一個數的因素至少有1個！這個數就是自然數1，1的因數只有它本身！

什麼是自然數？

根據ISO 80000-2標準的規定，自然數通常指的是非負整數（0，1，2，3，...），自然數是用來計數和定序的數，用來計數的時候稱為基數，用來定序的時候稱為序數。

在數論中，非零自然數也就是正整數，我們通常用N來表示這個集合，自然數是一個可數的，沒有上界的無窮集合。

對於0是不是自然數現在在於全球依然是一個不小的爭議，不過在國內2000之前的中小學教材一般不把0作為自然數，2000年以後的中小學教材普遍都認為0是自然數。

什麼是質數（素數）？

一個大於1的正整數P，除了1和他本身之外沒有別的因子，那麼這個數就是質數、也就是我們經常所說的素數。最小的素數是2，它只有1和2兩個因子。

每一個整數都能表示我素數的乘積，假設一個數不是素數，那麼可以不斷地對這個數進行因式分解，知道所有的因子都變成素數位置。比如：360=3*120=3*30*4=3*3*10*4=3*3*5*2*2*2，一個整數不是素數就成為合數（0和1除外）。

素數有無窮多個嗎？

素數有無窮多個的證明是著名數學家歐幾里得給出的，這也是數學歷史上一個經典的證明，使用的是反證法。

我們假設素數沒有無窮個：也就是說假設素數只有有限個，當然這個可能會很多，比如1億個、10億個等等。

一般地、我們假設有n個這樣的數，用p1，p2，...，pn來表示，除此之外其他的任何一個數字都是合數，那麼素數p1，p2，...，pn中有一個能夠整除它，現在假設這個數是M，讓它比上面的任何一個素數都要打，它也因此與任何一個都不同，又讓它不能夠被上述p1，p2，...，pn中任何一個整除，這就產生了矛盾。這個數可表示為M=p1p2...pn+1，我們假設所有素數的乘積再加上1，M比這些p中的任何一個都要大，因此必須是合數。不過用p1，p2等去除M總會餘1，因此這些P並不是M的因子，這是由我們的假設而產生的矛盾，而我們假設素數是有限的，因此假設不成立，那麼相應的素數就應該是無窮的。

其實數學是很有趣的一門學科，數理化、計算機應該算是所有學科門類當中最有趣的學科，大家還記得帶電粒子在磁場、電場當中的運動嗎？你還記得正十七邊形的尺規作圖嗎？還記得用C語言實現KMP演算法嗎？理工科有趣的地方，首先他們的各種各樣的公式定理就很有趣。

先明確定義：將 整數集 記為 Z，對於 任意 整數 a, b ∈ Z (b ≠ 0)，如果存在 整數 c ∈ Z 使得 a = bc，則稱 b 整除 a，記為 b | a，並且稱 b 是 a 的 因數（也叫做 約數 或 除數），a 是 b 的 倍數。

於是，對於任何一個 整數 a ∈ Z (a ≠ 0)，顯然有 a · 1 = a，(-a) · (-1) = a，我們稱 ±a 和 ±1 為 a 的顯然因數。

故，在整數範圍內考慮，一個非零整數 a（≠ ±1） 的因數至少有 4 個，即，a 的顯然因數：a 、1、 -1 和 -a，而 ±1 只有兩個因數 1 和 -1。

進而，在 正整數範圍 內考慮，一個正整數 a（≠ 1） 的因數至少有 2 個，即，a 和 1，而 1 時 只有 它自己 1個因數。

那麼，一個正整數的正因數具體有幾個呢？

為了回答這個問題，我們需要引入素數的定義：對於 任意整數 p ∈ Z (p ≠ 0, ±1)，如果 p 除了顯然因數外沒有其它因數，則稱 p 為 素數（也稱 質數 或 不可約數），否則 稱 p 為 合數（也稱 可約數）。

由於 整數集 Z 關於 0 是對稱的，因此我們只需要研究清楚 正整數集 Z₊，負整數集 Z₋ 就自然清楚了。於是：以後 素數 和 合數 預設特指 大於 1 的 正整數。

在《初等數論》中有一個非常重要的定理，稱為 算術基本定理：對於任意 正整數 n ∈ Z₊ (a > 1) ，必然有，

n = p₁p₂...pᵣ

其中 pᵢ( i = 1, 2, ..., r) 皆為素數，並且在便考慮順序的情況下，這個素因數分解式唯一。例如：

108 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3

顯然，素因數 會有重複，於是我們將 上面的 素因數分解式 改寫為：

n = p₁ᵃ¹p₂ᵃ²...pᵣᵃʳ，(p₁< p₂ <... <pᵣ) ⑴

稱為 a 的 標準素因數分解式。例如：

108 = 2² · 3³

任意給定一個 正整數 n(> 1) ，n 的 正因數個數，記為 τ(n)，稱 τ(n) 為 除數函式。

考慮 n 的 標準素因數分解式 ⑴ ，可分為下面的組：

1, p₁, p₁², ..., p₁ᵃ¹ (共 a₁ + 1 個）

1, p₂, p₂², ..., p₂ᵃ² (共 a₂ + 1 個）

...

1, pᵣ, pᵣ², ..., pᵣᵃʳ (共 aᵣ + 1 個）

顯然，n 的每個因數，就是從上面每組裡任意選擇一個數，然後將它們連乘的結果，所有肯能結果的個數是：

(a₁ + 1)(a₂ + 1)...(aᵣ + 1)

這就是 τ(n)，即，

τ(n) = (a₁ + 1)(a₂ + 1)...(aᵣ + 1) = ∏ʳᵢ₌₁ aᵢ + 1

例如：

τ(108) = (2 + 1) · (3 + 1) = 12

又引入定義：對於 任意正整數 n, m ∈ Z₊，若 存在 正整數 a ∈ Z₊ 滿足 a | n 並且 a | m 則稱 a 是 n 和 m 的 公因數（也稱 公約數），將 n 和 m 的所有 公因數 中 最大的那個 稱為 最大公因數，記為 (n, m) 或 gcd(n,m)。

如果 (n, m) = 1，則稱 n 和 m 互素（或 互質）。例如：

108 和 49 互素：49 = 7²，(108, 49) = 1

108 和 9 不互素：9 = 3²，(108, 9) = 9

進一步觀察我發現性質： 當 n 和 m 互素，即， (n, m) = 1 時，有 τ(nm) = τ(n)τ(m)。

例如：

108 · 49 = 2² · 3³ · 7²

τ(108 · 49) = (2 + 1)(3 + 1)(2 + 1) = 36

τ(49) = (2 + 1) = 3

τ(108 · 49) = 36 = 12 · 3 = τ(108) · τ(49)

而 當 (n, m) ≠ 1 時，上面的性質不成立，例如：

108 · 9 = 2² · 3⁵

τ(108 · 9) = (2 + 1)(5 + 1) = 18

τ(9) = (2 + 1) = 3

τ(108 · 9) = 18 ≠ 36 = 12 · 3 = τ(108) · τ(9)

定義：如果 數論函式 f 滿足，

f(nm) = f(n)f(m)，(n, m) = 1

則稱 f 是積性函式。

注：積性函式 是 最重要的 數論函式，在 Mobius 變換 中起到重要作用，以後有機會 給大家介紹。

τ(n) 顯然 就是 積性函式。

順便：在初等數論中，還定義了 除數和函式 σ(n) ，它的值為 正整數 n(>1) 的 所有正因數之和，根據上面的經驗知下面的展開式的項，包含 n 的所有正因數：

(1 + p₁ + p₁² + ... + p₁ᵃ¹)(1 + p₂ + p₂² + ... + p₂ᵃ²) ... (1 + pᵣ + pᵣ² + ... + pᵣᵃʳ)

因此，

σ(n) = (1 + p₁ + p₁² + ... + p₁ᵃ¹)(1 + p₂ + p₂² + ... + p₂ᵃ²) ... (1 + pᵣ + pᵣ² + ... + pᵣᵃʳ)

= ((p₁ᵃ¹⁺¹ - 1) / (p₁ - 1))((p₂ᵃ²⁺¹ - 1) / (p₂ - 1))...((pᵣᵃʳ⁺¹ - 1) / (pᵣ - 1))

=∏ʳᵢ₌₁ (pᵢᵃⁱ⁺¹ - 1) / (pᵢ - 1)

如果是在 有理數域 Q 上考慮題主的問題呢？

對於 有理數集 Q 中任意 一個非零 的 數 x(≠0) 必然存在 x 的倒數 x⁻¹ = 1，因此 對於 任意 有理數 y ∈ Q，y ≠ 0，必然有：

y = yx⁻¹ · x

根據 上面 因數的 定義 非零的 x 是任何非零 y 的 因數。

故，在有理數範圍內考慮，一個非零有理數 x 的因數必然有 |Q\{0}| = ℵ₀ 個。

注： A \ B 是差集運算，即，從 集合 A 中 除去 集合 B 中包含的元素。

對於 實數域 R 和 複數域 C 和 有理數域 Q 類似，於是有：

在實數 或 複數 範圍內考慮，一個非零實數 x 或 非零複數 z 的因數必然有 |R\{0}| = ℵ₁ 或 |C\{0}| = ℵ₁ 個。

注: |A| 表示 集合A 中 的元素個數。對於無限集合，我們用 ℵ₀, ℵ₁, ... 來區別表示它們的元素個數，其中 只有 ℵ₀ 是可列的。最後，考慮 一下 0 的因數。

根據 因數定義，0 不是任何 數的因數，而又因為 任何數 x 乘以 0 都是 0，即，

0 = x · 0

所以，任何非零數 x 都是 0 的因子。

故，分別在 整數、有理數、實數、複數 範圍內，0 的因子數分別是 |Z\{0}| = ℵ₀ 、 |Q\{0}| = ℵ₀、 |R\{0}| = ℵ₁ 、 |C\{0}| = ℵ₁ 個。