平面內與兩定點F、F"的距離的和等於常數2a(2a>|FF"|的動點P的軌跡叫做橢圓。 即：│PF│+│PF"│=2a 其中兩定點F、F"叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離│FF"│叫做橢圓的焦距。平面上到定點F距離與到定直線間距離之比為常數的點的集合（定點F不在定直線上，該常數為小於1的正數） 其中定點F為橢圓的焦點，定直線稱為橢圓的準線（該定直線的方程是X=a^2/c)。 橢圓的其他定義根據橢圓的一條重要性質也就是橢圓上的點與橢圓短軸兩端點連線的斜率之積是定值可以得出：平面內與兩定點的連線的斜率之積是常數k的動點的軌跡是橢圓，此時k應滿足一定的條件，也就是排除斜率不存在的情況橢圓的標準方程有兩種，取決於焦點所在的座標軸： 1）焦點在X軸時，標準方程為：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0) 2）焦點在Y軸時，標準方程為：x^2/b^2+y^2/a^2=1 (a>b>0) 其中a>0，b>0。a、b中較大者為橢圓長半軸長，較短者為短半軸長（橢圓有兩條對稱軸，對稱軸被橢圓所截，有兩條線段，它們的一半分別叫橢圓的長半軸和短半軸或半長軸和半短軸）當a>b時，焦點在x軸上，焦距為2*(a^2-b^2)^0.5，焦距與長.短半軸的關係:b^2=a^2-c^2 ,準線方程是x=a^2/c和x=-a^2/c 又及：如果中心在原點，但焦點的位置不明確在X軸或Y軸時，方程可設為mx^2+ny^2=1(m＞0，n＞0，m≠n)。既標準方程的統一形式。 橢圓的面積是πab。橢圓可以看作圓在某方向上的拉伸，它的引數方程是：x=acosθ ， y=bsinθ 標準形式的橢圓在x0，y0點的切線就是 ： xx0/a^2+yy0/b^2=1橢圓的面積公式 S=π(圓周率)×a×b(其中a,b分別是橢圓的長半軸,短半軸的長). 或S=π(圓周率)×A×B/4(其中A,B分別是橢圓的長軸,短軸的長). 橢圓的周長公式 橢圓周長沒有公式，有積分式或無限項展開式。 橢圓周長(L)的精確計算要用到積分或無窮級數的求和。如 L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2) [橢圓近似周長], 其中a為橢圓長半軸,e為離心率 橢圓離心率的定義為橢圓上的點到某焦點的距離和該點到該焦點對應的準線的距離之比，設橢圓上點P到某焦點距離為PF，到對應準線距離為PL，則 e=PF/PL 橢圓的準線方程 x=±a^2/C 橢圓的離心率公式 e=c/a(e<1,因為2a>2c) 橢圓的焦準距 ：橢圓的焦點與其相應準線(如焦點（c,0）與準線x=+a^2/C)的距離,數值=b^2/c 橢圓焦半徑公式 ｜PF1｜=a+ex0 ｜PF2｜=a-ex0 橢圓過右焦點的半徑r=a-ex 過左焦點的半徑r=a+ex 橢圓的通徑：過焦點的垂直於x軸（或y軸）的直線與橢圓的兩交點A,B之間的距離，數值=2b^2/a 點與橢圓位置關係 點M（x0，y0） 橢圓 x^2/a^2+y^2/b^2=1 點在圓內： x0^2/a^2+y0^2/b^2＜1 點在圓上： x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 點在圓外： x0^2/a^2+y0^2/b^2＞1 直線與橢圓位置關係 y=kx+m ① x^2/a^2+y^2/b^2=1 ② 由①②可推出x^2/a^2+（kx+m）^2/b^2=1 相切△=0 相離△＜0無交點 相交△＞0 可利用弦長公式：A(x1,y1) B(x2,y2) |AB|=d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 橢圓通徑（定義：圓錐曲線（除圓外）中，過焦點並垂直於軸的弦）公式：2b^2/a 橢圓的斜率公式 過橢圓上x^2/a^2+y^2/b^2=1上一點（x，y）的切線斜率為 -(b^2)X/(a^2)y雙曲線： 數學上指一動點移動於一個平面上，與平面上兩個定點F1,F2的距離之差的絕對值始終為一定值2a(2a小於F1和F2之間的距離即2a<2c）時所成的軌跡叫做雙曲線(Hyperbola)。兩個定點F1,F2叫做雙曲線的左，右焦點(focus)。兩焦點的距離叫焦距，長度為2c。其中2a在座標軸上的端點叫做頂點，c^2=a^2+b^2 (a=長半軸，b=短半軸）1.文字語言定義: 平面內一個動點到一個定點與一條定直線的距離之比是一個大於1的常數。定點是雙曲線的焦點，定直線是雙曲線的準線,常數e是雙曲線的離心率。 2.集合語言定義: 設 雙曲線上有一動點M,定點F,點M到定直線距離為d, 這時稱集合{M| |MF|/d=e,e>1}表示的點集是雙曲線. 注意:定點F要在定直線外 且 比值大於1. 3.標準方程 設 動點M(x,y),定點F(c,0),點M到定直線l:x=a^2/c的距離為d, 則由 |MF|/d=e>1. 推匯出的雙曲線的標準方程為 (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 這是中心在原點,焦點在x軸上的雙曲線標準方程. 而中心在原點,焦點在y軸上的雙曲線標準方程為: (y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1. 1、軌跡上一點的取值範圍：x≥a,x≤-a（焦點在x軸上）或者y≥a,y≤-a（焦點在y軸上）。 2、對稱性：關於座標軸和原點對稱。 3、頂點：A(-a,0)， A’(a,0)。同時 AA’叫做雙曲線的實軸且�OAA’│=2a. B(0,-b)， B’(0,b)。同時 BB’叫做雙曲線的虛軸且│BB’│=2b. 4、漸近線： 焦點在x軸：y=±(b/a)x. 焦點在y軸：y=±(a/b)x. 圓錐曲線ρ=ep/1-ecosθ當e>1時，表示雙曲線。其中p為焦點到準線距離，θ為弦與X軸夾角 令1-ecosθ=0可以求出θ，這個就是漸近線的傾角。θ=arccos（1/e） 令θ=0，得出ρ=ep/1-e, x=ρcosθ=ep/1-e 令θ=PI，得出ρ=ep/1+e ,x=ρcosθ=-ep/1+e 這兩個x是雙曲線定點的橫座標。 求出他們的中點的橫座標（雙曲線中心橫座標） x=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2 （注意化簡一下） 直線ρcosθ=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2 是雙曲線一條對稱軸，注意是不與曲線相交的對稱軸。 將這條直線順時針旋轉PI/2-arccos（1/e）角度後就得到漸近線方程，設旋轉後的角度是θ’ 則θ’=θ-【PI/2-arccos（1/e）】 則θ=θ’+【PI/2-arccos（1/e）】 帶入上式： ρcos{θ’+【PI/2-arccos（1/e）】}=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2 即：ρsin【arccos（1/e）-θ’】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2 現在可以用θ取代式中的θ’了 得到方程：ρsin【arccos（1/e）-θ】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2 5、離心率： 第一定義： e=c/a 且e∈（1，+∞). 第二定義：雙曲線上的一點P到定點F的距離│PF│ 與 點P到定直線(相應準線)的距離d 的比等於雙曲線的離心率e. d點（│PF│）/d線（點P到定直線(相應準線)的距離）=e 6、雙曲線焦半徑公式（圓錐曲線上任意一點P(x,y)到焦點距離） 右焦半徑：r=│ex-a│ 左焦半徑：r=│ex+a│ 7、等軸雙曲線 一雙曲線的實軸與虛軸長相等 即：2a=2b 且 e=√2 8、共軛雙曲線 雙曲線S’的實軸是雙曲線S的虛軸 且 雙曲線S’的虛軸是雙曲線S的實軸時，稱雙曲線S’與雙曲線S為共軛雙曲線。 幾何表達：S：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 S’：(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1 特點：（1）共漸近線 （2）焦距相等 （3）兩雙曲線的離心率平方後的倒數相加等於1 9、準線： 焦點在x軸上：x=±a^2/c 焦點在y軸上：y=±a^2/c 10、通徑長：（圓錐曲線（除圓外）中，過焦點並垂直於軸的弦） d=2b^2/a 11、過焦點的弦長公式： d=2pe/(1-e^2cos^2θ) 或 2p/sin^2θ [p為焦點到準線距離，θ為弦與X軸夾角] 12、弦長公式： d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 推導如下： 由 直線的斜率公式：k = (y1 - y2) / (x1 - x2) 得 y1 - y2 = k(x1 - x2) 或 x1 - x2 = (y1 - y2)/k 分別代入兩點間的距離公式：|AB| = √[(x1 - x2)² + (y1 - y2)² ] 稍加整理即得： |AB| = |x1 - x2|√(1 + k²) 或 |AB| = |y1 - y2|√(1 + 1/k²)[編輯本段]・雙曲線的標準公式與反比例函式 X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0) 而反比例函式的標準型是 xy = c (c ≠ 0) 但是反比例函式確實是雙曲線函式經過旋轉得到的 因為xy = c的對稱軸是 y=x, y=-x 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的對稱軸是x軸，y軸 所以應該旋轉45度 設旋轉的角度為 a （a≠0,順時針） (a為雙曲線漸進線的傾斜角) 則有 X = xcosa + ysina Y = - xsina + ycosa 取 a = π/4 則 X^2 - Y^2 = (xcos(π/4) + ysin(π/4))^2 -(xsin(π/4) - ycos(π/4))^2 = (√2/2 x + √2/2 y)^2 -(√2/2 x - √2/2 y)^2 = 4 (√2/2 x) (√2/2 y) = 2xy. 而xy=c 所以 X^2/(2c) - Y^2/(2c) = 1 (c>0) Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c<0) 由此證得，反比例函式其實就是雙曲線函式.只不過是雙曲線在平面直角座標系內的另一種擺放形式.
平面內與兩定點F、F"的距離的和等於常數2a(2a>|FF"|的動點P的軌跡叫做橢圓。 即：│PF│+│PF"│=2a 其中兩定點F、F"叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離│FF"│叫做橢圓的焦距。平面上到定點F距離與到定直線間距離之比為常數的點的集合（定點F不在定直線上，該常數為小於1的正數） 其中定點F為橢圓的焦點，定直線稱為橢圓的準線（該定直線的方程是X=a^2/c)。 橢圓的其他定義根據橢圓的一條重要性質也就是橢圓上的點與橢圓短軸兩端點連線的斜率之積是定值可以得出：平面內與兩定點的連線的斜率之積是常數k的動點的軌跡是橢圓，此時k應滿足一定的條件，也就是排除斜率不存在的情況橢圓的標準方程有兩種，取決於焦點所在的座標軸： 1）焦點在X軸時，標準方程為：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0) 2）焦點在Y軸時，標準方程為：x^2/b^2+y^2/a^2=1 (a>b>0) 其中a>0，b>0。a、b中較大者為橢圓長半軸長，較短者為短半軸長（橢圓有兩條對稱軸，對稱軸被橢圓所截，有兩條線段，它們的一半分別叫橢圓的長半軸和短半軸或半長軸和半短軸）當a>b時，焦點在x軸上，焦距為2*(a^2-b^2)^0.5，焦距與長.短半軸的關係:b^2=a^2-c^2 ,準線方程是x=a^2/c和x=-a^2/c 又及：如果中心在原點，但焦點的位置不明確在X軸或Y軸時，方程可設為mx^2+ny^2=1(m＞0，n＞0，m≠n)。既標準方程的統一形式。 橢圓的面積是πab。橢圓可以看作圓在某方向上的拉伸，它的引數方程是：x=acosθ ， y=bsinθ 標準形式的橢圓在x0，y0點的切線就是 ： xx0/a^2+yy0/b^2=1橢圓的面積公式 S=π(圓周率)×a×b(其中a,b分別是橢圓的長半軸,短半軸的長). 或S=π(圓周率)×A×B/4(其中A,B分別是橢圓的長軸,短軸的長). 橢圓的周長公式 橢圓周長沒有公式，有積分式或無限項展開式。 橢圓周長(L)的精確計算要用到積分或無窮級數的求和。如 L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2) [橢圓近似周長], 其中a為橢圓長半軸,e為離心率 橢圓離心率的定義為橢圓上的點到某焦點的距離和該點到該焦點對應的準線的距離之比，設橢圓上點P到某焦點距離為PF，到對應準線距離為PL，則 e=PF/PL 橢圓的準線方程 x=±a^2/C 橢圓的離心率公式 e=c/a(e<1,因為2a>2c) 橢圓的焦準距 ：橢圓的焦點與其相應準線(如焦點（c,0）與準線x=+a^2/C)的距離,數值=b^2/c 橢圓焦半徑公式 ｜PF1｜=a+ex0 ｜PF2｜=a-ex0 橢圓過右焦點的半徑r=a-ex 過左焦點的半徑r=a+ex 橢圓的通徑：過焦點的垂直於x軸（或y軸）的直線與橢圓的兩交點A,B之間的距離，數值=2b^2/a 點與橢圓位置關係 點M（x0，y0） 橢圓 x^2/a^2+y^2/b^2=1 點在圓內： x0^2/a^2+y0^2/b^2＜1 點在圓上： x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 點在圓外： x0^2/a^2+y0^2/b^2＞1 直線與橢圓位置關係 y=kx+m ① x^2/a^2+y^2/b^2=1 ② 由①②可推出x^2/a^2+（kx+m）^2/b^2=1 相切△=0 相離△＜0無交點 相交△＞0 可利用弦長公式：A(x1,y1) B(x2,y2) |AB|=d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 橢圓通徑（定義：圓錐曲線（除圓外）中，過焦點並垂直於軸的弦）公式：2b^2/a 橢圓的斜率公式 過橢圓上x^2/a^2+y^2/b^2=1上一點（x，y）的切線斜率為 -(b^2)X/(a^2)y雙曲線： 數學上指一動點移動於一個平面上，與平面上兩個定點F1,F2的距離之差的絕對值始終為一定值2a(2a小於F1和F2之間的距離即2a<2c）時所成的軌跡叫做雙曲線(Hyperbola)。兩個定點F1,F2叫做雙曲線的左，右焦點(focus)。兩焦點的距離叫焦距，長度為2c。其中2a在座標軸上的端點叫做頂點，c^2=a^2+b^2 (a=長半軸，b=短半軸）1.文字語言定義: 平面內一個動點到一個定點與一條定直線的距離之比是一個大於1的常數。定點是雙曲線的焦點，定直線是雙曲線的準線,常數e是雙曲線的離心率。 2.集合語言定義: 設 雙曲線上有一動點M,定點F,點M到定直線距離為d, 這時稱集合{M| |MF|/d=e,e>1}表示的點集是雙曲線. 注意:定點F要在定直線外 且 比值大於1. 3.標準方程 設 動點M(x,y),定點F(c,0),點M到定直線l:x=a^2/c的距離為d, 則由 |MF|/d=e>1. 推匯出的雙曲線的標準方程為 (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 這是中心在原點,焦點在x軸上的雙曲線標準方程. 而中心在原點,焦點在y軸上的雙曲線標準方程為: (y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1. 1、軌跡上一點的取值範圍：x≥a,x≤-a（焦點在x軸上）或者y≥a,y≤-a（焦點在y軸上）。 2、對稱性：關於座標軸和原點對稱。 3、頂點：A(-a,0)， A’(a,0)。同時 AA’叫做雙曲線的實軸且�OAA’│=2a. B(0,-b)， B’(0,b)。同時 BB’叫做雙曲線的虛軸且│BB’│=2b. 4、漸近線： 焦點在x軸：y=±(b/a)x. 焦點在y軸：y=±(a/b)x. 圓錐曲線ρ=ep/1-ecosθ當e>1時，表示雙曲線。其中p為焦點到準線距離，θ為弦與X軸夾角 令1-ecosθ=0可以求出θ，這個就是漸近線的傾角。θ=arccos（1/e） 令θ=0，得出ρ=ep/1-e, x=ρcosθ=ep/1-e 令θ=PI，得出ρ=ep/1+e ,x=ρcosθ=-ep/1+e 這兩個x是雙曲線定點的橫座標。 求出他們的中點的橫座標（雙曲線中心橫座標） x=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2 （注意化簡一下） 直線ρcosθ=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2 是雙曲線一條對稱軸，注意是不與曲線相交的對稱軸。 將這條直線順時針旋轉PI/2-arccos（1/e）角度後就得到漸近線方程，設旋轉後的角度是θ’ 則θ’=θ-【PI/2-arccos（1/e）】 則θ=θ’+【PI/2-arccos（1/e）】 帶入上式： ρcos{θ’+【PI/2-arccos（1/e）】}=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2 即：ρsin【arccos（1/e）-θ’】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2 現在可以用θ取代式中的θ’了 得到方程：ρsin【arccos（1/e）-θ】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2 5、離心率： 第一定義： e=c/a 且e∈（1，+∞). 第二定義：雙曲線上的一點P到定點F的距離│PF│ 與 點P到定直線(相應準線)的距離d 的比等於雙曲線的離心率e. d點（│PF│）/d線（點P到定直線(相應準線)的距離）=e 6、雙曲線焦半徑公式（圓錐曲線上任意一點P(x,y)到焦點距離） 右焦半徑：r=│ex-a│ 左焦半徑：r=│ex+a│ 7、等軸雙曲線 一雙曲線的實軸與虛軸長相等 即：2a=2b 且 e=√2 8、共軛雙曲線 雙曲線S’的實軸是雙曲線S的虛軸 且 雙曲線S’的虛軸是雙曲線S的實軸時，稱雙曲線S’與雙曲線S為共軛雙曲線。 幾何表達：S：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 S’：(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1 特點：（1）共漸近線 （2）焦距相等 （3）兩雙曲線的離心率平方後的倒數相加等於1 9、準線： 焦點在x軸上：x=±a^2/c 焦點在y軸上：y=±a^2/c 10、通徑長：（圓錐曲線（除圓外）中，過焦點並垂直於軸的弦） d=2b^2/a 11、過焦點的弦長公式： d=2pe/(1-e^2cos^2θ) 或 2p/sin^2θ [p為焦點到準線距離，θ為弦與X軸夾角] 12、弦長公式： d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 推導如下： 由 直線的斜率公式：k = (y1 - y2) / (x1 - x2) 得 y1 - y2 = k(x1 - x2) 或 x1 - x2 = (y1 - y2)/k 分別代入兩點間的距離公式：|AB| = √[(x1 - x2)² + (y1 - y2)² ] 稍加整理即得： |AB| = |x1 - x2|√(1 + k²) 或 |AB| = |y1 - y2|√(1 + 1/k²)[編輯本段]・雙曲線的標準公式與反比例函式 X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0) 而反比例函式的標準型是 xy = c (c ≠ 0) 但是反比例函式確實是雙曲線函式經過旋轉得到的 因為xy = c的對稱軸是 y=x, y=-x 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的對稱軸是x軸，y軸 所以應該旋轉45度 設旋轉的角度為 a （a≠0,順時針） (a為雙曲線漸進線的傾斜角) 則有 X = xcosa + ysina Y = - xsina + ycosa 取 a = π/4 則 X^2 - Y^2 = (xcos(π/4) + ysin(π/4))^2 -(xsin(π/4) - ycos(π/4))^2 = (√2/2 x + √2/2 y)^2 -(√2/2 x - √2/2 y)^2 = 4 (√2/2 x) (√2/2 y) = 2xy. 而xy=c 所以 X^2/(2c) - Y^2/(2c) = 1 (c>0) Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c<0) 由此證得，反比例函式其實就是雙曲線函式.只不過是雙曲線在平面直角座標系內的另一種擺放形式.