這個問題很寬泛，俠義上就是用多邊形面積來代替圓的面積。多邊形邊數越多越接近圓，但是運算量就越大：公元263年，中國數學家劉徽用“割圓術”計算圓周率，他先從圓內接正六邊形，逐次分割一直算到圓內接正192邊形。他說“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。”，包含了求極限的思想。劉徽給出π=3.141024的圓周率近似值。公元480年左右，南北朝時期的數學家祖沖之進一步得出精確到小數點後7位的結果，給出不足近似值3.1415926和過剩近似值3.1415927。在數學史很多數學家有研究，簡單講：給定一個圓，是否能夠透過尺規於有限次內作出一個正方形，使得它的面積等於圓的面積。最終，數學家們完成了不可能性證明。也就是pai是超越數即無理數（無限不迴圈小數）不可度量。在這個過程中出現了近代數學很多的思想方法，也體現中國古代數學的輝煌。為先哲們點贊。

以我個人之見。這是一種計算的簡便方法（如。5度的弧長近等於直線）。另外。在運動的質點做功的路程上也有一種特殊的意義（如。天圓地方）等。都有很多不同的意義。謬論及多。敬請批駁。

化圓為方問題是古希臘三大尺規作圖難題之一，另外兩個：任意角三等分，求2倍立方體。

所謂尺規作圖，就是隻能使用沒有刻度的直尺和圓規按照要求作出圖形來。三大作圖難題困擾著人類大概2千年時間。直到近代才被證明是不可能作出的。

所謂化圓為方，即在平面上作出一個正方形，使得此正方形的面積等於已知的圓面積。根據面積計算公式。

若化圓為方有解決方案，只要能作出一條直線a,使得

然而，尺規作圖的方法只能作出有限次的加減乘除，以及開方等長度的線段。π並不在這個範圍內，1882年，林德曼證明了π是超越數，即π不是任何多項式方程的根，所以π不可能透過尺規作圖的規則作出來，自此化圓為方問題成為定局。

”化圓為方“是古希臘尺規作圖問題之一，意思是用尺規作出一個正方形，使其面積等於給定圓的面積。問題意思並不難理解，但是近2000年人們都無法給出滿意的解答，既無法畫出來，又無法給出證明其不能求解。

問題的核心在於長度為根號pi的線段長如何作出，其實大家可以動手畫一畫，其實相當困難。

注：若不受標尺的限制，此問題並不困難。歐洲文藝復興時代的大師義大利數學家達芬奇用已知圓為底，圓半徑的一半為高的圓柱，在平面滾動一週，所午的矩形，面積恰為圓的面積。

上面我們已經討論了，能不能用尺規作出正方形的本質在於能否作出符合的長度。要證明根號pi 不能畫出就困難無比，當然，平面直角座標系和解析幾何的發展給了數學家們啟發，長度可轉化為座標。引入尺規可作性：設E是非空子集，如果某直線經過Ｅ中不同的兩點，就說是Ｅ－尺規可作；同理如果某個圓的圓心和圓上的某點是Ｅ中的元素，那此圓是尺規可作的。

如此，將所有的Ｅ－尺規可作的點的集合記作Ｓ（Ｅ），而所有從Ｅ能尺規作出的點集就是另一個相關概念了：規矩數，即Ｈ是從集合Ｅo（０，０）（０，１）開始，尺規可作點的集合：那麼規矩數定義為Ｈ的點的橫座標和縱座標表達的數。定義：實數a和b是規矩數僅當（a,b)是Ｈ中的一個點。如此，一直將問題的討論延伸至複數域，可以證明得數規矩數是複數集的子集，尺規作圖問題從幾何問題轉化為代數問題：能夠用尺規作出的數Ｚ都有對應的最小多項式。

1882年，林德曼等人證明了圓周率pi並不存在這樣的有理多項式m(z)，使m(z)=0的根為pi，這樣的數被稱之為超越數，而將與之對應的數學稱之為代數數，所有的規矩數都是代數數，而圓周率pi不是。當然，對這個證明有興趣的大家可以參考林德曼－魏爾斯特拉斯定理。

化圓為方，與三等分角、倍立方體並稱古希臘三大幾何作圖問題。給定一個圓，它要求我們用圓規和直尺畫出一個面積相等的正方形。這個坑一挖開，從古希臘到現在不斷有人往裡跳。

化圓為方問題（problem of quadrature of circle）是二千四百多年前古希臘人提出的三大幾何作圖問題之一，即求作一個正方形，使其面積等於已知圓的面積。

古希臘的時候，有一位學者，叫做安拉克薩哥拉，相傳哲學家安娜薩格拉斯在研究太陽時發現，“太陽是一個大火球，並不是人們所說的阿波羅神，”由於這一發現被認為是對神的褻瀆，於是他被投入了監獄裡。他對自己的遭遇感到憤憤不平，無法安睡。明亮的月光透過方形的窗戶照下來，於是他對月亮和方形窗戶產生了興趣，他不斷變換位置，使得窗外的月亮有時看起來比窗戶大，有時看起來比窗戶小，於是他想到什麼時候月亮的面積和窗戶的面積一樣大呢？

他將這個問題轉化為：求做一個正方形，使得它的面積等於已知圓的面積的作圖問題，這就是著名的化圓為方的問題。問題可轉化為：已知圓的半徑為1，所求作的正方形邊長為x，則需滿足x²-π=0,即x=√π.

這個問題看似簡單，然而卻難住了安拉克薩哥拉。因為，在古希臘，對作圖工具進行了限制，那就是：作圖時只准許使用直尺和圓規。

安拉克薩哥拉在獄中苦苦思考這個問題，完全忘了自己是一個待處決的犯人。後來，由於好朋友，當時傑出的政治家伯利克里的營救，安拉克薩哥拉獲釋出獄。然而這個問題，他自己沒有能夠解決，整個古希臘的數學家也沒能解決，成為歷史上有名的三大幾何難題之一。後來，在兩千多年的時間裡，無數數學家對這個問題進行了論證，可還是沒有得出答案。

有人跳坑，也就肯定有人耍點小聰明繞道而行。天才總是不拘一格的……，達芬奇給出的解法，是這樣的：用一個以已知圓為底，高度為已知圓的半徑的一半的圓柱體，在平面上滾動一週，所得出來的矩形的面積即為：S=2πr·1/2r=πr²，然後將這個矩形化為等面積的正方形即可。（如下圖），

這個方法相當狡猾，用“度量”的方法巧妙避開了“作出 π 的平方根”這個問題。當然，在歐幾里德這些希臘人的眼中，這種方法只是取巧，因為一來不精確，二來太犯規，用了直尺圓規以外的工具。即使用直尺和圓規來度量也不行，尺規作圖的規定就是，直尺只能拿來畫直線，圓規則是畫圓，它們不能有“度量”的功能。

但是這並不能怪希臘人，因為到了1882年，德國數學家林德曼，才證明圓周率π是一個“超越數”。而同樣在19世紀，有人證明了如果設任意給定長度單位，則標尺可作的線段段長必為“代數數”（代數數指能滿足整係數代數方程的數，而超越數則是不能滿足整係數代數方程的數，如2的平方根是代數數，因為它滿足方程x²-2=0；而π則是超越數）。

由此可見，化圓為方的問題和π值的計算問題是緊密聯絡在一起的。在中國古代，對於π值的研究和計算卻有著光榮而悠久的歷史，偉大的數學家祖沖之對π的研究和計算有很大的貢獻。遠在公元460年他就求出π的值是：3.1415926<π<3.1415927. 那麼化圓為方的問題則轉化為用尺規作圖作出長度為√π線段。同樣，化圓為方的問題用尺規作圖仍然是不能解決的！

簡單的說，化圓為方的本質是用尺規作圖的方法做出長度為π的平方根的線段，由上面給出的資訊可知，根本不可能用標尺做出長度為π的平方根的線段，所以此題無解。

那如果我們用更基本的東西來完成任務呢？比如說將圓切成幾塊，然後拼成一個正方形？那雖然不能說是“尺規作圖”，但在某種意義上比尺規作圖更基本，不是嗎？

數學家塔斯基（Alfred Tarski）在 1925 年提出的，正是這樣一個挑戰。用更精確的數學語言來說，就是要求把平面上的單位圓盤分割成有限塊，每一塊是一個點集，然後透過平移和旋轉這些保持面積的方法，將這些點集拼成面積相同的正方形。怎麼分割都無所謂，甚至是沒辦法做出來的分割也可以，唯獨是“有限塊”這種限制不能去掉。如果能分割成無限塊的話，那就太簡單了，只要把單位圓盤“磨成細末”，每一塊都只有一個點的話，那別說是拼成正方形，就是拼成一幅對聯也問題不大。即使是犯規，也是有底線的。

這乍聽起來是個很無理的問題。別的先不說，要把圓變成正方形，總要先處理那彎彎的圓周吧？看起來無論怎麼切，只要是有限塊，那恐怕也不能將彎曲的邊界拗成直線。實際上，可以證明，如果只用剪刀這樣的工具的話（從數學上來說就是如果每一塊的邊界都是簡單閉合曲線的話），這個任務是不可能做到的。但是，原來的題目中也沒有限制只能用剪刀。只要是“點集”，無論是否連在一起，都符合要求，所以希望還有，不過就是更“犯規”一點而已。

在 1990 年，匈牙利數學家拉茲柯維奇（Miklós Laczkovich）終於肯定地解答了塔斯基的這個問題。他證明了這樣的先割後補的“化圓為方”方法是存在的。美中不足的是，他並沒有實際給出一個割補的方法，而只是證明了這樣的方法存在，而且粗略估計需要將圓切成大約 10 的 50 次方個點集。而更為犯規的是，這些點集是沒有面積的。這些點集甚至不是面積為 0，而是我們根本無法定義它們的面積。在數學上，這些無法定義面積的點集叫不可測集。為了定義這些集合，拉茲柯維奇在證明中大量使用了選擇公理，這是定義不可測集的唯一方法，也是令我們不能明確構造分割方法的原因。

儘管現在大多數數學家都會自然地運用選擇公理和它的各種變種，但在 20 世紀初，公理集合論起步伊始之時，是否允許使用選擇公理曾經是熱門的爭論話題之一，直接與針對數學基礎的第三次數學革命扯上了關係。整場風波圍繞著一個問題：什麼是可以被接受的數學推理？這場關於數學基礎的爭論持續了幾十年才慢慢平息下來。

這一問題既引人入勝，又十分困難。問題的妙處在於它們從形式上看非常簡單，而實際上卻有著深刻的內涵。它們都要求作圖只能使用圓規和無刻度的直尺，而且只能有限次地使用直尺和圓規。但直尺和圓規所能作的基本圖形只有：過兩點畫一條直線、作圓、作兩條直線的交點、作兩圓的交點、作一條直線與一個圓的交點。某個圖形是可作的就是指從若干點出發，可以透過有限個上述基本圖形複合得到。這一過程中隱含了近代代數學的思想。經過2000多年的艱苦探索，數學家們終於弄清楚了這3個古典難題是“不可能用尺規完成的作圖題”。認識到有些事情確實是不可能的，這是數學思想的一大飛躍。

這一問題的無解並不重要，重要的是人們在解決問題的時候，會發現很多以前從來沒有見過的知識，這些知識是數學發展的動力。而作為促進發現這些知識的問題，則是數學的真正生命力所在。可以這麼說，如果哪一天，數學不能夠再提出新的問題，那這門學科就已經走到盡頭了。當我們懷著這樣的心情來看數學界中種種不可思議的謎題時，是不是突然覺得：

參考文獻：木遙在科學松鼠會上的文章， 長度是怎樣煉成的