解函式的方法
（一）、對映、函式、反函式
1、對應、對映、函式三個概念既有共性又有區別，對映是一種特殊的對應，而函式又是一種特殊的對映.
2、對於函式的概念，應注意如下幾點：
（1）掌握構成函式的三要素，會判斷兩個函式是否為同一函式.
（2）掌握三種表示法——列表法、解析法、圖象法，能根實際問題尋求變數間的函式關係式，特別是會求分段函式的解析式.
（3）如果y=f(u)，u=g(x)，那麼y=f[g(x)]叫做f和g的複合函式，其中g(x)為內函式，f(u)為外函式.
3、求函式y=f(x)的反函式的一般步驟：
（1）確定原函式的值域，也就是反函式的定義域；
（2）由y=f(x)的解析式求出x=f－1(y)；
（3）將x，y對換，得反函式的習慣表示式y=f－1(x)，並註明定義域.
注意①：對於分段函式的反函式，先分別求出在各段上的反函式，然後再合併到一起.
②熟悉的應用，求f－1(x0)的值，合理利用這個結論，可以避免求反函式的過程，從而簡化運算.
（二）、函式的解析式與定義域
1、函式及其定義域是不可分割的整體，沒有定義域的函式是不存在的，因此，要正確地寫出函式的解析式，必須是在求出變數間的對應法則的同時，求出函式的定義域.求函式的定義域一般有三種類型：
（1）有時一個函式來自於一個實際問題，這時自變數x有實際意義，求定義域要結合實際意義考慮；
（2）已知一個函式的解析式求其定義域，只要使解析式有意義即可.如：
①分式的分母不得為零；
②偶次方根的被開方數不小於零；
④指數函式和對數函式的底數必須大於零且不等於1；
⑤三角函式中的正切函式y=tanx（x∈R，且k∈Z），餘切函式y=cotx（x∈R，x≠kπ，k∈Z）等.
應注意，一個函式的解析式由幾部分組成時，定義域為各部分有意義的自變數取值的公共部分（即交集）.
（3）已知一個函式的定義域，求另一個函式的定義域，主要考慮定義域的深刻含義即可.
已知f(x)的定義域是[a，b]，求f[g(x)]的定義域是指滿足a≤g(x)≤b的x的取值範圍，而已知f[g(x)]的定義域[a，b]指的是x∈[a，b]，此時f(x)的定義域，即g(x)的值域.
2、求函式的解析式一般有四種情況
（1）根據某實際問題需建立一種函式關係時，必須引入合適的變數，根據數學的有關知識尋求函式的解析式.
（2）有時題設給出函式特徵，求函式的解析式，可採用待定係數法.比如函式是一次函式，可設f(x)=ax＋b（a≠0），其中a，b為待定係數，根據題設條件，列出方程組，求出a，b即可.
（3）若題設給出複合函式f[g(x)]的表示式時，可用換元法求函式f(x)的表示式，這時必須求出g(x)的值域，這相當於求函式的定義域.
（4）若已知f(x)滿足某個等式，這個等式除f(x)是未知量外，還出現其他未知量（如f(－x)，等），必須根據已知等式，再構造其他等式組成方程組，利用解方程組法求出f(x)的表示式.
（三）、函式的值域與最值
1、函式的值域取決於定義域和對應法則，不論採用何種方法求函式值域都應先考慮其定義域，求函式值域常用方法如下：
（1）直接法：亦稱觀察法，對於結構較為簡單的函式，可由函式的解析式應用不等式的性質，直接觀察得出函式的值域.
（2）換元法：運用代數式或三角換元將所給的複雜函式轉化成另一種簡單函式再求值域，若函式解析式中含有根式，當根式裡一次式時用代數換元，當根式裡是二次式時，用三角換元.
（3）反函式法：利用函式f(x)與其反函式f－1(x)的定義域和值域間的關係，透過求反函式的定義域而得到原函式的值域，形如（a≠0）的函式值域可採用此法求得.
（4）配方法：對於二次函式或二次函式有關的函式的值域問題可考慮用配方法.
（5）不等式法求值域：利用基本不等式a＋b≥[a，b∈（0，＋∞）]可以求某些函式的值域，不過應注意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧.
（6）判別式法：把y=f(x)變形為關於x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其題型特徵是解析式中含有根式或分式.
（7）利用函式的單調性求值域：當能確定函式在其定義域上（或某個定義域的子集上）的單調性，可採用單調性法求出函式的值域.
（8）數形結合法求函式的值域：利用函式所表示的幾何意義，藉助於幾何方法或圖象，求出函式的值域，即以數形結合求函式的值域.
2、求函式的最值與值域的區別和聯絡
求函式最值的常用方法和求函式值域的方法基本上是相同的，事實上，如果在函式的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函式的最小（大）值.因此求函式的最值與值域，其實質是相同的，只是提問的角度不同，因而答題的方式就有所相異.
如函式的值域是（0，16]，最大值是16，無最小值.再如函式的值域是（－∞，－2]∪[2，＋∞），但此函式無最大值和最小值，只有在改變函式定義域後，如x>0時，函式的最小值為2.可見定義域對函式的值域或最值的影響.
3、函式的最值在實際問題中的應用
函式的最值的應用主要體現在用函式知識求解實際問題上，從文字表述上常常表現為“工程造價最低”，“利潤最大”或“面積（體積）最大（最小）”等諸多現實問題上，求解時要特別關注實際意義對自變數的制約，以便能正確求得最值.
（四）、函式的奇偶性
1、函式的奇偶性的定義：對於函式f(x)，如果對於函式定義域內的任意一個x，都有f(－x)=－f(x)（或f(－x)=f(x)），那麼函式f(x)就叫做奇函式（或偶函式）.
正確理解奇函式和偶函式的定義，要注意兩點：（1）定義域在數軸上關於原點對稱是函式f(x)為奇函式或偶函式的必要不充分條件；（2）f(x)=－f(x)或f(－x)=f(x)是定義域上的恆等式.（奇偶性是函式定義域上的整體性質）.
2、奇偶函式的定義是判斷函式奇偶性的主要依據。為了便於判斷函式的奇偶性，有時需要將函式化簡或應用定義的等價形式：
注意如下結論的運用：
（1）不論f(x)是奇函式還是偶函式，f(|x|)總是偶函式；
（2）f(x)、g(x)分別是定義域D1、D2上的奇函式，那麼在D1∩D2上，f(x)＋g(x)是奇函式，f(x)·g(x)是偶函式，類似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”；
（3）奇偶函式的複合函式的奇偶性通常是偶函式；
（4）奇函式的導函式是偶函式，偶函式的導函式是奇函式。
3、有關奇偶性的幾個性質及結論
（1）一個函式為奇函式的充要條件是它的圖象關於原點對稱；一個函式為偶函式的充要條件是它的圖象關於y軸對稱.
（2）如要函式的定義域關於原點對稱且函式值恆為零，那麼它既是奇函式又是偶函式.
（3）若奇函式f(x)在x=0處有意義，則f(0)=0成立.
（4）若f(x)是具有奇偶性的區間單調函式，則奇（偶）函式在正負對稱區間上的單調性是相同（反）的。
（5）若f(x)的定義域關於原點對稱，則F(x)=f(x)＋f(－x)是偶函式，G(x)=f(x)－f(－x)是奇函式.
（6）奇偶性的推廣
函式y=f(x)對定義域內的任一x都有f(a＋x)=f(a－x)，則y=f(x)的圖象關於直線x=a對稱，即y=f(a＋x)為偶函式.函式y=f(x)對定義域內的任－x都有f(a＋x)=－f(a－x)，則y=f(x)的圖象關於點（a，0）成中心對稱圖形，即y=f(a＋x)為奇函式.
（五）、函式的單調性
1、單調函式
對於函式f(x)定義在某區間[a，b]上任意兩點x1，x2，當x1>x2時，都有不等式f(x1)>（或<）f(x2)成立，稱f(x)在[a，b]上單調遞增（或遞減）；增函式或減函式統稱為單調函式.
對於函式單調性的定義的理解，要注意以下三點：
（1）單調性是與“區間”緊密相關的概念.一個函式在不同的區間上可以有不同的單調性.
（2）單調性是函式在某一區間上的“整體”性質，因此定義中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值代替.
（4）注意定義的兩種等價形式：
設x1、x2∈[a，b]，那麼：
①在[a、b]上是增函式；
在[a、b]上是減函式.
②在[a、b]上是增函式.
需要指出的是：①的幾何意義是：增（減）函式圖象上任意兩點（x1，f(x1)）、（x2，f(x2)）連線的斜率都大於（或小於）零.
（5）由於定義都是充要性命題，因此由f(x)是增（減）函式，且（或x1>x2），這說明單調性使得自變數間的不等關係和函式值之間的不等關係可以“正逆互推”.
5、複合函式y=f[g(x)]的單調性
若u=g(x)在區間[a，b]上的單調性，與y=f(u)在[g(a)，g(b)]（或g(b)，g(a)）上的單調性相同，則複合函式y=f[g(x)]在[a，b]上單調遞增；否則，單調遞減.簡稱“同增、異減”.
6、證明函式的單調性的方法
（2）設函式y=f(x)在某區間內可導.
如果f′(x)>0，則f(x)為增函式；如果f′(x)<0，則f(x)為減函式.
（六）、函式的圖象
函式的圖象是函式的直觀體現，應加強對作圖、識圖、用圖能力的培養，培養用數形結合的思想方法解決問題的意識.
求作圖象的函式表示式
與f(x)的關係
由f(x)的圖象需經過的變換
y=f(x)±b（b>0）
沿y軸向平移b個單位
y=f(x±a)（a>0）
沿x軸向平移a個單位
y=－f(x)
作關於x軸的對稱圖形
y=f(|x|)
右不動、左右關於y軸對稱
y=|f(x)|
上不動、下沿x軸翻折
y=f－1(x)
作關於直線y=x的對稱圖形
y=f(ax)（a>0）
橫座標縮短到原來的，縱座標不變
y=af(x)
縱座標伸長到原來的|a|倍，橫座標不變
y=f(－x)
作關於y軸對稱的圖形
【例】定義在實數集上的函式f(x)，對任意x，y∈R，有f(x＋y)＋f(x－y)=2f(x)·f(y)，且f(0)≠0．
①求證：f(0)=1;
②求證：y=f(x)是偶函式；
思路分析：我們把沒有給出解析式的函式稱之為抽象函式，解決這類問題一般採用賦值法．
解答：①令x=y=0，則有2f(0)=2f2(0)，因為f(0)≠0，所以f(0)=1．
②令x=0，則有f(x)＋f(－y)=2f(0)·f(y)=2f(y)，所以f(－y)=f(y)，這說明f(x)為偶函式．
所以，所以f(x＋c)=－f(x)．
兩邊應用中的結論，得f(x＋2c)=－f(x＋c)=－[－f(x)]=f(x)，
所以f(x)是週期函式，2c就是它的一個週期．
解函式的方法
（一）、對映、函式、反函式
1、對應、對映、函式三個概念既有共性又有區別，對映是一種特殊的對應，而函式又是一種特殊的對映.
2、對於函式的概念，應注意如下幾點：
（1）掌握構成函式的三要素，會判斷兩個函式是否為同一函式.
（2）掌握三種表示法——列表法、解析法、圖象法，能根實際問題尋求變數間的函式關係式，特別是會求分段函式的解析式.
（3）如果y=f(u)，u=g(x)，那麼y=f[g(x)]叫做f和g的複合函式，其中g(x)為內函式，f(u)為外函式.
3、求函式y=f(x)的反函式的一般步驟：
（1）確定原函式的值域，也就是反函式的定義域；
（2）由y=f(x)的解析式求出x=f－1(y)；
（3）將x，y對換，得反函式的習慣表示式y=f－1(x)，並註明定義域.
注意①：對於分段函式的反函式，先分別求出在各段上的反函式，然後再合併到一起.
②熟悉的應用，求f－1(x0)的值，合理利用這個結論，可以避免求反函式的過程，從而簡化運算.
（二）、函式的解析式與定義域
1、函式及其定義域是不可分割的整體，沒有定義域的函式是不存在的，因此，要正確地寫出函式的解析式，必須是在求出變數間的對應法則的同時，求出函式的定義域.求函式的定義域一般有三種類型：
（1）有時一個函式來自於一個實際問題，這時自變數x有實際意義，求定義域要結合實際意義考慮；
（2）已知一個函式的解析式求其定義域，只要使解析式有意義即可.如：
①分式的分母不得為零；
②偶次方根的被開方數不小於零；
④指數函式和對數函式的底數必須大於零且不等於1；
⑤三角函式中的正切函式y=tanx（x∈R，且k∈Z），餘切函式y=cotx（x∈R，x≠kπ，k∈Z）等.
應注意，一個函式的解析式由幾部分組成時，定義域為各部分有意義的自變數取值的公共部分（即交集）.
（3）已知一個函式的定義域，求另一個函式的定義域，主要考慮定義域的深刻含義即可.
已知f(x)的定義域是[a，b]，求f[g(x)]的定義域是指滿足a≤g(x)≤b的x的取值範圍，而已知f[g(x)]的定義域[a，b]指的是x∈[a，b]，此時f(x)的定義域，即g(x)的值域.
2、求函式的解析式一般有四種情況
（1）根據某實際問題需建立一種函式關係時，必須引入合適的變數，根據數學的有關知識尋求函式的解析式.
（2）有時題設給出函式特徵，求函式的解析式，可採用待定係數法.比如函式是一次函式，可設f(x)=ax＋b（a≠0），其中a，b為待定係數，根據題設條件，列出方程組，求出a，b即可.
（3）若題設給出複合函式f[g(x)]的表示式時，可用換元法求函式f(x)的表示式，這時必須求出g(x)的值域，這相當於求函式的定義域.
（4）若已知f(x)滿足某個等式，這個等式除f(x)是未知量外，還出現其他未知量（如f(－x)，等），必須根據已知等式，再構造其他等式組成方程組，利用解方程組法求出f(x)的表示式.
（三）、函式的值域與最值
1、函式的值域取決於定義域和對應法則，不論採用何種方法求函式值域都應先考慮其定義域，求函式值域常用方法如下：
（1）直接法：亦稱觀察法，對於結構較為簡單的函式，可由函式的解析式應用不等式的性質，直接觀察得出函式的值域.
（2）換元法：運用代數式或三角換元將所給的複雜函式轉化成另一種簡單函式再求值域，若函式解析式中含有根式，當根式裡一次式時用代數換元，當根式裡是二次式時，用三角換元.
（3）反函式法：利用函式f(x)與其反函式f－1(x)的定義域和值域間的關係，透過求反函式的定義域而得到原函式的值域，形如（a≠0）的函式值域可採用此法求得.
（4）配方法：對於二次函式或二次函式有關的函式的值域問題可考慮用配方法.
（5）不等式法求值域：利用基本不等式a＋b≥[a，b∈（0，＋∞）]可以求某些函式的值域，不過應注意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧.
（6）判別式法：把y=f(x)變形為關於x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其題型特徵是解析式中含有根式或分式.
（7）利用函式的單調性求值域：當能確定函式在其定義域上（或某個定義域的子集上）的單調性，可採用單調性法求出函式的值域.
（8）數形結合法求函式的值域：利用函式所表示的幾何意義，藉助於幾何方法或圖象，求出函式的值域，即以數形結合求函式的值域.
2、求函式的最值與值域的區別和聯絡
求函式最值的常用方法和求函式值域的方法基本上是相同的，事實上，如果在函式的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函式的最小（大）值.因此求函式的最值與值域，其實質是相同的，只是提問的角度不同，因而答題的方式就有所相異.
如函式的值域是（0，16]，最大值是16，無最小值.再如函式的值域是（－∞，－2]∪[2，＋∞），但此函式無最大值和最小值，只有在改變函式定義域後，如x>0時，函式的最小值為2.可見定義域對函式的值域或最值的影響.
3、函式的最值在實際問題中的應用
函式的最值的應用主要體現在用函式知識求解實際問題上，從文字表述上常常表現為“工程造價最低”，“利潤最大”或“面積（體積）最大（最小）”等諸多現實問題上，求解時要特別關注實際意義對自變數的制約，以便能正確求得最值.
（四）、函式的奇偶性
1、函式的奇偶性的定義：對於函式f(x)，如果對於函式定義域內的任意一個x，都有f(－x)=－f(x)（或f(－x)=f(x)），那麼函式f(x)就叫做奇函式（或偶函式）.
正確理解奇函式和偶函式的定義，要注意兩點：（1）定義域在數軸上關於原點對稱是函式f(x)為奇函式或偶函式的必要不充分條件；（2）f(x)=－f(x)或f(－x)=f(x)是定義域上的恆等式.（奇偶性是函式定義域上的整體性質）.
2、奇偶函式的定義是判斷函式奇偶性的主要依據。為了便於判斷函式的奇偶性，有時需要將函式化簡或應用定義的等價形式：
注意如下結論的運用：
（1）不論f(x)是奇函式還是偶函式，f(|x|)總是偶函式；
（2）f(x)、g(x)分別是定義域D1、D2上的奇函式，那麼在D1∩D2上，f(x)＋g(x)是奇函式，f(x)·g(x)是偶函式，類似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”；
（3）奇偶函式的複合函式的奇偶性通常是偶函式；
（4）奇函式的導函式是偶函式，偶函式的導函式是奇函式。
3、有關奇偶性的幾個性質及結論
（1）一個函式為奇函式的充要條件是它的圖象關於原點對稱；一個函式為偶函式的充要條件是它的圖象關於y軸對稱.
（2）如要函式的定義域關於原點對稱且函式值恆為零，那麼它既是奇函式又是偶函式.
（3）若奇函式f(x)在x=0處有意義，則f(0)=0成立.
（4）若f(x)是具有奇偶性的區間單調函式，則奇（偶）函式在正負對稱區間上的單調性是相同（反）的。
（5）若f(x)的定義域關於原點對稱，則F(x)=f(x)＋f(－x)是偶函式，G(x)=f(x)－f(－x)是奇函式.
（6）奇偶性的推廣
函式y=f(x)對定義域內的任一x都有f(a＋x)=f(a－x)，則y=f(x)的圖象關於直線x=a對稱，即y=f(a＋x)為偶函式.函式y=f(x)對定義域內的任－x都有f(a＋x)=－f(a－x)，則y=f(x)的圖象關於點（a，0）成中心對稱圖形，即y=f(a＋x)為奇函式.
（五）、函式的單調性
1、單調函式
對於函式f(x)定義在某區間[a，b]上任意兩點x1，x2，當x1>x2時，都有不等式f(x1)>（或<）f(x2)成立，稱f(x)在[a，b]上單調遞增（或遞減）；增函式或減函式統稱為單調函式.
對於函式單調性的定義的理解，要注意以下三點：
（1）單調性是與“區間”緊密相關的概念.一個函式在不同的區間上可以有不同的單調性.
（2）單調性是函式在某一區間上的“整體”性質，因此定義中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值代替.
（4）注意定義的兩種等價形式：
設x1、x2∈[a，b]，那麼：
①在[a、b]上是增函式；
在[a、b]上是減函式.
②在[a、b]上是增函式.
在[a、b]上是減函式.
需要指出的是：①的幾何意義是：增（減）函式圖象上任意兩點（x1，f(x1)）、（x2，f(x2)）連線的斜率都大於（或小於）零.
（5）由於定義都是充要性命題，因此由f(x)是增（減）函式，且（或x1>x2），這說明單調性使得自變數間的不等關係和函式值之間的不等關係可以“正逆互推”.
5、複合函式y=f[g(x)]的單調性
若u=g(x)在區間[a，b]上的單調性，與y=f(u)在[g(a)，g(b)]（或g(b)，g(a)）上的單調性相同，則複合函式y=f[g(x)]在[a，b]上單調遞增；否則，單調遞減.簡稱“同增、異減”.
6、證明函式的單調性的方法
（2）設函式y=f(x)在某區間內可導.
如果f′(x)>0，則f(x)為增函式；如果f′(x)<0，則f(x)為減函式.
（六）、函式的圖象
函式的圖象是函式的直觀體現，應加強對作圖、識圖、用圖能力的培養，培養用數形結合的思想方法解決問題的意識.
求作圖象的函式表示式
與f(x)的關係
由f(x)的圖象需經過的變換
y=f(x)±b（b>0）
沿y軸向平移b個單位
y=f(x±a)（a>0）
沿x軸向平移a個單位
y=－f(x)
作關於x軸的對稱圖形
y=f(|x|)
右不動、左右關於y軸對稱
y=|f(x)|
上不動、下沿x軸翻折
y=f－1(x)
作關於直線y=x的對稱圖形
y=f(ax)（a>0）
橫座標縮短到原來的，縱座標不變
y=af(x)
縱座標伸長到原來的|a|倍，橫座標不變
y=f(－x)
作關於y軸對稱的圖形
【例】定義在實數集上的函式f(x)，對任意x，y∈R，有f(x＋y)＋f(x－y)=2f(x)·f(y)，且f(0)≠0．
①求證：f(0)=1;
②求證：y=f(x)是偶函式；
思路分析：我們把沒有給出解析式的函式稱之為抽象函式，解決這類問題一般採用賦值法．
解答：①令x=y=0，則有2f(0)=2f2(0)，因為f(0)≠0，所以f(0)=1．
②令x=0，則有f(x)＋f(－y)=2f(0)·f(y)=2f(y)，所以f(－y)=f(y)，這說明f(x)為偶函式．
所以，所以f(x＋c)=－f(x)．
兩邊應用中的結論，得f(x＋2c)=－f(x＋c)=－[－f(x)]=f(x)，
所以f(x)是週期函式，2c就是它的一個週期．