、對稱性的概念及常見函式的對稱性
1、對稱性的概念
函式軸對稱：如果一個函式的影象沿一條直線對摺，直線兩側的影象能夠完全重合，則稱該函式具備對稱性中的軸對稱，該直線稱為該函式的對稱軸。
中心對稱：如果一個函式的影象沿一個點旋轉180度，所得的影象能與原函式影象完全重合，則稱該函式具備對稱性中的中心對稱，該點稱為該函式的對稱中心。
2、常見函式的對稱性(所有函式自變數可取有意義的所有值)
常數函式：既是軸對稱又是中心對稱，其中直線上的所有點均為它的對稱中心，與該直線相垂直的直線均為它的對稱軸。
一次函式：既是軸對稱又是中心對稱，其中直線上的所有點均為它的對稱中心，與該直線相垂直的直線均為它的對稱軸。
二次函式：是軸對稱，不是中心對稱，其對稱軸方程為x=-b/(2a)。
反比例函式：既是軸對稱又是中心對稱，其中原點為它的對稱中心，y=x與y=-x均為它的對稱軸。
指數函式：既不是軸對稱，也不是中心對稱。
對數函式：既不是軸對稱，也不是中心對稱。
冪函式：顯然冪函式中的奇函式是中心對稱，對稱中心是原點；冪函式中的偶函式是軸對稱，對稱軸是y軸；而其他的冪函式不具備對稱性。
正弦函式：既是軸對稱又是中心對稱，其中(kπ，0)是它的對稱中心，x=kπ+π/2是它的對稱軸。
正弦型函式：正弦型函式y=Asin(ωx+φ)既是軸對稱又是中心對稱，只需從ωx+φ=kπ中解出x，就是它的對稱中心的橫座標，縱座標當然為零；只需從ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的對稱軸；需要注意的是如果影象向上向下平移，對稱軸不會改變，但對稱中心的縱座標會跟著變化。
餘弦函式：既是軸對稱又是中心對稱，其中x=kπ是它的對稱軸，(kπ+π/2，0)是它的對稱中心。
正切函式：不是軸對稱，但是是中心對稱，其中(kπ/2，0)是它的對稱中心，容易犯錯誤的是可能有的同學會誤以為對稱中心只是(kπ,0)。
對號函式：對號函式y=x+a/x(其中a>0)因為是奇函式所以是中心對稱，原點是它的對稱中心。但容易犯錯誤的是同學們可能誤以為最值處是它的對稱軸，例如在處理函式y=x+1/x時誤以為會有f0.5)=f(1.5)，我在教學時總是問學生：你可看見過老師將“√”兩邊畫得一樣齊？學生們立刻明白並記憶深刻。
三次函式：顯然三次函式中的奇函式是中心對稱，對稱中心是原點，而其他的三次函式是否具備對稱性得因題而異。
絕對值函式：這裡主要說的是y=f(│x│)和y=│f(x)│兩類。前者顯然是偶函式，它會關於y軸對稱;後者是把x軸下方的影象對稱到x軸的上方，是否仍然具備對稱性，這也沒有一定的結論，例如y=│lnx│就沒有對稱性，而y=│sinx│卻仍然是軸對稱。
二、函式的對稱性猜測
1、具體函式特殊的對稱性猜測
一個函式一般是不會關於x軸的
這是由函式定義決定的，因為一個x不會對應兩個y的值。但我們在此略微引申，一個曲線是可能關於x軸對稱的。
例1判斷曲線y^2=4x的對稱性。
函式關於y軸對稱
例2判斷函式y=cos(sin(x))的對稱性。
函式關於原點對稱
例3判斷函式y=(x^3)×sinx的對稱性。
函式關於y=x對稱
例4判斷函式y=1/x的對稱性。
函式關於y=-x對稱
例5判斷函式y=-4/x的對稱性。
總結：設(x,y)為原曲線影象上任一點，
如果(x,-y)也在影象上，則該曲線關於x軸對稱；
如果(-x,y)也在影象上，則該曲線關於y軸對稱；
如果(-x,-y)也在影象上，則該曲線關於原點對稱；
如果(y,x)也在影象上，則該曲線關於y=x對稱；
如果(-y,-x)也在影象上，則該曲線關於y=-x軸對稱。
2、抽象函式的對稱性猜測
軸對稱
例6如果函式y=f(x)滿足f(x+1)=f(4-x)，求該函式的所有對稱軸。(任意取值代入例如x=0有f(1)=f(4)，正中間2.5，從而該函式關於x=2.5對稱)
例7如果函式y=f(x)滿足f(x)=f(-x)，求該函式的所有對稱軸。(按上例一樣的方法可以猜出對稱軸為x=0，可見偶函式是特殊的軸對稱)
例8如果f(x)為偶函式，並且f(x+1)=f(x+3)，求該函式的所有對稱軸。(因為f(x+1)=f(-x-3)，按上例可以猜出對稱軸x=-1，又因為它以2為週期，所以x=k是它所有的對稱軸，k∈Z)
中心對稱
例9如果函式y=f(x)滿足f(3+x)+f(4-x)=6，求該函式的對稱中心。(因為自變數加起來為7時函式值的和始終為6，所以中點固定為(3.5，3)，這就是它的對稱中心)
例10如果函式y=f(x)滿足f(-x)+f(x)=0，求該函式的所有對稱中心。(按上例一樣的方法可以猜出對稱中心為(0，0)，可見奇函式是特殊的中心對稱)
例11如果f(x)為奇函式，並且f(x+1)+f(x+3)=0，求該函式的所有對稱中心和對稱軸。(由週期性定義知週期為4，又f(x+1)=-f(x+3)，從而f(x+1)=f(-x-3)，按上例知x=-1為對稱軸，所以x=-1+2n為對稱軸，(2k，0)為對稱中心，其中k∈Z)
總結：
當括號裡面x前面的符號一正一負時告訴我們的就是對稱性,其中的對稱為多少我們可以用特殊值代入來猜測,這裡並不主張記結論，因為很容易與後面的結論相混淆。
而當x前面的符號相同時告訴我們的是週期性。例如f(x+1)=f(x-5)是告訴我們它以6為週期。
當x前面的符號相同，同時告訴我們奇偶性時我們也可以推出對稱性，因為奇偶性有製造負號的能力。
3、兩個抽象函式之間的對稱性猜測
例12求y=f(x+2)與y=f(1-x)的對稱軸方程。(當第一個函式的x取0時，值為f(2),這時第二個函式的x必須取-1才也對應那麼多，他們的正中間為-1.5，因而猜測對稱軸為x=-1.5)
當括號裡面x前面的符號一正一負時告訴我們的就是對稱性，其中的對稱為多少我們仍然可以用特殊值代入來猜測,這裡仍然不主張記結論，因為很容易與前面的結論相混淆。
而當x前面的符號相同時告訴我們的是影象平移。例如y=f(x+2)與y=f(x-1)，前者是由後者向左移三個單位得到。
三、對稱性的證明
如果在解答大題時僅僅猜測出結論是不夠的，我們要輔以完整的證明才行。
1、一個函式的對稱性證明
例13證明如果函式y=f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)，則該函式關於直線x=(a+b)/2對稱。
證明：在y=f(x)上任取點(m，n)，則n=f(m)，而點(m，n)關於x=(a+b)/2的對稱點為(a+b-m，n),又因為f(a+b-m)=f(a+(b-m))=f(b-(b-m))=f(m)=n,這正表明(a+b-m，n)也在原函式影象上，從而原函式關於直線x=(a+b)/2對稱。
總結：核心是間接法，即在函式上任取一點，對稱點如果仍在函式影象上，我們就可以下結論該函式關於它對稱。
2、兩個函式之間的對稱性的證明
例14證明函式y=f(a+x)與函式y=f(b-x)關於直線x=(b-a)/2對稱。(注意不是(a-b)/2,證明的方法類似於上例方法)
總結：仍是間接法，但是多一次，需在函式上任取一點，對稱點如果在對方函式影象上，同時在對方函式上任取一點，對稱點又在該函式影象上，我們才可以下結論該函式關於它對稱。取兩次的原因是以免兩個影象一個只是另一個對稱過來影象的一部分。
3、特別地關於y=x對稱性的證明
例15證明y=(2x+1)/(3x-2)關於y=x對稱。(只需求出它的反函式是自己即可)
一個函式自身關於y=x對稱不需要用上面的間接法，只需要證明它的反函式是自己就可以了。
兩個函式關於y=x對稱性證明也不需要用上面那麼繁瑣的方法，只需證明兩個函式互為反函式，即求一個的反函式為另外一個就可以了。
反過來這句話也成立，如果需要證明兩個函式互為反函式，只需要證明它們的影象關於y=x對稱即可。
四、對稱性的運用
1、求值
例16已知f(x)=4^x/(4^x+1),求f(-4)+f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)的值。(我們只需要考慮當兩個自變數加起來為0時函式值的和是否為定值，驗證果然。而這裡顯然隱含的是函式的對稱性)
總結：“配對”，對稱性主要是考查一對函式值之間的關係。
2、“對稱性+對稱性”可以推匯出週期性
例17如果函式y=f(x)滿足f(x+3)=f(2-x)和f(4+x)=f(5-x)，求該函式的最小正週期。(因為f(x+3)=f(2-x)=f(4+(-2-x))
=f(5-(-2-x))=f(7+x)所以週期為4)
總結：兩個對稱性拼起來就可以將裡面的符號化為同號，從而得出週期性。
3、“奇偶性+對稱性”可以推匯出週期性
這在前面已經提到，還是因為奇偶性有製造負號的能力。
4、三角函式的奇偶性
例18如果函式y=3sin(2x+θ+π/4)(其中0
總結：幾乎所有的三角函式的奇偶性都是當對稱性來使用，先求出所有的對稱軸，然後y軸是其中的一條(或者先求出所有的對稱中心，然後原點是其中的一個)。
5、關於y=x對稱的應用
例19求函式f(x)=e^(x+1)與函式g(x)=ln(x+1)的對稱軸方程。(因為f(x)=e^x與g(x)=lnx互為反函式，關於y=x對稱，而f(x)=e^(x+1)是由f(x)=e^x向左移一個單位得到，g(x)=ln(x+1)也是由g(x)=lnx向左移一個單位得到，因而對稱軸也跟著左移一個單位，即y=x+1)
6、對稱性的本義
例20如果y=asinx+bcosx關於x=π/4對稱，求直線ax+by+3=0的直線的斜率。(既然關於x=π/4對稱，則f(0)=f(π/2)代入求出a和b的關係即可)
總結：對稱性的本義就是關於對稱中心(或對稱軸)對稱的兩個自變數的函式值的緊密關係。
、對稱性的概念及常見函式的對稱性
1、對稱性的概念
函式軸對稱：如果一個函式的影象沿一條直線對摺，直線兩側的影象能夠完全重合，則稱該函式具備對稱性中的軸對稱，該直線稱為該函式的對稱軸。
中心對稱：如果一個函式的影象沿一個點旋轉180度，所得的影象能與原函式影象完全重合，則稱該函式具備對稱性中的中心對稱，該點稱為該函式的對稱中心。
2、常見函式的對稱性(所有函式自變數可取有意義的所有值)
常數函式：既是軸對稱又是中心對稱，其中直線上的所有點均為它的對稱中心，與該直線相垂直的直線均為它的對稱軸。
一次函式：既是軸對稱又是中心對稱，其中直線上的所有點均為它的對稱中心，與該直線相垂直的直線均為它的對稱軸。
二次函式：是軸對稱，不是中心對稱，其對稱軸方程為x=-b/(2a)。
反比例函式：既是軸對稱又是中心對稱，其中原點為它的對稱中心，y=x與y=-x均為它的對稱軸。
指數函式：既不是軸對稱，也不是中心對稱。
對數函式：既不是軸對稱，也不是中心對稱。
冪函式：顯然冪函式中的奇函式是中心對稱，對稱中心是原點；冪函式中的偶函式是軸對稱，對稱軸是y軸；而其他的冪函式不具備對稱性。
正弦函式：既是軸對稱又是中心對稱，其中(kπ，0)是它的對稱中心，x=kπ+π/2是它的對稱軸。
正弦型函式：正弦型函式y=Asin(ωx+φ)既是軸對稱又是中心對稱，只需從ωx+φ=kπ中解出x，就是它的對稱中心的橫座標，縱座標當然為零；只需從ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的對稱軸；需要注意的是如果影象向上向下平移，對稱軸不會改變，但對稱中心的縱座標會跟著變化。
餘弦函式：既是軸對稱又是中心對稱，其中x=kπ是它的對稱軸，(kπ+π/2，0)是它的對稱中心。
正切函式：不是軸對稱，但是是中心對稱，其中(kπ/2，0)是它的對稱中心，容易犯錯誤的是可能有的同學會誤以為對稱中心只是(kπ,0)。
對號函式：對號函式y=x+a/x(其中a>0)因為是奇函式所以是中心對稱，原點是它的對稱中心。但容易犯錯誤的是同學們可能誤以為最值處是它的對稱軸，例如在處理函式y=x+1/x時誤以為會有f0.5)=f(1.5)，我在教學時總是問學生：你可看見過老師將“√”兩邊畫得一樣齊？學生們立刻明白並記憶深刻。
三次函式：顯然三次函式中的奇函式是中心對稱，對稱中心是原點，而其他的三次函式是否具備對稱性得因題而異。
絕對值函式：這裡主要說的是y=f(│x│)和y=│f(x)│兩類。前者顯然是偶函式，它會關於y軸對稱;後者是把x軸下方的影象對稱到x軸的上方，是否仍然具備對稱性，這也沒有一定的結論，例如y=│lnx│就沒有對稱性，而y=│sinx│卻仍然是軸對稱。
二、函式的對稱性猜測
1、具體函式特殊的對稱性猜測
一個函式一般是不會關於x軸的
這是由函式定義決定的，因為一個x不會對應兩個y的值。但我們在此略微引申，一個曲線是可能關於x軸對稱的。
例1判斷曲線y^2=4x的對稱性。
函式關於y軸對稱
例2判斷函式y=cos(sin(x))的對稱性。
函式關於原點對稱
例3判斷函式y=(x^3)×sinx的對稱性。
函式關於y=x對稱
例4判斷函式y=1/x的對稱性。
函式關於y=-x對稱
例5判斷函式y=-4/x的對稱性。
總結：設(x,y)為原曲線影象上任一點，
如果(x,-y)也在影象上，則該曲線關於x軸對稱；
如果(-x,y)也在影象上，則該曲線關於y軸對稱；
如果(-x,-y)也在影象上，則該曲線關於原點對稱；
如果(y,x)也在影象上，則該曲線關於y=x對稱；
如果(-y,-x)也在影象上，則該曲線關於y=-x軸對稱。
2、抽象函式的對稱性猜測
軸對稱
例6如果函式y=f(x)滿足f(x+1)=f(4-x)，求該函式的所有對稱軸。(任意取值代入例如x=0有f(1)=f(4)，正中間2.5，從而該函式關於x=2.5對稱)
例7如果函式y=f(x)滿足f(x)=f(-x)，求該函式的所有對稱軸。(按上例一樣的方法可以猜出對稱軸為x=0，可見偶函式是特殊的軸對稱)
例8如果f(x)為偶函式，並且f(x+1)=f(x+3)，求該函式的所有對稱軸。(因為f(x+1)=f(-x-3)，按上例可以猜出對稱軸x=-1，又因為它以2為週期，所以x=k是它所有的對稱軸，k∈Z)
中心對稱
例9如果函式y=f(x)滿足f(3+x)+f(4-x)=6，求該函式的對稱中心。(因為自變數加起來為7時函式值的和始終為6，所以中點固定為(3.5，3)，這就是它的對稱中心)
例10如果函式y=f(x)滿足f(-x)+f(x)=0，求該函式的所有對稱中心。(按上例一樣的方法可以猜出對稱中心為(0，0)，可見奇函式是特殊的中心對稱)
例11如果f(x)為奇函式，並且f(x+1)+f(x+3)=0，求該函式的所有對稱中心和對稱軸。(由週期性定義知週期為4，又f(x+1)=-f(x+3)，從而f(x+1)=f(-x-3)，按上例知x=-1為對稱軸，所以x=-1+2n為對稱軸，(2k，0)為對稱中心，其中k∈Z)
總結：
當括號裡面x前面的符號一正一負時告訴我們的就是對稱性,其中的對稱為多少我們可以用特殊值代入來猜測,這裡並不主張記結論，因為很容易與後面的結論相混淆。
而當x前面的符號相同時告訴我們的是週期性。例如f(x+1)=f(x-5)是告訴我們它以6為週期。
當x前面的符號相同，同時告訴我們奇偶性時我們也可以推出對稱性，因為奇偶性有製造負號的能力。
3、兩個抽象函式之間的對稱性猜測
例12求y=f(x+2)與y=f(1-x)的對稱軸方程。(當第一個函式的x取0時，值為f(2),這時第二個函式的x必須取-1才也對應那麼多，他們的正中間為-1.5，因而猜測對稱軸為x=-1.5)
總結：
當括號裡面x前面的符號一正一負時告訴我們的就是對稱性，其中的對稱為多少我們仍然可以用特殊值代入來猜測,這裡仍然不主張記結論，因為很容易與前面的結論相混淆。
而當x前面的符號相同時告訴我們的是影象平移。例如y=f(x+2)與y=f(x-1)，前者是由後者向左移三個單位得到。
三、對稱性的證明
如果在解答大題時僅僅猜測出結論是不夠的，我們要輔以完整的證明才行。
1、一個函式的對稱性證明
例13證明如果函式y=f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)，則該函式關於直線x=(a+b)/2對稱。
證明：在y=f(x)上任取點(m，n)，則n=f(m)，而點(m，n)關於x=(a+b)/2的對稱點為(a+b-m，n),又因為f(a+b-m)=f(a+(b-m))=f(b-(b-m))=f(m)=n,這正表明(a+b-m，n)也在原函式影象上，從而原函式關於直線x=(a+b)/2對稱。
總結：核心是間接法，即在函式上任取一點，對稱點如果仍在函式影象上，我們就可以下結論該函式關於它對稱。
2、兩個函式之間的對稱性的證明
例14證明函式y=f(a+x)與函式y=f(b-x)關於直線x=(b-a)/2對稱。(注意不是(a-b)/2,證明的方法類似於上例方法)
總結：仍是間接法，但是多一次，需在函式上任取一點，對稱點如果在對方函式影象上，同時在對方函式上任取一點，對稱點又在該函式影象上，我們才可以下結論該函式關於它對稱。取兩次的原因是以免兩個影象一個只是另一個對稱過來影象的一部分。
3、特別地關於y=x對稱性的證明
例15證明y=(2x+1)/(3x-2)關於y=x對稱。(只需求出它的反函式是自己即可)
總結：
一個函式自身關於y=x對稱不需要用上面的間接法，只需要證明它的反函式是自己就可以了。
兩個函式關於y=x對稱性證明也不需要用上面那麼繁瑣的方法，只需證明兩個函式互為反函式，即求一個的反函式為另外一個就可以了。
反過來這句話也成立，如果需要證明兩個函式互為反函式，只需要證明它們的影象關於y=x對稱即可。
四、對稱性的運用
1、求值
例16已知f(x)=4^x/(4^x+1),求f(-4)+f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)的值。(我們只需要考慮當兩個自變數加起來為0時函式值的和是否為定值，驗證果然。而這裡顯然隱含的是函式的對稱性)
總結：“配對”，對稱性主要是考查一對函式值之間的關係。
2、“對稱性+對稱性”可以推匯出週期性
例17如果函式y=f(x)滿足f(x+3)=f(2-x)和f(4+x)=f(5-x)，求該函式的最小正週期。(因為f(x+3)=f(2-x)=f(4+(-2-x))
=f(5-(-2-x))=f(7+x)所以週期為4)
總結：兩個對稱性拼起來就可以將裡面的符號化為同號，從而得出週期性。
3、“奇偶性+對稱性”可以推匯出週期性
這在前面已經提到，還是因為奇偶性有製造負號的能力。
4、三角函式的奇偶性
例18如果函式y=3sin(2x+θ+π/4)(其中0
總結：幾乎所有的三角函式的奇偶性都是當對稱性來使用，先求出所有的對稱軸，然後y軸是其中的一條(或者先求出所有的對稱中心，然後原點是其中的一個)。
5、關於y=x對稱的應用
例19求函式f(x)=e^(x+1)與函式g(x)=ln(x+1)的對稱軸方程。(因為f(x)=e^x與g(x)=lnx互為反函式，關於y=x對稱，而f(x)=e^(x+1)是由f(x)=e^x向左移一個單位得到，g(x)=ln(x+1)也是由g(x)=lnx向左移一個單位得到，因而對稱軸也跟著左移一個單位，即y=x+1)
6、對稱性的本義
例20如果y=asinx+bcosx關於x=π/4對稱，求直線ax+by+3=0的直線的斜率。(既然關於x=π/4對稱，則f(0)=f(π/2)代入求出a和b的關係即可)
總結：對稱性的本義就是關於對稱中心(或對稱軸)對稱的兩個自變數的函式值的緊密關係。