應用題 （15題）
1.有一些糖，每人分5塊多10塊；如果現有的人數增加到原人數的1.5倍，那麼每人4塊就少2塊.問這些糖共有多少塊?
【分析與解】 方法一：設開始共有x人，兩種分法的糖總數不變，有5x+10=4×1.5x-2，解得x=12，所以這些糖共有12×5+10=70塊．
方法二：人數增加1.5倍後，每人分4塊，相當於原來的人數，每人分1.5×4=6塊．
有這些糖，每人分5塊多10塊，每人分6塊少2塊，所以開始總人數為(10+2)÷(6-5)=12人，那麼共有糖12×5+10=70塊．
2.甲、乙兩個小朋友各有一袋糖，每袋糖不到20粒.如果甲給乙一定數量的糖後，甲的糖就是乙的糖粒數的2倍；如果乙給甲同樣數量的糖後，甲的糖就是乙的糖粒數的3倍.那麼，甲、乙兩個小朋友共有糖多少粒?
【分析與解】 由題意知糖的總數應該是3的倍數，還是4的倍數.即為12的倍數，因為兩袋糖每袋都不超過20粒，所以總數不超過40粒.於是糖的總數只可能為12、24或36粒．
如果糖的總數為12的奇數倍，那麼“乙給甲同樣數量的糖後”，甲的糖為12÷（3+1)×3=9的奇數倍.那麼在甲給乙兩倍“同樣的數量糖”後，甲的糖為12÷(2+1)×2=8的奇數倍．
也就是說一個奇數加上一個偶數等於偶數，顯然不可能．所以糖的總數不能為12的奇數倍．
那麼甲、乙兩個小朋友共有的糖只能為12的偶數倍，即為24粒．
3.甲班有42名學生，乙班有48名學生.已知在某次數學考試中按百分制評卷，評卷結果各班的數學總成績相同，各班的平均成績都是整數，並且平均成績都高於80分.那麼甲班的平均成績比乙班高多少分?
【分析與解】 方法一：因為每班的平均成績都是整數，且兩班的總成績相等，所以總成績既是42的倍數，又是48的倍數，所以為[42，48]=336的倍數．
因為乙班的平均成績高於80分，所以總成績應高於48×80=3840分．
又因為是按百分制評卷，所以甲班的平均成績不會超過100分，那麼總成績應不高於42×100=4200分．
在3840～4200之間且是336的倍數的數只有4032.所以兩個班的總分均為4032分．
那麼甲班的平均分為4032÷42=96分，乙班的平均分為4032÷48=84分．
所以甲班的平均分比乙班的平均分高96-84=12分．
方法二：甲班平均分×42=乙班平均分×48，即甲班平均分×7=乙班平均分×8，因為7、8互質，所以甲班的平均分為某數的8倍，乙班的平均分為某數的7倍，又因為兩個班的平均分均超過80分，不高於100分，所以這個數只能為12．
所以甲班的平均分比乙班的平均分高12×(8-7)=12分．
4.某鄉水電站按戶收取電費,具體規定是:如果每月用電不超過24度,就按每度9分錢收費；如果超過24度,超出的部分按每度2角錢收費.已知在某月中,甲家比乙家多交了電費9角6分錢(用電按整度計算),問甲、乙兩家各交了多少電費?
【分析與解】 如果甲、乙兩家用電均超過24度,那麼他們兩家的電費差應是2角錢的整數倍；
如果甲、乙兩家用電均不超過24度，那麼他們兩家的電費差應是9分錢的整數倍．
現在9角6分既不是2角錢的整數倍,又不是9分錢的整數倍，所以甲家的用電超過了24度,乙家的用電不超過24度．
設甲家用了24＋x度電,乙家用了24-y度電，有20x+9y=96，得x=3，y=4．
即甲家用了27度電,乙家用了20度電,那麼乙家應交電費20×9=180分=1元8角,則甲家交了180+96=276分=2元7角6分．
即甲、乙兩家各交電費2元7角6分,1元8角．
5.一小、二小兩校春遊的人數都是10的整數倍，出行時兩校人員不合乘一輛車，且每輛車儘量坐滿．現在知道，若兩校都租用有14個座位的旅遊車，則兩校共需租用這種車72輛；若兩校都租用19個座位的旅遊車，則二小要比一小多租用這種車7輛.問兩校參加這次春遊的人數各是多少?
【分析與解】 設二小春遊人數為m，一小春遊人數為n．由已知乘19座麵包車二小比一小多租用7輛.所以 19×6+1≤m-n≤19×8-1，即115≤m-n≤151．
又已知兩校共需租用14座麵包車72輛,所以 70×14+2≤m+n≤72×14，即982≤m+n≤1008．
同時已知m與n都是10的倍數,於是有
, 解得 , 另外四組因為解得m、n不是10的倍數．
經檢驗只有 滿足．
所以，一小參加春遊430人，二小參加春遊570人．
6.某遊客在10時15分由碼頭劃出一條小船，他欲在不遲於13時回到碼頭．河水的流速為每小時1.4千米，小船在靜水中的速度為每小時3千米，他每劃30分鐘就休息15分鐘，中途不改變方向，並在某次休息後往回劃.那麼他最多能劃離碼頭多遠?
【分析與解】 從10時15分出發，不遲於13時必須返回，所以最多可划行2小時45分，即165分鐘.165=4×30+3×15，最多可劃4個30分鐘，休息3個15分鐘．
順流速度為3+1.4=4.4千米/4,時；所以順流半小時划行路程為4.4×0.5=2.2千米；
逆流速度為3-1.4=1.6千米/4,時；所以逆流半小時划行路程為1.6×0.5=0.8千米．
休息15分鐘,則船順流漂行的路程為1.4×0.25=0.35千米．
第一種情況:當開始順流時,至少划行半小時,行駛2.2千米,而在休息的3個時問內船又順流漂行0.35×3=1.05千米的路程,所以逆流返回時需划行2.2+1.05=3.25千米．
3.25÷1.6=2.03125小時=121.875分鐘.即最少需30+15×3+121.875=196.875分鐘>165分鐘，來不及按時還船.不滿足．
第二種情況:當開始逆流時,每逆流半小時,則行駛0.8千米,則3次逆流後,行駛了0.8×3=2.4千米，船在遊客休息時順流漂行了1.05千米,所以回劃時只用划行2.4-1.05=1.35千米的路程,需1.35÷4.4≈0.3068小時≈18.41分鐘.共需3×30+3×15+18.41=153.41分鐘<165分鐘,滿足．
於是,只有第二種情況滿足,此時最遠的路程為休息了2次後第3次逆流所至的地點,為0.8×3-0.35×2=1.7千米．
所以,他最多能劃離碼頭1.7千米．
7. 機械廠計劃生產一批機床，原計劃每天生產40臺，可在預定的時間內完成任務，實際每天生產48臺，結果提前4天完成任務，求這批機床有多少臺？
48×[40×4÷(48-40)]=960(臺)
8. 某印刷廠計劃用24天裝訂一批書，每天裝訂12000本，實際提前4天完成了任務，實際比原計劃每天多裝訂多少本？
12000×24÷(24-4)-12000=2400(本)
9. 甲、乙兩磚廠，甲廠原存磚87500塊，乙廠比甲廠多存磚4500塊，某日甲廠賣出25000塊，乙廠比甲廠少賣出3000塊，這時哪廠存磚多？多多少塊？
甲廠存磚：87500-25000=62500(塊)
乙廠存磚：(87500+4500)-(25000-3000)=70000(塊)
∴ 乙廠存磚多，多 70000-62500=7500(塊)
10. 一筐蘋果連筐共重45千克，賣出一半後，剩下的蘋果連筐共重24千克，求原來有蘋果多少千克？
(45-24)×2=42(千克)
11.小明上午8時騎腳踏車以每小時12千米的速度從A地到B地，小強上午8時40分騎腳踏車以每小時16千米的速度從B地到A地，兩人在A、B兩地的中點處相遇，A、B兩地間的路程是多少千米？
解：這是一個相向而行相遇求路程的問題。但兩人不是同時出發，如果能轉換成同時出發，並且求出行多少小時相遇，就可以用數學課學的方法解答。
兩人在兩地間的路程的中點相遇，但小明比小強多行了40分鐘，如果兩人同時出發，相遇時，小明行的路程就比小強少12÷60×40=8（千米），就是當小強出發時，小明已經行了8千米，從8時40分起兩人到兩人相遇，由於小明每小時比小強少行16－12=4（千米），說明兩人相遇時間是8÷4=2（小時），那麼，A、B兩地間的路程是8＋（12＋16）×2=64（千米）。
答：A、B兩地間的路程是64千米。
12：甲、乙兩村相距3550米，小偉從甲村步行往乙村，出發5分鐘後，小強騎腳踏車從乙村前往甲村，經過10分鐘遇見小偉。小強騎車每分鐘行的比小偉步行每分鐘多160米，小偉每分鐘走多少米？
解：如果小強每分鐘少行160米，他行的速度就和小偉步行的速度相同，這樣小強10分鐘就少行了160×10=1600（米），小偉（5＋10）分鐘和小強10分鐘一共行走的路程是3550－1600=1950（米），那麼小偉每分鐘走的路是1950÷（5＋10＋10）=78（米）。
答：小偉每分鐘走78米。
13：客車從東城和貨車從西城同時開出，相向而行，客車每小時行44千米，貨車每小時行36千米，客車到西城比貨車到東城早2小時。兩車開出後多少小時在途中相遇？
解：當客車到西城時，貨車離東城還有2×36=72（千米），而貨車每小時行的比客車少44－36=8（千米），客車行東西城間的路程用的時間是72÷8=9（小時），因此東西城相距44×9=396（千米），兩車從出發到相遇用的時間是；396÷（44＋36）=4.95（小時）
答：兩車開出後4.95小時在途中相遇。
14：甲、乙二人同一天從北京出發沿同一條路騎車往廣州，甲每天行100千米，乙第一天行70千米，以後每天都比前一天多行3千米，直到追上甲，乙出發後第幾天追上甲？
解：二人同時、同地出發同向而行，但開始時，乙比甲行得慢，當乙的速度增加到與甲相同前，兩人間的距離越拉越大，當乙的速度超過甲時，兩人間的距離又越來越近，直到乙追上甲。
開始時，乙一天行的比甲少100－70=30（千米），以後乙每天多行3千米，到與甲速相同要經過30÷3=10（天），即前10天，甲、乙之間的距離是逐天拉大的，第11天兩人速度相同，從第12天起，乙的速度開始比甲快，與甲的距離逐天拉近，所以，乙追上甲用的時間是：10×2＋1=21（天）。
答：乙出發後第21天追上甲。
15：甲、乙兩地相距10千米，快、慢兩車都從甲地開往乙地，快車開出時，慢車已行了1.5千米，當快車到達乙地時，慢車距乙地還有1千米，那麼快車在距乙地多少千米處追上慢車？
解：慢車行了1.5千米，快車才開出，而快車到達乙地時，慢車距乙地還有1千米，就是在快車行10千米的時間裡，比慢車多行的路程為1.5＋1=2.5（千米）。快車每行1千米比慢車多2.5÷10=0.25（千米）。
應用題 （15題）
1.有一些糖，每人分5塊多10塊；如果現有的人數增加到原人數的1.5倍，那麼每人4塊就少2塊.問這些糖共有多少塊?
【分析與解】 方法一：設開始共有x人，兩種分法的糖總數不變，有5x+10=4×1.5x-2，解得x=12，所以這些糖共有12×5+10=70塊．
方法二：人數增加1.5倍後，每人分4塊，相當於原來的人數，每人分1.5×4=6塊．
有這些糖，每人分5塊多10塊，每人分6塊少2塊，所以開始總人數為(10+2)÷(6-5)=12人，那麼共有糖12×5+10=70塊．
2.甲、乙兩個小朋友各有一袋糖，每袋糖不到20粒.如果甲給乙一定數量的糖後，甲的糖就是乙的糖粒數的2倍；如果乙給甲同樣數量的糖後，甲的糖就是乙的糖粒數的3倍.那麼，甲、乙兩個小朋友共有糖多少粒?
【分析與解】 由題意知糖的總數應該是3的倍數，還是4的倍數.即為12的倍數，因為兩袋糖每袋都不超過20粒，所以總數不超過40粒.於是糖的總數只可能為12、24或36粒．
如果糖的總數為12的奇數倍，那麼“乙給甲同樣數量的糖後”，甲的糖為12÷（3+1)×3=9的奇數倍.那麼在甲給乙兩倍“同樣的數量糖”後，甲的糖為12÷(2+1)×2=8的奇數倍．
也就是說一個奇數加上一個偶數等於偶數，顯然不可能．所以糖的總數不能為12的奇數倍．
那麼甲、乙兩個小朋友共有的糖只能為12的偶數倍，即為24粒．
3.甲班有42名學生，乙班有48名學生.已知在某次數學考試中按百分制評卷，評卷結果各班的數學總成績相同，各班的平均成績都是整數，並且平均成績都高於80分.那麼甲班的平均成績比乙班高多少分?
【分析與解】 方法一：因為每班的平均成績都是整數，且兩班的總成績相等，所以總成績既是42的倍數，又是48的倍數，所以為[42，48]=336的倍數．
因為乙班的平均成績高於80分，所以總成績應高於48×80=3840分．
又因為是按百分制評卷，所以甲班的平均成績不會超過100分，那麼總成績應不高於42×100=4200分．
在3840～4200之間且是336的倍數的數只有4032.所以兩個班的總分均為4032分．
那麼甲班的平均分為4032÷42=96分，乙班的平均分為4032÷48=84分．
所以甲班的平均分比乙班的平均分高96-84=12分．
方法二：甲班平均分×42=乙班平均分×48，即甲班平均分×7=乙班平均分×8，因為7、8互質，所以甲班的平均分為某數的8倍，乙班的平均分為某數的7倍，又因為兩個班的平均分均超過80分，不高於100分，所以這個數只能為12．
所以甲班的平均分比乙班的平均分高12×(8-7)=12分．
4.某鄉水電站按戶收取電費,具體規定是:如果每月用電不超過24度,就按每度9分錢收費；如果超過24度,超出的部分按每度2角錢收費.已知在某月中,甲家比乙家多交了電費9角6分錢(用電按整度計算),問甲、乙兩家各交了多少電費?
【分析與解】 如果甲、乙兩家用電均超過24度,那麼他們兩家的電費差應是2角錢的整數倍；
如果甲、乙兩家用電均不超過24度，那麼他們兩家的電費差應是9分錢的整數倍．
現在9角6分既不是2角錢的整數倍,又不是9分錢的整數倍，所以甲家的用電超過了24度,乙家的用電不超過24度．
設甲家用了24＋x度電,乙家用了24-y度電，有20x+9y=96，得x=3，y=4．
即甲家用了27度電,乙家用了20度電,那麼乙家應交電費20×9=180分=1元8角,則甲家交了180+96=276分=2元7角6分．
即甲、乙兩家各交電費2元7角6分,1元8角．
5.一小、二小兩校春遊的人數都是10的整數倍，出行時兩校人員不合乘一輛車，且每輛車儘量坐滿．現在知道，若兩校都租用有14個座位的旅遊車，則兩校共需租用這種車72輛；若兩校都租用19個座位的旅遊車，則二小要比一小多租用這種車7輛.問兩校參加這次春遊的人數各是多少?
【分析與解】 設二小春遊人數為m，一小春遊人數為n．由已知乘19座麵包車二小比一小多租用7輛.所以 19×6+1≤m-n≤19×8-1，即115≤m-n≤151．
又已知兩校共需租用14座麵包車72輛,所以 70×14+2≤m+n≤72×14，即982≤m+n≤1008．
同時已知m與n都是10的倍數,於是有
, 解得 , 另外四組因為解得m、n不是10的倍數．
經檢驗只有 滿足．
所以，一小參加春遊430人，二小參加春遊570人．
6.某遊客在10時15分由碼頭劃出一條小船，他欲在不遲於13時回到碼頭．河水的流速為每小時1.4千米，小船在靜水中的速度為每小時3千米，他每劃30分鐘就休息15分鐘，中途不改變方向，並在某次休息後往回劃.那麼他最多能劃離碼頭多遠?
【分析與解】 從10時15分出發，不遲於13時必須返回，所以最多可划行2小時45分，即165分鐘.165=4×30+3×15，最多可劃4個30分鐘，休息3個15分鐘．
順流速度為3+1.4=4.4千米/4,時；所以順流半小時划行路程為4.4×0.5=2.2千米；
逆流速度為3-1.4=1.6千米/4,時；所以逆流半小時划行路程為1.6×0.5=0.8千米．
休息15分鐘,則船順流漂行的路程為1.4×0.25=0.35千米．
第一種情況:當開始順流時,至少划行半小時,行駛2.2千米,而在休息的3個時問內船又順流漂行0.35×3=1.05千米的路程,所以逆流返回時需划行2.2+1.05=3.25千米．
3.25÷1.6=2.03125小時=121.875分鐘.即最少需30+15×3+121.875=196.875分鐘>165分鐘，來不及按時還船.不滿足．
第二種情況:當開始逆流時,每逆流半小時,則行駛0.8千米,則3次逆流後,行駛了0.8×3=2.4千米，船在遊客休息時順流漂行了1.05千米,所以回劃時只用划行2.4-1.05=1.35千米的路程,需1.35÷4.4≈0.3068小時≈18.41分鐘.共需3×30+3×15+18.41=153.41分鐘<165分鐘,滿足．
於是,只有第二種情況滿足,此時最遠的路程為休息了2次後第3次逆流所至的地點,為0.8×3-0.35×2=1.7千米．
所以,他最多能劃離碼頭1.7千米．
7. 機械廠計劃生產一批機床，原計劃每天生產40臺，可在預定的時間內完成任務，實際每天生產48臺，結果提前4天完成任務，求這批機床有多少臺？
48×[40×4÷(48-40)]=960(臺)
8. 某印刷廠計劃用24天裝訂一批書，每天裝訂12000本，實際提前4天完成了任務，實際比原計劃每天多裝訂多少本？
12000×24÷(24-4)-12000=2400(本)
9. 甲、乙兩磚廠，甲廠原存磚87500塊，乙廠比甲廠多存磚4500塊，某日甲廠賣出25000塊，乙廠比甲廠少賣出3000塊，這時哪廠存磚多？多多少塊？
甲廠存磚：87500-25000=62500(塊)
乙廠存磚：(87500+4500)-(25000-3000)=70000(塊)
∴ 乙廠存磚多，多 70000-62500=7500(塊)
10. 一筐蘋果連筐共重45千克，賣出一半後，剩下的蘋果連筐共重24千克，求原來有蘋果多少千克？
(45-24)×2=42(千克)
11.小明上午8時騎腳踏車以每小時12千米的速度從A地到B地，小強上午8時40分騎腳踏車以每小時16千米的速度從B地到A地，兩人在A、B兩地的中點處相遇，A、B兩地間的路程是多少千米？
解：這是一個相向而行相遇求路程的問題。但兩人不是同時出發，如果能轉換成同時出發，並且求出行多少小時相遇，就可以用數學課學的方法解答。
兩人在兩地間的路程的中點相遇，但小明比小強多行了40分鐘，如果兩人同時出發，相遇時，小明行的路程就比小強少12÷60×40=8（千米），就是當小強出發時，小明已經行了8千米，從8時40分起兩人到兩人相遇，由於小明每小時比小強少行16－12=4（千米），說明兩人相遇時間是8÷4=2（小時），那麼，A、B兩地間的路程是8＋（12＋16）×2=64（千米）。
答：A、B兩地間的路程是64千米。
12：甲、乙兩村相距3550米，小偉從甲村步行往乙村，出發5分鐘後，小強騎腳踏車從乙村前往甲村，經過10分鐘遇見小偉。小強騎車每分鐘行的比小偉步行每分鐘多160米，小偉每分鐘走多少米？
解：如果小強每分鐘少行160米，他行的速度就和小偉步行的速度相同，這樣小強10分鐘就少行了160×10=1600（米），小偉（5＋10）分鐘和小強10分鐘一共行走的路程是3550－1600=1950（米），那麼小偉每分鐘走的路是1950÷（5＋10＋10）=78（米）。
答：小偉每分鐘走78米。
13：客車從東城和貨車從西城同時開出，相向而行，客車每小時行44千米，貨車每小時行36千米，客車到西城比貨車到東城早2小時。兩車開出後多少小時在途中相遇？
解：當客車到西城時，貨車離東城還有2×36=72（千米），而貨車每小時行的比客車少44－36=8（千米），客車行東西城間的路程用的時間是72÷8=9（小時），因此東西城相距44×9=396（千米），兩車從出發到相遇用的時間是；396÷（44＋36）=4.95（小時）
答：兩車開出後4.95小時在途中相遇。
14：甲、乙二人同一天從北京出發沿同一條路騎車往廣州，甲每天行100千米，乙第一天行70千米，以後每天都比前一天多行3千米，直到追上甲，乙出發後第幾天追上甲？
解：二人同時、同地出發同向而行，但開始時，乙比甲行得慢，當乙的速度增加到與甲相同前，兩人間的距離越拉越大，當乙的速度超過甲時，兩人間的距離又越來越近，直到乙追上甲。
開始時，乙一天行的比甲少100－70=30（千米），以後乙每天多行3千米，到與甲速相同要經過30÷3=10（天），即前10天，甲、乙之間的距離是逐天拉大的，第11天兩人速度相同，從第12天起，乙的速度開始比甲快，與甲的距離逐天拉近，所以，乙追上甲用的時間是：10×2＋1=21（天）。
答：乙出發後第21天追上甲。
15：甲、乙兩地相距10千米，快、慢兩車都從甲地開往乙地，快車開出時，慢車已行了1.5千米，當快車到達乙地時，慢車距乙地還有1千米，那麼快車在距乙地多少千米處追上慢車？
解：慢車行了1.5千米，快車才開出，而快車到達乙地時，慢車距乙地還有1千米，就是在快車行10千米的時間裡，比慢車多行的路程為1.5＋1=2.5（千米）。快車每行1千米比慢車多2.5÷10=0.25（千米）。