我想對於初學抽象代數的人來說，他最感興趣的就是一般高次代數方程的不可解性和尺規作圖問題的解決。這是他學習的興趣的來源和前進的動力。不過從最基本的群的定義開始，直到問題的最終的解決，仍然有一段不短的路。有不少書試圖一次性地將這一過程從頭到尾展現給讀者，我認為效果並不好。最好是先入門，掌握基本的理論，再去看精密的東西。那些一次講下來的書，往往只講後面結論用到的東西，對那些要求嚴格的讀者來說，很難滿意。尤其難以讓人全面地理解和掌握。

我的建議是：丘維聲<<抽象代數基礎>>——GTM167<<Field and Galois theory>>——GTM101<<Galoistheory>>.

丘維聲老師的<<抽象代數基礎>> 是我非常鍾愛的一本小書，敘述清晰，非常適合初學者作一學期的教材之用。作者並未求全，而是有重點地介紹了抽象代數的主要內容。課後有精選的習題。<<Field and Galois theory>>的特點是循序漸進，每個定理都有精確的證明，而且內容全面，看過之後你會對域論和Galois理論有一個全面的瞭解。<<Galois>theory>是著名數學家Edwards的著作，很薄的小冊子，講述的是Galois理論的歷史並解讀Galois本人的思想，當你學完前兩本之後，再來讀第三本，就會豁然開朗，“大徹大悟”。

國內的另一本常用教材是聶靈沼，丁石孫的<<代數學引論>>，這本書講的也可以，比前者要多要難一些，不過我感覺這本書並沒有多少自己的特色。尤其是習題，基本上都是從更深的理論中抽出來的。

此外，我還要特別推薦萊德曼的小書<<群論引論>>，這是在是初學者的至寶，看過你就知道。(圖書館有好幾本)我想即使是專家看到它也會表示欣賞。對於所有入門的書來說，大家的內容都是一樣的，甚至定理的證明方法也相差無幾，但是不同的人採用不同的敘述，會讓你有截然不同的感受。

下面說一下我學習抽象代數的感受。我認為在群論部分，核心是群在集合上的作用。學習完群論後，應當自覺養成用群在集合上的作用的觀點去看問題，也就是表示論的思想。(說到這裡不得不一提楊子胥的<<近世代數習題集>>，且不說題目後面跟答案的方式不利於讀者的思考，書中的習題解答過分注重初等的技巧，表示的思想沒有得到體現，對於讀者掌握真正的思想毫無益處。當然如果你只是想抄抄作業又當別論)比如對於一個群G，我們已經知道它的一少部分資訊，就如同一個黑匣子，我們大概知道它的一些表面資訊。要掌握它的內部結構，就要用群在集合上的作用這一“X光”，底片就是群所作用的集合。透過分析解讀群在集合上的作用的效果，也就是透射出來的“膠片”，來獲取群G的內部資訊。當然這個集合不能是隨便哪個集合都可以的，要利用已知的資訊，構造一個合適的集合，以及群在這一集合上的某個合適的作用。如果你掌握了這種思想，就可以隨時推匯出Sylow定理的證明來。

舉個簡單的例子：設H和K是有限群G的子群，求證 | HK| = |H|*|K|/|H ∩ K| 想想怎麼用群在集合上的作用來解？這比算陪集代表元更快，更深刻。

在環這一部分，我認為只要掌握好基本的定理和概念就可以了。說說容易，要做好也不簡單。比如，理想升鏈(Noether)條件保證了分解為有限多個不可約元乘積的“存在性”，不可約元都是素元保證了這種分解的“唯一性”。一般的代數整數環，正是由於不滿足後者，而不成為唯一因子分解整環，從而導致了理想的概念。(這些你知道嗎)

要給初學者講清楚理想的來源是很困難的，不過多少可以試一下。我們知道要使得一個環成為UFD,只要它滿足前面說的兩個條件。不過第二個條件還可以替換為“環中的任意兩個元素(當然也就是有限多個)都有最大公因子”。代數整數環(Q的有限次擴域F中全體代數整數的集合)恰好是Noether環，但並不是任意兩個元素都有最大公因子。事實上是，它們的“最大公因子”不在這個域F內！回憶一下在通常的整數環Z當中，有限多個整數的最大公因子d可表示為它們的整係數線性組合,而且d是這些整數的所有線性組合中的“最小的”，也就是這些整數的任意線性組合都是d的倍數，換言之，d是這些整數的所有線性組合構成的集合的“生成元”。這就提示我們用另一種方式定義一般整環R中的有限個元素的最大公因子，就是定義為它們的所有R係數線性組合構成的集合S，注意，S是一個集合，但是Kummer把它看成是一個想象中的“最大公因數”，他稱之為“理想數”，這就是現在所說的理想的來源。大家可以很容易看出集合S的確是現在意義下的理想。然後，對於每一個R中的元素a,顯然集合(a)所對應的想象中的“最大公因數”就是a本身，這樣一來，這些“理想的數”之間就可以有運算，求最大公因子等等，Kummer正是在這一想法上得到了理想的唯一分解定理：代數整數環中每一個非平凡理想都可以唯一分解為有限多個素理想的乘積。

至於域論(Galois理論)，這是一套完美精緻的理論。不過我自己的感受是，這套理論的核心並不是Galois基本定理，而是同構擴張定理，這一定理對於域論的重要性，有點類似於Hahn—Banach泛函延拓定理之於泛函分析，它起到的是基石的作用。同構擴張定理保證了具有某種性質的域的同構的存在性，而且不管是定理的結論(泛函的延拓和域同構的延拓)還是定理的證明過程(先延拓到某一個大一點的集合上，再用Zorn引理)都頗多相似之處。這是在是一件發人深省的事。靈活運用這一定理，不僅僅是可以在很多時候大大簡化證明，重要的是它能更深刻地揭露問題的本質。可以說能否熟練運用這一定理是判斷是否真正掌握域論的標準。

最後我想敘述一下Galois關於代數方程根式可解等價於它的Galois群可解這一定理的證明思路。證明的過程比比皆是，不需我多說，但是對於初學者(尤其是自學的人)來說，仍然存在一些不容易理解的地方，我想就我個人的理解去敘述一下證明的思路，這樣大家自己讀證明的時候會容易一些。

一個特徵為0的域F上的代數方程f(x)=0根式可解，等價於這個多項式的分裂域含於某個以F開始的n根式擴張E中，這是把根式可解“翻譯”成數學的語言,是解決問題的第一步。一般來說這個E不見得是域F上的Galois擴張，不利於我們應用Galois擴張的豐富知識，幸好這個限制並不是本質的，因為可以證明E的正規閉包仍是一個n根式擴張(道理很簡單，把那些不足的根全部加進去就可以了)。所以我們可以假定這個n根式擴張E還是F上的Galois擴張.這時G是Gal(E/F)的子群。

在定理的證明過程中主要用到兩個重要結論：1 .Natural Irrationalities（<<代數學引論>>246頁定理3）。2 .群G可解當且僅當其子群和商群都可解。

這兩個定理的用處下面會解釋。

天才的Galois發現了f(x)的Galois群G的可解性與多項式方程根式可解之間的聯絡。直觀地說，就是當向基域F(這個基域要求含有本原n次單位根ω)中加入一個根式後，f的Galois群G要麼不變，(這相當於加入的根式對解方程的根沒有什麼幫助)，要麼變成G的一個正規子群N(相當於這個根式在f的根的表示式中出現了),且商群G/N是abel群,這是由Galois基本定理和迴圈擴張定理得到的。（當然也可以由Lagrange的版本，不過這時加入的是p次根式）注意迴圈擴張定理的條件中要求域F含有本原n次單位根。如果我們不斷地加入根式，那麼方程的Galois群就不斷地以這種方式“減小”，如果加入若干根式以後，方程的根都含在得到的新的域K中了，那麼群G應當退化為單位群{e}.也就是群G有可解群列，反之亦然。

如果根式可解，去證Gal(E/F)也可解，由於G是Gal(E/F)的子群，從而G也可解。如果G可解，且基域中有本原n(n是G的階)次單位根，去證存在根式擴張塔。

但是這裡有個問題，大家可能發現，前面要求基域F中要含有本原n次單位根，這個要求很重要，要特別指出，在特徵為0的不含本原n次單位根的域上的n次擴張並沒有一般的結論，除非n是素數。但是如果域F不含本原n次單位根怎麼辦？不要緊，把它加到F中去，在新的域擴張E(ω)/F(ω)中重複上面的討論。事實上利用自然無理性定理，(Natural Irrationalities),有Gal(E(ω)/F(ω)) ≌ Gal(K/K∩F(ω))，注意Gal(K/K∩F(ω))是群G的正規子群，而且對應的商群是交換群(Z/nZ)*的子群。所以Gal(E(ω)/F(ω))的可解性與G的可解性是等價的。

1、抽象代數（近世代數）不需要其他的基礎知識（有線性代數或高等代數的知識更好），主要是研究群、環、域裡面的性質。其中你只要主意一點，弄清楚符號所代表的東西，他們之間的運算、性質等，舉個簡單的例子：a是群裡面的一個元素，它可以代表一個數（實數複數等）、可以代表一個矩陣（具有某種性質，如是對角的、可逆的，n階的等）、可以代表一個對映，甚至可以代表一個集合（群、環、域），同時弄清楚他們的運算+或×代表什麼運算，如果你能弄清楚這個，那麼學起來就水到渠成了！

2、學泛函分析要修幾門課程（數學分析、高等代數、實變函式）這麼課程對於非數學專業的來說就稍微困難一點，我不想囉嗦，就說幾點：弄清楚賦範線性空間裡面的範數，線性空間裡面的元素，賦範線性空間的性質，這麼課程不是很好學但很強大，你要做好心理準備！

3、拓撲學（就簡單說一下點集拓撲學），點集拓撲需要的修的課程是數學分析，最要有集合論裡面的基礎。點集拓撲主要是研究拓撲空間的不變性質，包括連通性、可數性公理、諸分離性公理、緊緻性等，當然要弄清楚什麼是拓撲空間，什麼是拓撲空間的性質、結構！囉嗦一句：拓撲同樣強大，但是也很難學！

ps：前面所提到的數學分析是是數學專業的基礎課，如果是其他的如微積分或高等數學，學這幾門課程同樣困難，切記！