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  • 1 # 使用者3877824953206

    數列1/n的前n項和沒有通項公式,但它存在極限值,當n趨於無窮大時,其極限值為ln2,下面給出證明:

    設a(n)=1/(n+1)+…+1/2n,(少了1/n,多了1/2n)

    lim (1+1/n)^n=e,且(1+1/n)^n<e<(1+1/n)^(n+1)

    取對數

    1/(n+1)<ln(1+1/n)<1/n

    設b(n)=1+1/2+1/3+...+1/n-lnn

    b(n+1)-b(n)=1/(n+1)-ln(1+1/n)<0

    又b(n)=1+1/2+1/3+...+1/n-lnn

    >ln2/1+ln3/2+ln4/3+...+ln(1+1/n)-lnn

    =ln(n+1)-lnn>0

    故lim b(n)=c,c為常數

    由上題a(n)=b(2n)-b(n)+ln(2n)-lnn

    lim a(n)=lim b(2n)-lim b(n)+ln2 ---當n趨於無窮大時,lim b(2n)=lim b(n)=c

    =c-c+ln2

    =ln2

    --------2n-1

    故 lim∑1/n=lim [a(n)+1/n-1/2n]=lim a(n)+lim 1/n-lim 1/2n=ln2+0-0=ln2

    -------i=n

    擴充套件資料:

    性質

    (1)若m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,則am*an=ap*aq。

    (2)在等比數列中,依次每k項之和仍成等比數列。

    (3)若“G是a、b的等比中項”則“G^2=ab(G≠0)”。

    (4)若{an}是等比數列,公比為q1,{bn}也是等比數列,公比是q2,則{a2n},{a3n}…是等比數列,公比為q1^2,q1^3…{can},c是常數,{an*bn},{an/bn}是等比數列,公比為q1,q1q2,q1/q2。

    (5)若(an)為等比數列且各項為正,公比為q,則(log以a為底an的對數)成等差,公差為log以a為底q的對數。

    (6)等比數列前n項之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)

    在等比數列中,首項A1與公比q都不為零。

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