具體證明步驟如下：
證明二元函式的可微性即證明二元函式可微的一個充分條件：
若z=f(x,y)在點M(x,y)的某一鄰域記憶體在偏導數f、f,且它們在點M處連續,則z=f(x,y)在點M可微。
證明:由於偏導數在點M(x,y)連續,0<θ,θ<1,α=0, △z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y) =[f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△y)]+[f(x,y+△y)-f(x+y)] =f(x+θ△x,y+△y)△x+f(x,y+θ△y)△y =[f(x,y)+α]△x+[f(x,y)+β]△y =f(x,y)△x+f(x,y)△y+α△x+β△y 而||≤|α|+|β|, 所以△z=f(x,y)△x-f(x,y)△y+o(ρ),即f(x,y)在點M可微。 注意:定理4的逆定理不成立。即:偏導數存在且連續是可微的充分非必要條件。
例如:f(x,y)=(x+y)sin (x+y≠0)0 (x+y=0),因為f(0,0)===0,同理:f(0,0)=0,所以f(x,y)在(0,0)點的偏導數存在。又f(x,y)=2xsin+(x+y)cos(x+y≠0)0 (x+y=0)所以f(x,y)=(2xsin-cos),其中2xsin=0,而 cos中,若取路徑y=x,顯然cos=cos不存在,所以f(x,y)不存在。因此f(x,y)在點(0,0)處偏導數存在但不連續。而 = (△x+△y)sin=0,所以f(x,y)在(0,0)點可微。
具體證明步驟如下：
證明二元函式的可微性即證明二元函式可微的一個充分條件：
若z=f(x,y)在點M(x,y)的某一鄰域記憶體在偏導數f、f,且它們在點M處連續,則z=f(x,y)在點M可微。
證明:由於偏導數在點M(x,y)連續,0<θ,θ<1,α=0, △z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y) =[f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△y)]+[f(x,y+△y)-f(x+y)] =f(x+θ△x,y+△y)△x+f(x,y+θ△y)△y =[f(x,y)+α]△x+[f(x,y)+β]△y =f(x,y)△x+f(x,y)△y+α△x+β△y 而||≤|α|+|β|, 所以△z=f(x,y)△x-f(x,y)△y+o(ρ),即f(x,y)在點M可微。 注意:定理4的逆定理不成立。即:偏導數存在且連續是可微的充分非必要條件。
例如:f(x,y)=(x+y)sin (x+y≠0)0 (x+y=0),因為f(0,0)===0,同理:f(0,0)=0,所以f(x,y)在(0,0)點的偏導數存在。又f(x,y)=2xsin+(x+y)cos(x+y≠0)0 (x+y=0)所以f(x,y)=(2xsin-cos),其中2xsin=0,而 cos中,若取路徑y=x,顯然cos=cos不存在,所以f(x,y)不存在。因此f(x,y)在點(0,0)處偏導數存在但不連續。而 = (△x+△y)sin=0,所以f(x,y)在(0,0)點可微。