插值法 生產實踐中常常出現這樣的問題：給出一批離散樣點，要求作出一條透過這些點的光滑曲線，以便滿足設計要求或進行加工。反映在數學上，即已知函式在一些點上的值，尋求它的分析表示式。因為由函式的表格形式不能直接得出表中未列點處的函式值，也不便於研究函式的性質。此外，有些函式雖有表示式，但因式子複雜，不容易算其值和進行理論分析，也需要構造一個簡單函式來近似它。 解決這種問題的方法有兩類：一類是給出函式xf的一些樣點值，選定一個便於計算的函式形式，如多項式、分式線性函式及三角多項式等，要求它透過已知樣點，由此確定函式x作為xf的近似。這就是插值法。另一類方法在選定近似函式的形式後，不要求近似函式過已知樣點，只要求在某種意義下他在這些點上的總偏差最小。這類方法稱為曲線（資料）擬合法。 1、 拉格朗日（Lagrange）插值 1. Lagrange插值多項式 先討論只有兩個節點0x,11nx的插值多項式。由前所述，插值多項式應設為xaax101，且滿足插值條件 0001001xfyxaax 1111011xfyxaax 解此方程組得

1010010xxxyxya

，10101xxyya0 所以，兩個節點的一次插值多項式為 

xxxyyxxxyxyx10101010011 （5-6） 這是用過兩點00,yx，11,yx的直線xy1近似曲線xfy，故這種插值又稱為線性插值。 如果將式（5-6）改寫成以下形式 

010110101xxxxyxxxxyx (5-7) 式（5-7）中，x1被表成兩個線性函式的線性組合。記



1010xxxxxl，

0101xxxxxl 顯然，它們滿足 100xl，010xl 001xl，111xl 即10，ixli在對應的插值點ix處的取值為1，在其他點處取值為0，不難想象，以對應點處的函式值為係數對它們作線性組合所得的函式，不僅仍是線性的，且必定滿足插值條件。由此得到啟發，當節點增多到1n個時，可以先構造n次多項式nixli,,1,0，它們滿足 ijijxlji,1,0 （5-8） 然後以對應點處的函式值為係數作線性組合，即得所要求的插值多項式。下面推導nixli,,1,0的表示式。 由式（5-8），多項式xli有n個根ijnjxj,,,1,0，且1iixl，故它必定是以下形式 

nijjjijniiiiiiniiinixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl0110110,,1,0 （5-9） 這些函式稱為Lagrange插值基函式。利用它們立即得出插值問題的解 

nijjjijniiniiinxxxxyxlyx000 （5-10a） 事實上，因為每個插值基函式nixli,,1,0都是n次多項式，故xn是至多n次多項式。由式（5-8）又得 nkyxlyxknikiikn,,1,00 即xn滿足插值條件式（5-2）。 式（5-10a）稱為n次Lagrange插值多項式。為了以後便於區別，常用xLn代替xn，以突出表示這是由Lagrange插值所得到的插值多項式，即 niiinxlyxL0 （5-10b）

)()(0010101xxxxyyyx （5-13） 由此匯出插值多項式的又一種表示形式——牛頓插值公式。 2.1 差商 定義5.1 設有函式,,,),(210xxxxf

為一系列互不相等的點，稱)()()(jixxxfxfjiji為)(xf關於點jixx,的一階差商（也稱均差），記為],[jixxf，即

jijijixxxfxfxxf)()(],[ 類似於高階導數的定義，稱一階差商的差商

kikjjixxxxfxxf],[],[ 為)(xf關於點kjixxx,,的二階差商，記為],,[kjixxxf。一般地，稱

kkkxxxxxfxxxf021110],,,[],,,[ 為)(xf關於點kxxx,,,10的k階差商，記為

kkkkxxxxxfxxxfxxxf02111010],,,[],,,[],,,[ （5-14） 2.2 Newton插值公式 按定義5.1線性插值公式（5-13）可表示成 ],[)()()(10001xxfxxxfx （5-17） 式（5-17）稱為一次Newton插值多項式。一般地，由各階差商的定義，依次可得 ],[)()()(000xxfxxxfxf ],,[)(],[],[101100xxxfxxxxfxxf

],,,[)(],,[],,[210221010xxxxfxxxxxfxxxf  ],,,[)(],,,[],,,[01010nnnnxxxfxxxxxfxxxf 將以上各式分別乘以1，)(0xx,))((10xxxx,,)())((110nxxxxxx,然後相加並消去兩邊相等的部分，即得],,,[)())((],,,[)())((],,[))((],[)()()(101010110210101000nnnnxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxf （5-18） 記 ],,,[)())((],,[))((],[)()()(10110210101000nnnxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxN （5-19） ],,,,[)(],,,,[)())(()(1011010nnnnnxxxxfxxxxxfxxxxxxxR （5-20） 則 )()()(xRxNxfnn 顯然，)(xNn是至多n次的多項式。而由 nixxxxfxxRniinin,,1,00],,,,[)()(101 得),,1,0)(()(nixNxfini。這表明)(xNn滿足插值條件式（5-2），因而它是)(xf的n次插值多項式。這種形式的插值多項式稱為Newton插值多項式。 3、 埃爾米特（Hermite）插值 如果對差值函式，不僅要求它在節點處與函式同值，而且要求它與函式有相同的一階、二階甚至更高階的導數值，這就是Hermite插值問題。 3.1 Hermite 設已知函式)(xfy在1n個互異節點nxxx,,,10上的函式值),,1,0)((nixfyii和導數值),,1,0)((nixfyii，要求一個至多12n次的多項式)(xH，使得 ),,1,0()(,)(niyxHyxHiiii （3-1） 滿足條件（3-1）的多項式)(xH稱為Hermite插值多項式。

我們仍採用構造插值基函式的方法來求Hermite插值多項式。可以設想，如果有兩組函式),,1,0)((),(nixHxhii，它們滿足： （1）),,1,0)((),(nixHxhii都是至多12n次多項式； （2）njxhijijxhjiji,,1,00)(,,1,0)( （3-2） njijijxHxHjiji,,1,0,1,0)(,0)( 則多項式 niiiiixHyxhyxH0)()()( 必定滿足插值條件式（3-1），且次數不超過12n。按條件式（3-2），)(xhi在)(ijxj處函式值與導數值均為0，故它們應含因子)()(2ijxxj，因此可以設為 )()]([)(2xlxxbaxhiii （3-3）

其中)()()()(11ininixxxxxl為Lagrange插值基函式。由條件式（3-2），)(xhi還應滿足 ,1)(iixh 0)(iixh 代入式（3-3），得 1)()(2axalxhiiii 0)(2)()()]([2)()(2iiiiiiiiiiiixlabxlxlxxbaxblxh 其解為)(2iixlab。所以 )()()(21)(xlxlxxxhiiiii),,1,0(ni （3-4） 同理，由於)(xHi在)(ijxj處的函式值與導數值均為0，而0)(iixH，故可設 )()()(xlxxcxHiii 代入條件式（3-2）得 1)()(2iiiixc