往能快速確定角的位置並易現出一些有用的結論，我們可以利用勾股定理來求圓中半徑的長度，再利用圓中半徑相等的等量關係來建立關於滿足條件的動點座標或圓心座標的方程，"輔助圓"能把題中一些看似分散的條件集中起來，把隱藏的條件顯現出來，可以說是求解角度存在性難題一把利器。