科學家們利用電路的開啟和斷開實現了1和0的兩種模式進行二進位制演算法，在計算機中採用的二進位制加法進位運算很容易理解，那二進位制減法該怎麼辦呢，其實二進位制減法也是透過二進位制加法來進行實現的。我們知道在十進位制當中a-b=a+(-b),其中b為正數，-b就稱作負數，即相當於減一個數就等於加他的相反數，其實二進位制減法也是用這種方式。

　　十進位制裡表示一個負數，在這個數前面加一個負號即可，但是二進位制裡你怎麼加個負號呢，又怎麼表示一個負數呢？我們知道在十進位制中一個數加一個他的相反數會等於零，例如 b+（-b）=0，比如十進位制 1的二進位制是0000001，要使一個數加 00000001 後等於 0，那這個數就是1的二進位制相反數，這裡叫補數。

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　　　00000001　+　???????? =00000000 求出這個?數是11111111 ， 這個數也就是0000001的相反數，二進位制中稱作補數。

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那我們怎麼求出二進位制中的補數呢？只要把要轉換的數每一位取反，就是把0就換成1，1就換成0，比如 00000001 取反變成 11111110 , 取反後再加1 變成11111111 ,這樣就全部變成00000000了，就可以求出一個數的補數了。

　　我們規定最高位為符號位，在這個符號位放1就表示是負整數，符號位放0就表示是正整數

比如前面的 11111111 最高位是1，那麼這個數就是負數，只不過刨去符號位，剩下的數不能直接轉成正數，而是要取反加1，比如 剛剛的 1111111 去掉符號位，還剩7個1，111111 = 127 這樣算剛剛的數就變成 -127了，這麼算是錯的，我們要按取反的方法來推出負數，在透過符號位判斷出這個數是負數後，取反加1即可。

　　如果 1111111 既可以表示十進位制的 256 又可以表示成十進位制的 -1 ，那麼計算機怎麼知道這個是正數還是負數呢，所以給計算機這串數值時，我們要先定義一下變數型別，這也就是為什麼我們在C語言裡定義變數要給定變數型別的原因。

機器數/機器碼

我們都知道，計算機底層採用二進位制進行運算，其實，並沒有這麼簡單，這個問題涉及到了計算機的組成原理，原碼、補碼、反碼和移碼，也稱為機器數或者機器碼。

對於0，在原碼機器中往往有“+0”和“-0”之分，故有兩種表現形式：

[+0] = 0000...0（0位符號位）

[ -0] = 1000...0（1位符號位）

這種方式進行加減法運算，相當複雜。當兩數相加時，如果同號，則數值相加；如果是異號，則要進行減法。而在進行減法時，還要比較兩個數絕對值得大小，然後大數減去小數，最後還要給結果選擇恰當的符號。為了解決這個問題，人們想到了補碼錶示法。

採用補碼錶示法進行減法運算，比原碼方便很多。因為不論正負，機器總是在做加法，減法運算可以變成加法運算。根據定義，求負數的補碼還要進行減法運算，這顯然不合理，於是，人們又想到了反碼錶示法。

對於一個正數，它用原碼、反碼和補碼錶示方法完全一樣，符號位固定為0，用而進製表示的數位值都一樣。

對於一個負數，它用原碼、反碼和補碼錶示時，符號位固定為1，二進位制表示的數位值都不一樣：

原碼符號位為1不變，整數的每一位二進位制位數取反，得到 反碼

反碼符號位為1不變，反碼數值位最低位加1，得到 補碼

例如：[x]原=01111010 [x]反=0111010 [x]補=0111010

[x]原=11111010 [x]反=1000101 [x]補=1000110

加法公式：[x]補+[y]補=[x+y]補 （正數的補碼和原碼是一樣的）

減法公式：[x-y]補=[x]補-[y]補=[x]補+[-y]補

看題為主，請忽略字寫得醜！！！！

當然，計算機二進位制運算不止這些，還有溢位、原碼並行乘法。陣列乘法等等。

兩個正數相加，結果大於機器字長所能表示的最大正數，即正溢。

兩個負數相加，結果小於機器所能表示的最小負數，稱為負溢

備註：定檢機器中，書的範圍|x|<(2的n次方-1)

我們都知道CPU是由許多電晶體組成的。透過改變電晶體的開關來表示二進位制數，那麼它是如何的呢？

某個指令系統的指令長度為32位，操作碼長度為八位，地址長度也是八位，而且第一條指令是加，第二條指令是減。當他收到一個000000100000010000000010000110的掀起出他先取出它的前八位操作碼，即00000010，分析得出這是一個減法操作。有三個地址，分別是兩個原運算元00000100出起初00000100出，起初被，00000100處取出被減數，到00000001處取出減數，ai修正，進行減法運算，然後把結果送到00000110處。

想要知道計算機怎麼進行數字運算，就需要了解計算機的儲存原理。

大家都知道計算機只認識0和1，但是0和1對人又不友好，怎麼做到這兩者的轉換呢？計算器又是怎麼對資料進行運算的呢？這就需要從計算機的儲存講起。

位：來自英文bit，音譯為“位元”，表示二進位制位。位是計算機內部資料儲存的最小單位，11010100是一個8位二進位制數。

位元組：來自英文Byte，音譯為“拜特”，習慣上用大寫的“B”表示。位元組是計算機中資料處理的基本單位。計算機中以位元組為單位儲存和解釋資訊，規定一個位元組由八個二進位制位構成，即1個位元組等於8個位元（1Byte=8bit）。八位二進位制數最小為00000000，最大為11111111；通常1個位元組可以存入一個ASCII碼，2個位元組可以存放一個漢字國標碼。

unsigned int、signed int和unsinged char 、signed char

一般來說char型別變數在計算機記憶體裡佔用1個位元組,也就是8個位元（byte），unsinged就是無符號的意思，signed就是有符號的意思。char預設是unsinged型別

如果是unsinged char那麼最高位（最左邊）就可以用來表示數字，那麼char能表示的範圍是二進位制的00000000~11111111，轉換為十進位制就是0~255。

如果是signed char那麼最高位（最左邊）就需要用來表示正負0為正，1為負，那麼只有剩餘7位能表示數字，所以能表示的範圍就是1111 1111~01111111 ，轉換位十進位制就是 - 127~ +127。還有一個 1000 0000 用它來表示 -128，因為沒有負0的概念。計算機裡負數都是用補碼來表示。關於補碼的概念後面會講。

unsigned int和signed int在char的基礎上理解，只不過int是四個位元組，也就是4*8=32位。int預設是signed有符號位的。所以，unsigned int表示的範圍是：0~2的32次方-1。signed int表示的範圍是：-2的31次方~2的31次方-1。

要了解清楚原碼、反碼、補碼需要先了解兩個額外的概念：機器數和真值

機器數：一個數在計算機中的二進位制表示形式, 叫做這個數的機器數。機器數是帶符號的比如，十進位制中的數 +3 ，計算機字長為8位，轉換成二進位制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。這裡的 00000011 和 10000011 就是機器數。

真值：拿上面的機器數00000011（十進位制+3）來講，其形式值131（又二進位制轉10進製得來），但是實際我們要的是+3，所以我們需要去掉最高位符號位：0000 0001的真值 = +000 0011 = +3，1000 0001的真值 = –000 0011 = –3。

瞭解了上面兩個概念，我們就可以來看原碼、反碼、補碼了

原碼：顧名思義，原碼就是我原來要表示的值的二進位制碼，所以+3/-3的原碼是需要考慮符號位的：+3的原碼是：0000 0011。-3的原碼是：1000 0011。

反碼：

正數的反碼是其本身

負數的反碼是在其原碼的基礎上, 符號位不變，其餘各個位取反

+3 原碼是：0000 0011 反碼是：0000 0011

-3 原碼是：1000 0011 反碼是：1111 1100

補碼：

正數的補碼就是其本身

即在反碼的基礎上+1

+3 原碼是：0000 0011 反碼是：0000 0011 補碼是：0000 0011

-3 原碼是：1000 0011 反碼是：1111 1100 補碼是：1111 1101

為什麼要存在這麼多種碼

看完上面的內容，大家一定很懵，為什麼要弄這麼多碼。這是因為計算機是不辨別"符號位"，因為這顯然會讓計算機的基礎電路設計變得十分複雜! 於是人們想出了將符號位也參與運算的方法。

我們知道, 根據運演算法則減去一個正數等於加上一個負數, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以計算器只有加法而沒有減法, 這樣計算機運算的設計就更簡單了。

在加減乘除中，正數當然很好處理，如果遇到負數就會有問題，我們來看一下-3-(-3)如果用原碼運算會怎麼樣：

在計算機中只有加法，所以3-(3) =3+（-3）；

0000 0011+1000 0011=10000110，我們算上符號轉為十進位制是：-6；

既然原碼不行，那用反碼？好，試一下看看

0000 0011+1111 1100 = 111111111，我們算上符號轉為十進位制是：-127；

那再試試補碼

0000 0011+1111 1101 = 00000000；我們算上符號轉為十進位制是：0；

OK，是對的；

所以計算機運算是以補碼運算的，並且計算機只有加法，兩個數相減最終會透過加法與數字本身的正負來實現

二進位制減法的運算是透過做在最高位補碼借一當二的方式實現的。其它和普通數值計算沒什麼太大區別 比如說 00011110 -00011100 =00000010

也就是 30-28=2

但是有時會出現負數運算，比如28-30

00011100-0001110這個時候就會出現借位，這樣的話就要做借位取反操作。