群論可以說是由伽羅華一手開創的數學分支，它主要研究的是各種對稱性。可以說，群就是對稱性的本質。而拓撲學則可以追溯到尤拉，它研究的是空間中連續變化的不變性。可以說，群論生來就屬於代數的範疇，而拓撲學則是脫胎於分析。兩個理論剛提出的時候，的確也沒有什麼關係的。

但數學畢竟是研究抽象結構的學科，在一個分支裡碰見另一個分支研究的結構是常事，而往往這樣的情況就會導致交叉分支的產生，很多非常漂亮的數學就是這樣來的。於是，在這裡有兩種可能性：群論中出現了拓撲結構，或者拓撲研究中出現了群。

我們先來談第一種情況。群就是對稱性，一般我們說到對稱性，都會想起梅花的五重對稱之類的有限對稱性，但無限的對稱性也是存在的。如果將群的元素的集合看成一個空間，有時候我們可以定義相應的拓撲空間，使得群的運算跟拓撲空間本身能和諧共處，用數學術語來說，就是令群的運算和逆元都成為拓撲空間中的連續對映。這樣的話，群加上群上面定義的拓撲空間，就變成了所謂的“拓撲群”。拓撲群無處不在，比如說實數和加法組成的群，再加上我們一般定義的實數上的拓撲，就是一個拓撲群。

研究拓撲群的數學分支，就是拓撲群論。因為群是一個非常好的結構，擁有很多很規整的性質，所以在它上面定義的拓撲空間通常也會有很好的性質。而透過一些拓撲性質，比如說緊性，我們可以將有限群論中的很多結論推廣到某些無限的拓撲群上。在有了拓撲之後，我們下一步還可以給群加上測度，比如說最自然的哈爾測度，由此又可以進入更廣泛的調和分析這個領域。拓撲群論中研究的一些群也非常重要，比如說李群，幾乎就是現代物理的數學基礎之一。

另一個方向，就是在拓撲研究中出現的群。這主要就是代數拓撲這個分支會做的事情。在這個分支中，我們用到的不僅有群，還有別的代數結構。在代數拓撲中，我們通常會嘗試向拓撲空間賦予某種代數結構，然後透過分析這些代數結構，找出一些可以對這些空間進行分類的代數不變數。

（圖片來自維基百科）

舉個例子，給定一個二維緊緻閉曲面，我們可以透過合適的三角剖分來在上面構造一個圖。如果考慮圖的環路組成的群，以及它跟三角形三條邊加起來生成的群的話，兩者的商就給出了一個自由群，而這個自由群的生成元個數就對應著曲面的尤拉不變數，也就是唯一的拓撲不變數。當然，在這個情況下可以透過直接計算圖的尤拉示性數來得到尤拉不變數，但我們剛剛說到的方法可以輕易推廣到更高的維度，這其實就是所謂的同調群。由此派生出的上同調群是代數幾何中承前啟後的重要數學物件。

所以說，這兩個領域雖然看似沒有關係，但隨著數學的發展，它們之間就自然發生了關係。這樣的故事，在許多不同的數學分支之間也在上映著。

群指的是滿足以下四個條件的一組元素的集合：（1）封閉性 （2）結合律成立 （3）單位元存在 （4）逆元存在。拓撲學的定義為：1.涉及從嚴格定量測量中抽象出來的各種物件之間的關係的。 2.在同胚下不變性質的或在包含於同胚下不變性質的。

我們不妨定義由三條以上的線段首尾相相接所組成的閉合平面圖形叫多邊形子群，根據拓撲原理，這些三角形、四邊形、多邊形都與圓形同胚。這樣就找到了群論和拓撲的共同關係，當然，這兩者也存在許多不同的關係。

為了向大家推薦一個二進位制群，現舉易經卦限群為例，自從十七世紀起，笛卡爾建立了三維空間直角座標系，人們就一直被如何建立六維空間直角座標系而困擾著，我們究竟怎麼樣構建六維空間直角座標系呢？ 首先，要解決的是多維空間問題，一是固態三維空間，二是液態三維空間，三是氣態三維空間，四是等離子態三維太明空間，五是稀薄粒子混合三維太虛空間，六是漆黑空洞態三維太冥空間，七是生命三維空間。 現在我們先從易經的象數理論出發，建立六維空間的數學模型；為了研究的方便，我們不妨用1表示陽爻即正半軸，用i表示陰爻即負半軸；那麼三維空間的第一卦限為乾天卦，可表示為(1,1,1)，第二卦限為兌澤卦，可表示為(i,1,1)，第三卦限為離火卦，可表示為(1,i ,1)，第四卦限為震雷卦，可表示為(i,i,1)，第五卦限為巽風卦，可表示為(1, 1, i)，第六卦限為坎水卦，可表示為(i, 1, i)，第七卦限為艮山卦，可表示為(1,i,i)，第八卦限為坤地卦，可表示為(i, i, i)；當然立體幾何是用正“+”號表示正半軸，用負“－”號表示負半軸的。 “無極生太極”的意思是，宇宙萬物永珍是無中生有的，無之中生出了一個原點，這個原點古人稱之為太極，原點生出了數軸，數軸的正半軸和負半軸古人稱之為兩儀，分別用陰(-)和陽(+)來表示，兩儀生四象即是X軸和Y軸構成了四個象限，分別稱為老陽(++)老陰(--)少陽(+-)少陰(-+)叫做四象，四象生八卦用三維空間表示為X軸Y軸Z軸互相垂直構成八個卦限，八卦就是乾、兌、離、震、巽、坎、艮、坤八個卦符。 再根據愛因斯坦廣義相對論，星體就是引力坍縮而形成的實體三維實空間，星體之外的扭曲時空形成了虛空空洞的三維虛空間，這就是虛實複合式的六維空間數學模型，我們也可以稱之為內三維和外三維，由於實三維空間和虛三維空間都以座標原點為中心相互旋繞運動，所以六維空間對應八八六十四個卦限，如封面彩圖所示，現分別表示如下： 第一卦限為乾天卦，可表示為 ｛(1,1,1)；(1,1,1)｝，第二卦限為澤夬卦，可表示為｛(i,1,1)；(1,1,1)｝，第三卦限為火天大有卦，可表示為｛(1,i, 1)；(1,1,1)｝，第四卦限為雷天大壯卦，可表示為｛(i,i,1)；(1,1,1)｝，第五卦限為風天小畜卦，可表示為｛(1,1,i)；(1,1,1)｝，第六卦限為水天需卦，可表示為｛(i, 1, i)；(1,1,1)｝，第七卦限為山天大畜卦，可表示為｛(1,i,i)；(1,1,1)｝，第八卦限為地天泰卦，可表示為｛(i,i,i)；(1,1,1)｝， 第九卦限為天澤履卦，可表示為｛(1,1,1)；(i,1,1)｝，第十卦限為澤澤兌卦，可表示為｛(i,1,1)；(i,1,1)｝，第十一卦限為火澤睽卦，可表示為｛(1,i,1)；(i,1,1)｝，第十二卦限為雷澤歸妹卦，可表示為｛(i,i,1)；(i,1,1)｝，第十三卦限為風澤中孚卦，可表示為｛(1,1,i)；(i,1,1)｝，第十四卦限為水澤節卦，可表示為｛(i,1,i)；(i,1,1)｝，第十五卦限為山澤損卦，可表示為｛(1,i,i)；(i,1,1)｝，第十六卦限為地澤臨卦，可表示為｛(i,i,i)；(i,1,1)｝， 第十七卦限為天火同人卦，可表示為｛(1,1,1)；(1,i,1)｝，第十八卦限為澤火革卦，可表示為｛(i,1,1)；(1,i,1)｝，第十九卦限為火火離卦，可表示為｛(1,i,1)；(1,i,1)｝，第二十卦限為雷火豐卦，可表示為｛(i,i,1)；(1,i,1)｝，第二十一卦限為風火家人卦，可表示為｛(1,1,i)；(1,i,1)｝，第二十二卦限為水火既濟卦，可表示為｛(i,1,i)；(1,i,1)｝，第二十三卦限為山火賁卦，可表示為｛(1,i,i)；(1,i,1)｝，第二十四卦限為地火明夷卦，可表示為｛(i,i,i)；(1,i,1)｝， 第二十五卦限為天雷無妄卦，可表示為｛(1,1,1)；(i,i,1)｝，第二十六卦限為澤雷隨卦，可表示為｛(i,1,1)；(i,i,1)｝，第二十七卦限為火雷噬嗑卦，可表示為｛(1,i,1)；(i,i,1)｝，第二十八卦限為雷雷震卦，可表示為｛(i,i,1)；(i,i,1)｝，第二十九卦限為風雷益卦，可表示為｛(1,1,i)；(i,i,1)｝，第三十卦限為水雷屯卦，可表示為｛(i,1,i)；(i,i,1)｝，第三十一卦限為山雷頤卦，可表示為｛(1,i,i)；(i,i,1)｝，第三十二卦限為地雷復卦，可表示為｛(i,i,i)；(i,i,1)｝， 第三十三卦限為天風姤卦，可表示為｛(1,1,1)；(1,1,i)｝，第三十四卦限為澤風大過卦，可表示為｛(i,1,1)；(1,1,i)｝，第三十五卦限為火風鼎卦，可表示為｛(1,i,1)；(1,1,i)｝，第三十六卦限為雷風恆卦，可表示為｛(i,i,1)；(1,1,i)｝，第三十七卦限為風風巽卦，可表示為｛(1,1,i)；(1,1,i)｝，第三十八卦限為水風井卦，可表示為｛(i,1,i)；(1,1,i)｝，第三十九卦限為山風蠱卦，可表示為｛(1,i,i)；(1,1,i)｝，第四十卦限為地風升卦，可表示為｛(i,i,i)；(1,1,i)｝， 第四十一卦限為天水訟卦，可表示為｛(1,1,1)；(i,1,i)｝，第四十二卦限為澤水困卦，可表示為｛(i,1,1)；(i,1,i)｝，第四十三卦限為火水未濟卦，可表示為｛(1,i,1)；(i,1,i)｝，第四十四卦限為雷水解卦，可表示為｛(i,i,1)；(i,1,i)｝，第四十五卦限為風水渙卦，可表示為｛(1,1,i)；(i,1,i)｝，第四十六卦限為水水坎卦，可表示為｛(i,1,i)；(i,1,i)｝，第四十七卦限為山水蒙卦，可表示為｛(1,i,i)；(i,1,i)｝，第四十八卦限為地水師卦，可表示為｛(i,i,i)；(i,1,i)｝， 第四十九卦限為天山遁卦，可表示為｛(1,1,1)；(1,i,i)｝，第五十卦限為澤山鹹卦，可表示為｛(i,1,1)；(1,i,i)｝，第五十一卦限為火山旅卦，可表示為｛(1,i,1)；(1,i,i)｝，第五十二卦限為雷山小過卦，可表示為｛(i,i,1)；(1,i,i)｝，第五十三卦限為風山漸卦，可表示為｛(1,1,i)；(1,i,i)｝，第五十四卦限為水山蹇卦，可表示為｛(i,1,i)；(1,i,i)｝，第五十五卦限為山山艮卦，可表示為｛(1,i,i)；(1,i,i)｝，第五十六卦限為地山謙卦，可表示為｛(i,i,i)；(1,i,i)｝， 第五十七卦限為天地否卦，可表示為｛(1,1,1)；(i,i,i)｝，第五十八卦限為澤地萃卦，可表示為｛(i,1,1)；(i,i,i)｝，第五十九卦限為火地晉卦，可表示為｛(1,i,1)；(i,i,i)｝，第六十卦限為雷地豫卦，可表示為｛(i,i,1)；(i,i,i)｝，第六十一卦限為風地觀卦，可表示為｛(1,1,i)；(i,i,i)｝，第六十二卦限為水地比卦，可表示為｛(i,1,i)；(i,i,i)｝，第六十三卦限為山地剝卦，可表示為｛(1,i,i)；(i,i,i)｝，第六十四卦限為地地坤卦，可表示為｛(i,i,i)；(i,i,i)｝。 以上僅是卦限的表示，而不是座標的表示，請大家注意。 根據中國易學的觀點陽爻1可象徵陽微基因子，陰爻i可象徵陰微基因子，因此乾卦限｛(1,1,1)；(1,1,1)｝可象徵陽微基因子團，坤卦限｛(i,i,i)；(i,i,i)｝可象徵陰微基因子團，火水未濟卦限｛(1,i,1)；(i,1,i)｝或水火既濟卦限｛(i,1,i)；(1,i,1)｝可象徵光子，那麼光線可用集合｛1,i,1,i,1,i, 1,i,1,i,1,i……｝來表示，也就是象徵地說：光線既具有火的特性，又具有水的特色，難怪大家有一種沐浴Sunny的感受；同理，我們可用其它卦限象徵另外六十二種基本粒子，這就讓網友自行研究吧。

有了六維空間的數學模型，就容易理解愛因斯坦廣義相對論和量子力學的運動狀態，從而大統一理論就有了根基。

六維空間是數學與哲學和諧統一的交響樂，計算機中採用的二進位制的六位數的制式是六維空間的有力佐證，運用六維空間理論可構建“虛擬宇宙”的模型：宇宙是一個反真空結構，即物質實三維在內，虛空虛三維在外，物質實三維鑲銜在虛空三維之中，物質產生萬有引力，虛空產生反引力。使得物質與虛空相對平衡。以上卦限既是代數，又是立體幾何，既是卦群、又是立體拓撲，請網友們自行研究吧！