<p>STIRPAT(Stochastic Impacts by Regression on Population,Affluence,and Technology)可拓展的隨機性的環境影響評估模型（透過對人口、財產、技術三個自變數和因變數之間的關係進行評估）</p> <p>公式：</p> <p> </p> <p> </p> <p> 其中,α為模型的係數,b、c、d為各自變數指數,e為誤差。指數的引入使得該模型可用於分析人文因素對環境的非比例影響。</p> <p> 對公式兩邊取自然對數,得到方程:</p> <p>lnI=lna+b(lnP)+c(lnA)+d(lnT)+lne </p> <p> 由彈性係數的概念可知,方程的迴歸係數反映的即是解釋變數與被解釋變數之間的彈性關係。</p> <p></p>
stirpat引數模型中引數應按照以下方式去求：1.選擇合適的引數
CFRMer強調：在計算VaR之前，需要先明確所計算VaR的引數。最重要的兩個引數為時間期限和置信度，前者對應所需衡量風險的時間段，後者對應風險的容忍度。
1.1.選取時間期限
在選取時間範圍有兩個考慮因素
所關注的風險期限：某些公司更關注於短期風險，使用較短的時間範圍。另外一些公司並不太關心短期的波動，則使用較長的VaR時間範圍。
交易活躍程度：一般來說，公司資產的變化程度越大，其選取的時間範圍越小。對於一般商業銀行，通常只看未來一天的VaR;投資公司則關注一週到一個月的期限，而一般公司則會使用一個季度甚至一年的時間範圍。
某些公司對不同資產型別使用不同的VaR時間範圍，比如不流通的資產的時間範圍更長一點。但不推薦這麼做，因為：
衡量流動性風險的理論有很大進步，使用較長時間的VaR是一個笨拙的方法，而且容易將流動性風險和市場風險混為一談。
對不同的資產使用不同的VaR引數，在更高層面無法整合，也使得在不同資產之間無法進行比較。
1.2.選取置信度
置信度取決於對於損失的容忍度。商業銀行和保險企業的損失容忍度較低，而投資公司的容忍度要高一些。一般來說，對於較短的時間期限(1天或一週)：商業銀行使用99%，其它一般機構使用95%。
另一種定量的方法為，VaR選取置信水平，使得損失超過該值的可能性等於目標違約機率。比如，公司希望將評級維持在Aaa級，穆迪的Aaa級公司對應1年內違約的機率為0.01%，此時1年期VaR選取置信水平為99.99%。
美國的銀行通常使用99.98%的置信水平(1年期VaR)對其經濟資本進行衡量，等同於目標評級水平為Aa。
2.計算細節
在前面只提到了計算VaR的方法和框架，這裡補充一些重要的細節。有了這些細節，再加上定價公式，至少能夠寫出一些簡單的VaR計算程式。
2.1.收益率：算術收益率還是連續收益率
對於一個因子有兩種收益率方法：
算術收益率：假設期末價格為 P1 ，期初價格為 P0 ，那麼收益率為 P1/P0−1 。
連續收益率：假設期末價格為 P1 ，期初價格為 P0 ，那麼收益率為 log(P1/P0) 。
算術收益率即日常理解的收益率。為什麼還需要連續收益率的概念呢，因為：
它對於時間是簡單疊加的：假設第一期的連續收益率為r1 ，第二期為r2 ，那麼兩期合併收益率為 r1+r2 。
一般來說，連續收益率是正態分佈。連續收益率可分解為各個期間的連續收益率之和，假設各個期間互相獨立，根據大數定律，連續收益率收斂於正態分佈。而算術收益率不是正態分佈，最直接的理由是，算術收益率有下限-100%。
所以一般地，在模特卡洛模擬法中通常使用連續收益率，在計算損益額時再將連續收益率轉化成算術收益率。
但算術收益率也有一個很好的優點：它對於橫向是線性可加的，即組合的收益率等於各個因子的加權算術平均。所以引數法裡使用算術收益率，並基於下面簡單事實，可以認為算術收益率也符合正態分佈：
當 r∼0時， r∼log(1+r) 。
歷史模擬法中無需假設收益率的分佈，與這兩種方法無關。
2.2.風險矩陣的計算方法
引數法和蒙特卡洛模擬法，在計算VaR之前，都需先估計風險矩陣，即各個風險因子之間的協方差矩陣。有幾種方法計算該協方差矩陣，包括平均加權法、GARCH法、指數移動平均法和隱含法。
其中平均加權法是直接用過去歷史一定期間內的樣本計算方差;GARCH法是將方差(和協方差)視為一個GARCH過程，用最大似然法進行估算;隱含法則利用衍生產品內涵的波動率進行估算。在實際中最常用的是指數移動平均法。
指數移動平均法使用歷史資料的加權平均和計算方差 σ2t ，越近的歷史資料所佔用的權重越大：
其中 rt 為因子收益， λ為衰減因子，對應半衰期，表示經過多長時間，權重降低一半。半衰期越長( λ越大)，所得到的風險矩陣和VaR越穩定。
RiskMetrics推薦日VaR使用 λ=0.94，周VaR使用 λ=0.97 ，分別對應半衰期10和21(半個月和一個月)。
使用移動指數平均法的另一個好處是：樣本的長度對結果的影響較小。衰減因子為0.94時，99%的資訊來源於最近的74 =log(1−p)/logλ)=log?(1−p)/log?λ) 個樣本;衰減因子為0.97時，99%的資訊來源於最近的151個樣本。
λλ 的選取和VaR的目的相關。在日常風險管理中，需要動態檢測風險，VaR要能衡量當時市場狀態，通常使用較短的半衰期。
但在監管中，由於VaR和風險資本相關，銀行等機構需要根據VaR確定其風險資本，所以並不希望VaR變動過快，此時它們會選擇使用較長的半衰期，或者直接使用歷史法計算VaR。
2.3.歷史法中考慮權重問題
如果使用固定區間比如一年的樣本長度計算VaR，並且樣本權重一樣時，恰好位於樣本區間前邊的那個歷史資料，將不包含在今天的VaR計算範圍。如果那個邊界資料為一個極端資料時，將對今天的VaR結果造成很大的影響。這讓人難以琢磨而且非常荒謬。
直觀意義上看，某個單獨的歷史樣本，特別是很久之前的樣本，在計算過程中是否包含該樣本，對結果應該影響較小。引數法和蒙特卡洛模擬法中引入了指數加權法處理這個問題，衰減因子使得每隔半衰期以外的歷史樣本權重降低一半，這樣是否包含歷史上某個極端樣本，對結果的影響相對較小。
在歷史法中，也可以對於不同時期的樣本資料賦予不同的權重解決上述的問題。最簡單的方法還是上面的衰減因子法，每隔半衰期的樣本權重降低一半。但是，這種方法在歷史法中不如用在風險矩陣方法裡好。因為，歷史法計算VaR值，本來就非常依賴於尾部的幾個極端資料，其它樣本資料都不會影響結果。衰減因子法會加劇該問題。
另一個處理歷史場景的方法是：用波動率去調整歷史場景。比如歷史場景某因子收益率為1%，波動率為2%。目前波動率為3%，那麼調整該場景下因子收益率為1.5%。該方法主要是基於波動率的穩定性，即假設短期內波動率保持同樣的水平(同參數法一樣)。
2.4.對風險矩陣的非正定性的處理
一個矩陣 Σ 是正定的，是指對於任何向量 w≠0，都有 wTΣw>0;一個矩陣 Σ是半正定的，是指對於任何向量w ，都有 wTΣw≥0。有幾種情況會導致非正定的風險矩陣，
如果計算風險矩陣的樣本個數低於風險因子的數量，得到的協方差矩陣是半正定的。
因子的樣本長度不一樣時(比如因為樣本數不夠，因子1和因子2的協方差使用了100個樣本資料，但因子1和因子3的協方差只使用了50個樣本資料)，得到的協方差矩陣可能是非正定的。
當分塊計算風險矩陣(比如為了簡化計算過程，不直接計算不同型別的因子之間的相關性，而直接定義為一個常數)，並且不同塊的計算方法不一樣時，得到的協方差矩陣可能是非正定的。
對因子協方差進行壓力測試時，需主動修改風險矩陣某些位置的值，使得風險矩陣不再是正定的。
上面第一種情況得到風險矩陣可以不做處理。後幾種種情況導致的非正定風險矩陣會需要對負數開根號，這是不可能的。所以必須對非半正定的風險矩陣進行處理。
Correlation Stress Testing for Value-at-Risk: An Unconstrained Convex Optimization Approach這篇文章裡描述了在上述第三種請款下，如何處理非正定的風險矩陣，在其概述部分也描述了前人的若干種方法。
這些方法基本上都用到了最最佳化，而且是二次的。在條件允許的情況下，應該使用這些學術上的結果。但某些情況下，也可以採取近似的方法。比如，由於風險矩陣是實對稱矩陣，它可以對角化：
其中， Γ 為正交矩陣， Ω 為對角矩陣。如果 Σ 非正定， Ω 對角線上有負值。在處理時，將 Ω 對角線上的負值重設為0即可：
2.5.如何生成隨機場景
模擬法的場景從風險矩陣中得到。假設風險矩陣 Σ 為n×n 的半正定矩陣，那麼可以生成因子場景為：
其中 Σ=CTC， z 為n元獨立正態分佈， T 為場景的時間長度(相對於 Σ )。
<p>STIRPAT(Stochastic Impacts by Regression on Population,Affluence,and Technology)可拓展的隨機性的環境影響評估模型（透過對人口、財產、技術三個自變數和因變數之間的關係進行評估）</p> <p>公式：</p> <p> </p> <p> </p> <p> 其中,α為模型的係數,b、c、d為各自變數指數,e為誤差。指數的引入使得該模型可用於分析人文因素對環境的非比例影響。</p> <p> 對公式兩邊取自然對數,得到方程:</p> <p>lnI=lna+b(lnP)+c(lnA)+d(lnT)+lne </p> <p> 由彈性係數的概念可知,方程的迴歸係數反映的即是解釋變數與被解釋變數之間的彈性關係。</p> <p></p>
stirpat引數模型中引數應按照以下方式去求：1.選擇合適的引數
CFRMer強調：在計算VaR之前，需要先明確所計算VaR的引數。最重要的兩個引數為時間期限和置信度，前者對應所需衡量風險的時間段，後者對應風險的容忍度。
1.1.選取時間期限
在選取時間範圍有兩個考慮因素
所關注的風險期限：某些公司更關注於短期風險，使用較短的時間範圍。另外一些公司並不太關心短期的波動，則使用較長的VaR時間範圍。
交易活躍程度：一般來說，公司資產的變化程度越大，其選取的時間範圍越小。對於一般商業銀行，通常只看未來一天的VaR;投資公司則關注一週到一個月的期限，而一般公司則會使用一個季度甚至一年的時間範圍。
某些公司對不同資產型別使用不同的VaR時間範圍，比如不流通的資產的時間範圍更長一點。但不推薦這麼做，因為：
衡量流動性風險的理論有很大進步，使用較長時間的VaR是一個笨拙的方法，而且容易將流動性風險和市場風險混為一談。
對不同的資產使用不同的VaR引數，在更高層面無法整合，也使得在不同資產之間無法進行比較。
1.2.選取置信度
置信度取決於對於損失的容忍度。商業銀行和保險企業的損失容忍度較低，而投資公司的容忍度要高一些。一般來說，對於較短的時間期限(1天或一週)：商業銀行使用99%，其它一般機構使用95%。
另一種定量的方法為，VaR選取置信水平，使得損失超過該值的可能性等於目標違約機率。比如，公司希望將評級維持在Aaa級，穆迪的Aaa級公司對應1年內違約的機率為0.01%，此時1年期VaR選取置信水平為99.99%。
美國的銀行通常使用99.98%的置信水平(1年期VaR)對其經濟資本進行衡量，等同於目標評級水平為Aa。
2.計算細節
在前面只提到了計算VaR的方法和框架，這裡補充一些重要的細節。有了這些細節，再加上定價公式，至少能夠寫出一些簡單的VaR計算程式。
2.1.收益率：算術收益率還是連續收益率
對於一個因子有兩種收益率方法：
算術收益率：假設期末價格為 P1 ，期初價格為 P0 ，那麼收益率為 P1/P0−1 。
連續收益率：假設期末價格為 P1 ，期初價格為 P0 ，那麼收益率為 log(P1/P0) 。
算術收益率即日常理解的收益率。為什麼還需要連續收益率的概念呢，因為：
它對於時間是簡單疊加的：假設第一期的連續收益率為r1 ，第二期為r2 ，那麼兩期合併收益率為 r1+r2 。
一般來說，連續收益率是正態分佈。連續收益率可分解為各個期間的連續收益率之和，假設各個期間互相獨立，根據大數定律，連續收益率收斂於正態分佈。而算術收益率不是正態分佈，最直接的理由是，算術收益率有下限-100%。
所以一般地，在模特卡洛模擬法中通常使用連續收益率，在計算損益額時再將連續收益率轉化成算術收益率。
但算術收益率也有一個很好的優點：它對於橫向是線性可加的，即組合的收益率等於各個因子的加權算術平均。所以引數法裡使用算術收益率，並基於下面簡單事實，可以認為算術收益率也符合正態分佈：
當 r∼0時， r∼log(1+r) 。
歷史模擬法中無需假設收益率的分佈，與這兩種方法無關。
2.2.風險矩陣的計算方法
引數法和蒙特卡洛模擬法，在計算VaR之前，都需先估計風險矩陣，即各個風險因子之間的協方差矩陣。有幾種方法計算該協方差矩陣，包括平均加權法、GARCH法、指數移動平均法和隱含法。
其中平均加權法是直接用過去歷史一定期間內的樣本計算方差;GARCH法是將方差(和協方差)視為一個GARCH過程，用最大似然法進行估算;隱含法則利用衍生產品內涵的波動率進行估算。在實際中最常用的是指數移動平均法。
指數移動平均法使用歷史資料的加權平均和計算方差 σ2t ，越近的歷史資料所佔用的權重越大：
其中 rt 為因子收益， λ為衰減因子，對應半衰期，表示經過多長時間，權重降低一半。半衰期越長( λ越大)，所得到的風險矩陣和VaR越穩定。
RiskMetrics推薦日VaR使用 λ=0.94，周VaR使用 λ=0.97 ，分別對應半衰期10和21(半個月和一個月)。
使用移動指數平均法的另一個好處是：樣本的長度對結果的影響較小。衰減因子為0.94時，99%的資訊來源於最近的74 =log(1−p)/logλ)=log?(1−p)/log?λ) 個樣本;衰減因子為0.97時，99%的資訊來源於最近的151個樣本。
λλ 的選取和VaR的目的相關。在日常風險管理中，需要動態檢測風險，VaR要能衡量當時市場狀態，通常使用較短的半衰期。
但在監管中，由於VaR和風險資本相關，銀行等機構需要根據VaR確定其風險資本，所以並不希望VaR變動過快，此時它們會選擇使用較長的半衰期，或者直接使用歷史法計算VaR。
2.3.歷史法中考慮權重問題
如果使用固定區間比如一年的樣本長度計算VaR，並且樣本權重一樣時，恰好位於樣本區間前邊的那個歷史資料，將不包含在今天的VaR計算範圍。如果那個邊界資料為一個極端資料時，將對今天的VaR結果造成很大的影響。這讓人難以琢磨而且非常荒謬。
直觀意義上看，某個單獨的歷史樣本，特別是很久之前的樣本，在計算過程中是否包含該樣本，對結果應該影響較小。引數法和蒙特卡洛模擬法中引入了指數加權法處理這個問題，衰減因子使得每隔半衰期以外的歷史樣本權重降低一半，這樣是否包含歷史上某個極端樣本，對結果的影響相對較小。
在歷史法中，也可以對於不同時期的樣本資料賦予不同的權重解決上述的問題。最簡單的方法還是上面的衰減因子法，每隔半衰期的樣本權重降低一半。但是，這種方法在歷史法中不如用在風險矩陣方法裡好。因為，歷史法計算VaR值，本來就非常依賴於尾部的幾個極端資料，其它樣本資料都不會影響結果。衰減因子法會加劇該問題。
另一個處理歷史場景的方法是：用波動率去調整歷史場景。比如歷史場景某因子收益率為1%，波動率為2%。目前波動率為3%，那麼調整該場景下因子收益率為1.5%。該方法主要是基於波動率的穩定性，即假設短期內波動率保持同樣的水平(同參數法一樣)。
2.4.對風險矩陣的非正定性的處理
一個矩陣 Σ 是正定的，是指對於任何向量 w≠0，都有 wTΣw>0;一個矩陣 Σ是半正定的，是指對於任何向量w ，都有 wTΣw≥0。有幾種情況會導致非正定的風險矩陣，
如果計算風險矩陣的樣本個數低於風險因子的數量，得到的協方差矩陣是半正定的。
因子的樣本長度不一樣時(比如因為樣本數不夠，因子1和因子2的協方差使用了100個樣本資料，但因子1和因子3的協方差只使用了50個樣本資料)，得到的協方差矩陣可能是非正定的。
當分塊計算風險矩陣(比如為了簡化計算過程，不直接計算不同型別的因子之間的相關性，而直接定義為一個常數)，並且不同塊的計算方法不一樣時，得到的協方差矩陣可能是非正定的。
對因子協方差進行壓力測試時，需主動修改風險矩陣某些位置的值，使得風險矩陣不再是正定的。
上面第一種情況得到風險矩陣可以不做處理。後幾種種情況導致的非正定風險矩陣會需要對負數開根號，這是不可能的。所以必須對非半正定的風險矩陣進行處理。
Correlation Stress Testing for Value-at-Risk: An Unconstrained Convex Optimization Approach這篇文章裡描述了在上述第三種請款下，如何處理非正定的風險矩陣，在其概述部分也描述了前人的若干種方法。
這些方法基本上都用到了最最佳化，而且是二次的。在條件允許的情況下，應該使用這些學術上的結果。但某些情況下，也可以採取近似的方法。比如，由於風險矩陣是實對稱矩陣，它可以對角化：
其中， Γ 為正交矩陣， Ω 為對角矩陣。如果 Σ 非正定， Ω 對角線上有負值。在處理時，將 Ω 對角線上的負值重設為0即可：
2.5.如何生成隨機場景
模擬法的場景從風險矩陣中得到。假設風險矩陣 Σ 為n×n 的半正定矩陣，那麼可以生成因子場景為：
其中 Σ=CTC， z 為n元獨立正態分佈， T 為場景的時間長度(相對於 Σ )。