方程ax+by=1有兩個未知數，只有一個方程，因此它的解必有無數個。我們首先要限定在整數範圍，否則不用玩了。其次，這個方程在整數範圍內還不一定有解，例如2x+4y=1顯然沒有解，3x+6y=1也顯然沒有解，6x+9y=1也是沒有解的。因此，還需要限定一個條件，使得這個不定方程必有解，這個條件是：a,b互質。
題目：已知a,b,x,y都是整數，且a,b互質，解方程ax+by=1
1、2x+3y=1
解法1：因為2x=-3y+1，所以3×(-y)除以2的餘數為1
記作3(-y)≡1 (mod 2)（參見《第五種運算》）
所以-y的最小值就是1，即y=-1
代入原方程，可得x=2
所以，第一組解（x=2,y=-1）
顯然，其他形如x=3k+2,y=-2k-1的解都滿足方程（呃，每一次我說顯然的時候都是惴惴不安，我看起來很顯然的結論，您看起來顯然不？）
不定方程的解有……(-1,1),(2,-1),(5,-3)……
解法2：因為3÷2=1……1所以3=2×1+1
即3×1-2×1=1，一組解為(-1,1)
其他解由x=3k-1,y=-2k+1推出
我們分析一下兩種解法，解法1雖然很簡潔漂亮，但是求y的時候必須觀察得出，對於數字比較小，是很容易實現的，對於數字比較大，這個觀察並不容易。解法2實際上是把帶餘除法換個形式，比較容易實現。我們重點介紹這個解法，因為這個解法還有一些未解之謎。
從題1我們還可以發現一個特點，此類一次不定方程只要求出一個解，其他解可以代公式計算出來。
2、5x+18y=1
數字大了點，方法照舊。
因為18÷5=3……3所以3=18-5×3
因為5÷3=1……2所以2=5-3×1
因為3÷2=1……1所以1=3-2×1
所以，1=3-2×1=3-（5-3×1）=-5+3×2
=-5+（18-5×3）×2=5×(-7)+18×2
其中一組解為x=-7,y=2
這個方法，其實高中生都見過，就是求兩個數最大公約數的輾轉相除法，不過是將除法算式寫成另一種形式而已。我們稱之為擴充套件輾轉相除法。（標準說法叫擴充套件歐幾里得法）
為了便於編寫程式，我們發現
5x+18y=1即5x+(5×3+3)y=1即5(x+3y)+3y=1
原方程相當於求解5X+3Y=1（X=x+3y,Y=y）
因為5=3×1+2所以2X+3(X+Y)=1
原方程相當於求解2X’+3Y’=1（X’=X,Y’=X+Y）
而這個方程我們是會猜的，X’=-1,Y’=1逐漸代回即可
方程ax+by=1有兩個未知數，只有一個方程，因此它的解必有無數個。我們首先要限定在整數範圍，否則不用玩了。其次，這個方程在整數範圍內還不一定有解，例如2x+4y=1顯然沒有解，3x+6y=1也顯然沒有解，6x+9y=1也是沒有解的。因此，還需要限定一個條件，使得這個不定方程必有解，這個條件是：a,b互質。
題目：已知a,b,x,y都是整數，且a,b互質，解方程ax+by=1
1、2x+3y=1
解法1：因為2x=-3y+1，所以3×(-y)除以2的餘數為1
記作3(-y)≡1 (mod 2)（參見《第五種運算》）
所以-y的最小值就是1，即y=-1
代入原方程，可得x=2
所以，第一組解（x=2,y=-1）
顯然，其他形如x=3k+2,y=-2k-1的解都滿足方程（呃，每一次我說顯然的時候都是惴惴不安，我看起來很顯然的結論，您看起來顯然不？）
不定方程的解有……(-1,1),(2,-1),(5,-3)……
解法2：因為3÷2=1……1所以3=2×1+1
即3×1-2×1=1，一組解為(-1,1)
其他解由x=3k-1,y=-2k+1推出
我們分析一下兩種解法，解法1雖然很簡潔漂亮，但是求y的時候必須觀察得出，對於數字比較小，是很容易實現的，對於數字比較大，這個觀察並不容易。解法2實際上是把帶餘除法換個形式，比較容易實現。我們重點介紹這個解法，因為這個解法還有一些未解之謎。
從題1我們還可以發現一個特點，此類一次不定方程只要求出一個解，其他解可以代公式計算出來。
2、5x+18y=1
數字大了點，方法照舊。
因為18÷5=3……3所以3=18-5×3
因為5÷3=1……2所以2=5-3×1
因為3÷2=1……1所以1=3-2×1
所以，1=3-2×1=3-（5-3×1）=-5+3×2
=-5+（18-5×3）×2=5×(-7)+18×2
其中一組解為x=-7,y=2
這個方法，其實高中生都見過，就是求兩個數最大公約數的輾轉相除法，不過是將除法算式寫成另一種形式而已。我們稱之為擴充套件輾轉相除法。（標準說法叫擴充套件歐幾里得法）
為了便於編寫程式，我們發現
5x+18y=1即5x+(5×3+3)y=1即5(x+3y)+3y=1
原方程相當於求解5X+3Y=1（X=x+3y,Y=y）
因為5=3×1+2所以2X+3(X+Y)=1
原方程相當於求解2X’+3Y’=1（X’=X,Y’=X+Y）
而這個方程我們是會猜的，X’=-1,Y’=1逐漸代回即可